Riyazi analizin əsas anlayışlarından biridir. Riyaziyyatın diferensial, inteqral və s

Sonsuz kiçilən funksiyalar.

Burada biz x=x₀ nöqtəsini öz daxilinə alan hər hansı intervalda təyin olunmuş (x₀ nöqtəsi müstəsna ola bilər) f(x) funksiyasına baxacağıq.

Limiti x=x₀ nöqtəsində sıfra bərabər olan y=f(x) funksiyasına həmin nöqtədə və ya x x₀-da sonsuz kiçi- lən funksiya deyilir.

Teorem 1. A ədədi x  x₀ şərtində f(x)-in limiti olması üçün  (x)=f(x)-A fərqinin x  x₀şərtində sonsuz kiçilən olması üçün zəruri və kafi şərtdir.

Şərtin zəruriliyi. Tutaq ki, f(x) A (xx₀). Onda

ixiyari ^ >0 üçünelə  >0var ki,x-in x  x₀ <  (x≠x₀)

münasibətini ödəyən bütün qiymətlərində

(1)

 (x) 

^{f (x)  A} < 

bərabərsizliyi ödənilir. Buradan

(x)  0

(x  x₀ ) alınır.

Şərtin kafiliyi.

(x)  0

(x  x₀ )

olduqda x-in

x  x₀ <  (x≠x₀) münasibətini ödəyən bütün qiymətlə-

rində (1) bərabərsizliyi ödənilər, bu da f(x) →A(x →x₀) olması deməkdir.

Bu teoremdən aydın olur ki, f(x)→A(x→x₀) olması funksiyanın

(2)

f(x)=A+  (x),
lim  (x)  0

xx

Funksiyanın sağ və sol limiti

Funksiya limitinin tərifindən aydındır ki, A ədədi x=a nöqtəsində f(x) funksiyasının limitidirsə, onda x-in

a-ya yaxın və onun istənilən tərəfində (sol və sağ) yerləşən bütün qiymətlərində

^{f (x)  A} <  (1)

bərabərsizliyi ödənilir. Funksiyanın x=a nöqtəsində limiti olmadıqda isə (1) bərabərsizliyi x-in a-nın müəyyən tərə- fində (məsələn, ya solunda, ya da sağında) yerləşən qiy- mətlərində ödənilə bilər. Bu halda funksiyanın həmin nöqtədə birtərəfli limitindən danışmaq olar.

Tərif. Tutaq ki, sonlua və A ədədləri verildikdə istənilən ^ >0 əədi üçün elə  >0 ədədi var ki, x-in X çox- luğundan götürülmüş və

0 (2)

bərabərsizliyini ödəyən bütün qiymətlərində

f (x)  A

< ^ (3)

münasibəti ödənilir. Onda A ədədinə

x  a

şərtində (və

ya x=a nöqtəsində) f(x) funksiyasının sol limiti deyilir və

lim

x

( xa)

f (x) 

lim

x 0

f (x)  f (a  0)

(4)

şəklində işarə olunur.

Bu tərifdəki (2) bərabərsizliyini 0 ilə əvəz etsək, f(x) funksiyasının x=a nöqtəsində sağ limitinin tərifini alarıq. Funksiyanın sağ limiti

lim

x

( xa)

f (x) 

lim

x 0

f (x)  f (a  0)

3. 
   
   

şəklində işarə olunur.

f(x) funksiyasının x=0 nöqtəsində sol və sağ limitini uyğun olaraq f(-0) və f(+0) ilə işarə edirlər

Teorem.y=f(x) funksiyasının x=a nöqtəsində limitinin olması üçün onun həmin nöqtədə sol və sağ limitlə rinin varlığı və bir-birinə bərabər olması zəruri və kafi

şərtdir.

