Riman nəzəriyyəsi nədir? İntervalın bölmələri

Mündəricat

• Riman nəzəriyyəsi nədir?
• İntervalın bölmələri
• İnteqrasiya qabiliyyəti
• Digər inteqrasiya nəzəriyyələri ilə müqayisə
• Misal

Riyaziyyatın real analiz kimi tanınan bölməsində Bernhard Rimann tərəfindən yaradılmış Rieman inteqralı, intervalda funksiyanın inteqralının ilk ciddi tərifi idi. Bir çox funksiyalar və praktik tətbiqlər üçün Riemann inteqralı əsas hesablama teoremi ilə qiymətləndirilə və ya ədədi inteqrasiya ilə yaxınlaşdırıla və ya Monte Karlo inteqrasiyasından istifadə edərək simulyasiya edilə bilər.
Giriş
[a, b] intervalında f qeyri-mənfi real qiymətli funksiya, f funksiyasının qrafiki altında və [a, b] intervalından yuxarı olan müstəvi bölgəsi S olsun. Üst sağdakı rəqəmə baxın. Bu region set-builder notation kimi ifadə edilə bilər.
Biz S sahəsini ölçməkdə maraqlıyıq. Onu ölçdükdən sonra, sahəni adi şəkildə işarə edəcəyik:
Tərif
[a, b] intervalının bölməsi formanın sonlu ardıcıllığıdır
Hər bir [xi, xi + 1] bölmənin alt intervalı adlanır. Bölmənin mesh və ya norması ən uzun alt intervalın uzunluğu kimi müəyyən edilir, yəni
[a, b] intervalının işarələnmiş P(x, t) bölməsi hər bir alt intervalda nümunə nöqtənin seçimi ilə birlikdə bölmədir: yəni ti ∈ ilə t0, ..., tn − 1 ədədləri [xi, xi + 1] hər i üçün. Etiketlənmiş bölmənin şəbəkəsi adi bölmə ilə eynidir.
Tutaq ki, iki bölmə P(x, t) və Q(y, s) hər ikisi [a, b] intervalının bölmələridir. Əgər i ∈ [0, n] ilə hər i tam ədədi üçün xi = yr(i) olan r(i) tam ədədi varsa, Q(y, s) P(x, t) in təkmilləşdirməsi olduğunu deyirik. və elə olsun ki, j ∈ [r(i), r(i + 1)] olan bəzi j üçün ti = sj. Yəni, işarələnmiş bölmə bəzi alt-intervalları parçalayır və lazım olduqda nümunə nöqtələri əlavə edərək bölmənin dəqiqliyini "təmizləyir".
Bütün işarələnmiş bölmələr dəstini yönləndirilmiş çoxluğa çevirə bilərik ki, əgər birincisi ikincinin təkmilləşməsidirsə, bir işarələnmiş bölmə digərindən böyük və ya ona bərabərdir.
İntegrasiya qabiliyyəti
Yığcam [a, b] intervalında məhdud funksiya Rieman inteqrasiyasıdır, o halda ki, demək olar ki, hər yerdə davamlıdır (onun kəsilmə nöqtələrinin çoxluğu Lebeq ölçüsü mənasında sıfır ölçüyə malikdir). Bu, Lebesq-Vitali teoremidir (Riemann inteqrallana bilən funksiyalarının xarakteristikası). Bu, 1907-ci ildə Cüzeppe Vitali və Henri Lebesq tərəfindən müstəqil şəkildə sübut edilmişdir və sıfır ölçü anlayışından istifadə edir, lakin nə Lebesqin ümumi ölçüsündən, nə də inteqralından istifadə edir.
Əgər fn f həddi ilə [a, b] üzərində vahid konvergent ardıcıllıqdırsa, bütün fn-lərin Riemann inteqrallığı f-nin Rieman inteqrallığını nəzərdə tutur .

Digər inteqrasiya nəzəriyyələri ilə müqayisə

Riemann inteqralı bir çox nəzəri məqsədlər üçün uyğun deyil. Riemann inteqrasiyasındakı bəzi texniki çatışmazlıqlar Riemann-Stieltjes inteqralı ilə aradan qaldırıla bilər və əksəriyyəti Lebeq inteqralı ilə yox olur, baxmayaraq ki, sonuncunun düzgün olmayan inteqralların qənaətbəxş müalicəsi yoxdur. Ölçmə inteqralı eyni zamanda Rieman inteqralına yaxın olan Lebeq inteqralının ümumiləşdirilməsidir. Bu daha ümumi nəzəriyyələr Rieman inteqralı olmayan daha çox "kəsik" və ya "yüksək salınan" funksiyaların inteqrasiyasına imkan verir; lakin nəzəriyyələr Rieman inteqralının mövcud olduğu halda eyni dəyəri verir.
Təhsil parametrlərində Darboux inteqralı işləmək daha asan olan daha sadə tərif təklif edir; Riemann inteqralını təqdim etmək üçün istifadə edilə bilər. Darboux inteqralı Riemann inteqralı olduqda müəyyən edilir və həmişə eyni nəticəni verir. Əksinə, ölçü inteqralı Riemann inteqralının sadə, lakin daha güclü ümumiləşdirilməsidir və bəzi pedaqoqları onun giriş hesablama kurslarında Rieman inteqralını əvəz etməli olduğunu müdafiə etməyə vadar etmişdir.

Misal

• dx==() - dx=( - ) + C

•