Riyazi analizin əsas anlayışlarından biridir. Riyaziyyatın diferensial, inteqral və s

Misal 1.

f(x)=sin ¹

x
(x≠0) (10)

funksiyasının x=0 nöqtəsində limitini hesablamalı.

Bu məqsədlə 0-a yığılan x` = ¹

(n=1, 2, ...) və

ⁿ nπ

x`` = ²

(n=1, 2, ....) ardıcıllıqıarını götürək:

ⁿ (4n+1)π

x`_n → 0,(n → ∞) və x`` → 0 (n → ∞). Bu ardıcıllıqlara (10)funksiyasının uyğun olan qiymətləri

f(x`_n

)= sin ¹

x`n

=sin nπ = 0 ( n= 1,2, ...)

n
və f(x`` )= sin ¹

x``_n

=sin ^(4n+1)π = 1 ( n= 1,2, ...)

2

olduğundan {f(x`_n)} və {f(x``_n)} ardıcıllıqları müxtəlif ədədlərə yığılır.

f(x`_n)→ 0 (n→ ∞)

f(x``_n)→ 0 (n→ ∞)

Funksiya limitini birinci tərifinə görə (10) funksiya-

sını x=0 nöqtəsində limiti yoxdur.

Misal 2.

f⁽x⁾

1 + x sin ¹


= {
x

2 x = 0

x G 0 (11)

Funksiyasının x=0 nöqtəsində limitinin 1-ə bərabər

olduğunu göstərməli.

Bu məqsədlə (11) funksiyası üçün x≠0 nöqtəsində doğru olan

^|f⁽x⁾ − 1^| = |x sin ¹| ≤ ^|x^|

x

bərabərsizliyini nəzərə alaraq, ixtiyari ε>𝟢 ədədi üçün δ=ε

seçmək kifayətdir. Onda x-in ^|x − 0^|<δ bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində

^|f⁽x⁾ − 1^| ≤ ^|x^| < 𝜑= ε

bərabərsizliyi doğru olar, bu da

lim f⁽x⁾ = 1

n→∞

olduğunu göstərir.

İndilim_x→a f⁽x⁾ = Aolmasının həndəsi izahını verək. Bu məqsədlə funksiya limitinin 2-ci tərifindən istifadə edək (6) bərabərsizliyinin ona ekvivalent olan

-ε< ⁽x⁾ − A < ε

və ya

A − ε< ⁽x⁾ < + ε

şəklində yazaq. (12) bərabərsizliyi göstərilir ki,M[x, f(x)] nöqtəsi y=A-ε və ya y=A+ε düz xəttləri arasında yerləşir.

Deməli, ^lim

x → ∞

f⁽x⁾ = A olması həndəsi olaraq o de-

məkdir ki, (xOy) müstəvisi üzərində y=A-ε və y=A+ε düz xətləri ilə hüdudlanmış ixtiyari zolaq üçün elə (a-δ,a+δ) intervalı var ki, f(x) funksiyasının bu intervaldakı qra- fikinin (qrafik üzərində a-ya uyğun olan nöqtə müstəsna olmaqla) bütün nöqtələri (NQ əyrisi) həmin zolağın daxilində yerləşir.

Limiti olan funksiyanın xassələri

Fərz edək ki, y=f(x) funksiyası x=x₀ nöqtəsini öz daxilinə alan hər hansı intervalda təyin olunmuşdur.

Teorem 1. x₀ nöqtəsində sonlu limiti olan f(x) funk- siyası həmin nöqtənin müəyyən ( x₀   , x₀   ) ətrafında (x₀ nöqtəsi müstəsna olmaqla) məhduddur.

Teorem 2. f(x) funksiyasının bir x₀ nöqtəsində müx- təlif iki A və B limiti ola bilməz.

Bu teoremin doğruluğu ardıcıllığın limitinin yeganə olması haqqındakı teoremdən aydındır.

Teorem 3.f(x)→A(x→x₀) və A>B (Ax₀nöqtəsinin elə ( x₀   , x₀   ) ətrafı var ki, x-in bu

ətrafdakı bütün qiymətlərində (x₀ müstəsna olmaqla)

f(x) >B (f(x)

Teorem 4.(Koşi kriteriyası). y=f(x) funksiyasının x₀ nöqtəsində sonlu limitinin olması üçün aşağıdakı şərtin ödənilməsi zəruri və kafidir: istənilən ^ >0 ədədi üçün elə

   ( ) >0, ədədi var ki, x-in 0< ^{x  x}_o < və 0< ^{x  x}_o

<  bərabərsizliklərini ödəyən ixtiyari iki x^ və x^

qiymətlərində

f (x^)  f (x^ ) < ^

bərabərsizliyi ödənilir.

Bu teoremin isbatını vermirik.

İsbat olunan teoremlərdə və 4-cü teoremdə x₀

əvəzinə -  , +  simvollarının hər birini götürmək olar.