İsbatı.Tutaq ki, bərabərsizliklərini ödəyən bütün

qiymətlərində. Onda (3) bərabərsizliyi, x-in 0< x  a < 

münasibətini ödəyən və buna görə də x-in 0 və0 bərabərsizliklərini ödəyən büytün qiymətlərin- də ödənilir. Deməli,

A= ^{lim f (x)  f (a  0)  f (a  0)}

x
yəni şərtin zəruriliyi doğrudur.Şərtin kafiliyini isbat edək.

İndi fərz edək ki, f(x)-in x=a nöqtəsində bir-birinə bərabər olan sağ və sol limitləri var:

A= f (a  0)  f (a  0)

Onda sol və sağ limitlərin tərifinə görə istənilən  >0

ədədi üçün elə

^1 və ^{ 2} ədədləri var ki, x-in 0¹

və0 ² bərabərsizliklərini ödəyən bütün qiymətlə- rində

^{f (x)  A} <  (6)

bərabərsizliyi ödənilir.Buradan, ^{  min(1, 2)} olarsa x-in

0< x  a <  bərabərsizliklərini ödəyən bütün qiymətlə-

rində (6) bərabərsizliyinin ödənildiyi alınır, yəni

lim f (x)  A

xa

a və A ədədlərinin hər hansı biri və ya hər ikisi

 ,  

olduqda da funksiyanın sol və sağ limiti (sonlu və ya

«sonsuz») uyğun şəkildə təyin olunur.

Misal 1.f(x)= ^xfunksiyasının x=n (n natural ədəd-

dir) nöqtəsində sol və sağ limitini hesablamalı.

Funksiyanın tərifinə görə

_{f(x)= {}n − 1, n − 1 ≤ x < nolarsa, n, n ≤ x < n + 1 olarsa
olduğubdan istənilən  >0 üçün x-in 0 (<1) qiymətlərində

f (x)  (n 1)  0

qiymətlərində

<  və x-in 0 (<1)

^{f (x)  n)  0} <  bərabərsizliyi ödənilir.Deməli,

f(n-0)=n-1 və f(n+0)=n

Aydındır ki, funksiyanın x=n nöqtəsində limiti yoxdur.

Misal 2.f(x)=siqnx funksiyasının x=0 nöqtəsində sol və sağ limitini hesablamalı. x-in x<0 qiymətlərində f(x)= -1 və x>0 qiymətlərində isə f(x)=1 olduğundan

lim

x x0

və

f (x)  1 

f (0)

lim

x0 ( x0)

f (x)  1  f (0)
1

Misal 3. f(x)=2 ^x funksiyası üçün
f(-0)= 0və f(+0)=+ 

Limitlər haqqında əsas teoremlər

Əvvəlki paraqrafda olduğu kimi burada da biz, arqumentin sonlu x₀ nöqtəsinə yaxınlaşdığı halda limitləri öyrənəcəyik. Lakin aşağıda isbat edəcəyimiz

teoremlər arqumentin hallarda da doğrudur.

()

və (+ ) - a yaxınlaşdığı

^{Teorem 1. Sonlu limitləri olan sonlu sayda f}k^(x)

(k=1, 2, ...,n) funksiyalarının cəminin limiti onların limitləri cəminə bərabərdir:

n n

lim _ f_k (x)  _ lim

f_k (x)

(1)

xx_{0 k 1 k 1} xx₀




İsbatı. Fərz edək ki, f_k(x)→A_k (x→x₀) (k= 1, n) .

Onda əvvəlki paraqrafda isbat etdiyimiz 1-ci teoremə görə

burada

F_k(x)=A_k+_k (x) (k=1,2,...,n), (2)

lim  _k (x)  0

xx₀


(k  1, n)

(2) bərabərliklərinəəsasən

n n n

_ f_k (x)  _ A_k  __k (x)

k 1

k 1

k 1

Teorem 2. Sonlu limitləri olan sonlu sayda f_k(x)(k=1,2,..n) funksiyalarının hasilinin limiti onların limitləri hasilinə bərabərdir:


n

lim

xx_{0 k 1}



f_k (x)  _

k 1
lim

xx₀
f_k (x)

(3)

İsbatı.Ümumiliyi pozmadan, teoremi n=2 olduqda isbat edək. Əvvəlki teoremin isbatında olduğu kimi yenə dəf_k(x)→A_k (x→x₀) qəbul etsək (2) bərabərliklərini alarıq

Həmin bərabərliklərəəsasən

f₁ (x)  f₂ (x)  A₁  ₁ (x)A₂  ₂ (x) 

 A₁ A₂  A₁₂ (x)  A₂₁ (x)  ₁ (x) ₂ (x)

və ya

(x)  A₁₂ (x)  A₂₁(x)  ₁(x) ₂ (x)

qəbul etsək,

onda:

f₁ (x)  f₂ (x)  A₁  A₂  (x)

 (x) funksiyası sonsuz kiçilən olduğundan( teorem 3,4) axırıncı bərabərlikdən (teorem1) (3) münasibətinin n=2 olduqda doğruluğu aydındır.

Nəticə 1. Sabit vuruğu limit işarəsi xaricinə çıxar-

maq olar:

limcf (x)  c  ^lim f (x)^

xx₀

^_xx₀ ^_

Nəticənindoğruluğu sabitin limitinin özünə

bərabər olmasından ^{lim c  c}

xx₀

və teoremdən aydındır.

Nəticə 2. Sonlu limiti olan f(x) və  ( x)

funksiyalarının fərqinin limiti onların limitləri fərqinə bərabərdir:

lim f (x)  (x) lim f (x)  lim (x)

xx₀

Doğrudan da,

xx₀

xx₀

lim  f (x)  (x)  lim f (x)  (1)(x) 

xx₀ xx₀

 lim f (x)  lim (1)(x)  lim

f (x)  lim (x)

xx₀

xx₀

xx₀

xx₀

Nəticə 3. Sonlu limiti olan f(x) funksiyasıüçün

n

lim f (x)ⁿ  ^lim f (x)^

xx₀

bərabərliyi doğrudur.

_xx₀ _

Teorem 3. f(x) və ( x) funksiyalarının sonlu limit-

ləri varsa və ^{lim (x)  0} olarsa, onların nisbətinin limiti

xx₀

limitlərinin nisbətinə bərabərdir:

f (x)

lim f (x)

lim

^xx0 (x)

_ xx₀

lim (x)

xx₀

(4)

İsbatı. Fərz edək ki, f(x)→A (x→x₀) vəφ(x)→B

(x→x₀).Onda f(x)=A+

 (x)

və (x)  B   (x),

burada

lim  (x)  0

xx₀

və ^{lim  (x)  0} Bu münasibətlərəəsasən

xx₀

f (x) A   (x) A ^ A   (x) A ^

(x) ^ B   (x) ^ B ^{ } B   (x) ^ B ^{ və ya}



^{f (x)}  ^A   (x)



(5)

(x) B

İstifadə edilmiş ədəbiyyat

1. 
   R. Məmmədov. Ali riyaziyyat kursu I hissə “Maarif”- 1978 il
   
2. 
   R.Məmmədov. Ali riyaziyyat kursu II hissə.“Maarif”-1981 il
   
3. 
   R.Məmmədov.Ali riyaziyyat kursu III hissə.“Maarif”-1984 il
   
4. 
   Y.Ş.Səlimov, M.M.Səbzəliyev. Ali riyaziyyatdan məsə- lələr. III hissə. Bakı-1998
   
5. 
   Y.Ş.Səlimov, M.M.Səbzəliyev. Ali riyaziyyatdan mə- sələlər I hissə.Baki-2004
   
6. 
   Y.Ş.Səlimov, M.M.Səbzəliyev. Ali riyaziyyatdan mə- sələlər II hissə.Baki-2005