Shartli ehtimollik. Asosiy teoremalar. Hech bo’lmaganda bitta hodisaning ro’y berish ehtimoli

Namunaviy masalalar yechish
Masala: Gulzorda 20 ta qizil, 30 ta binafsha rang va 40 ta oq rangli astra ochilgan. Agar kech tushgandan so’ng bitta gul uzilgan bo’lsa, uning qizil yoki binafsha rang bo’lish ehtimolini toping.
Yechish: .
Masala: 1- va 2- to’pdan otilganda, nishonga tegish ehtimoli mos ravishda 0,7 va 0,8 ga teng. Ikkala to’pdan bir vaqtda o’q otilganda hech bo’lmaganda bittasining nishonga tegish ehtimolini toping.
Yechish: .

Hech bo’lmaganda bitta hodisaning ro’y berish ehtimoli. hodisalar to’plami o’zaro bog’liqsiz va bo’lsin. Aytaylik, sinov natijasida bu hodisalarning hech biri ro’y bermasligi yoki ularning bir qismi, yoki hammasi ro’y berishi mumkin bo’lsin. hodisa hodisalarning hech bo’lmaganda bittasi ro’y berishidan iborat hodisa bo’lsin. U holda

Xususan, agar hodisalarning ehtimolliklari bir xil bo’lsa, u holda .
Namunaviy masalalar yechish
Masala: Dushman kemasi 3 to’pdan o’qqa tutilmoqda. Ularning nishonga tegish ehtimoli mos ravishda 0,8; 0,7; 0,9. Agar kemani cho’ktirish uchun bitta tekkizish etarli bo’lsa, dushman kemasi 3 to’pdan bir otishda cho’ktirish ehtimolini toping.
Yechish:
.
Masala: Basketbolchining bir tashlashda koptokni savatga tushirish ehtimoli 0,4 ga teng ekanligi ma’lum. 0,9 dan kam bo’lmagan ehtimollik bilan hech bo’lmaganda bir marta savatga tushirishi uchun basketbolchi koptokni necha marta tashlashi kerak?
Yechish: Hodisalar o’zaro bog’liq emas, shuning uchun . Masalaning shartiga ko’ra: . Demak, .
yoki .
;
Shunday qilib, , ya’ni basketbolchi savatga koptokni kamida 5 marta tashlashi kerak ekan.


Mustahkamlash uchun masalalar
1. Kuzatuvchining taxminiga ko’ra, agar ma’lum muddatda foiz me’yori pasaysa, xuddi shu davrda aksiyalar bozorining o’sish ehtimoli 0,8 ga teng. Kuzatuvchi shu davrda foiz me’yori pasayishi ehtimoli 0,4 ga teng deb hisoblaydi. Aytilgan davrda aksiyalar bozori rivojlangan holda foiz me’yori pasayishi ehtimolini toping.
2. Har bir tajribada hodisaning ro’y berish ehtimoli bir xil va 0,2 ga teng. Tajribalar ketma-ket ravishda hodisa ro’y bergunga qadar o’tkazildi. Hodisaning 1-marta ro’y berish 4 - marta tajriba o’tkazishga to’g’ri kelish ehtimoliligini toping.
3. 1-dastgohda tayyorlangan mahsulotning 1-navli bo’lish ehtimoli 0,7 ga va 2-dastgohda shu mahsulotning 1-navli bo’lish ehtimoli 0,8 ga teng. Agar 1-dastgohda 2 ta, 2-dastgohda 3 ta mahsulot tayyorlangan bo’lsa, barcha mahsulotning 1-navli bo’lish ehtimolini toping.
4. Tasodifiy sonlar jadvalidan olingan sonlarning hech bo’lmaganda bittasi juft bo’lish ehtimoli kamida 0,9 ga teng bo’lishiga kafolot berish uchun tasodifiy sonlar jadvalidan nechta son olish kerak?
5. Korxonada ishlaydigan 550 ishchining 380 tasi oily, 412 tasi o’rta maxsus va 357 tasi ham oily, ham o’rta maxsus ma’lumotli. Tasodifiy ravishda tanlab olingan ishchining yoki oily, yoki o’rta maxsus, yoki ham oily, ham o’rta maxsus ma’lumotli bo’lishi ehtimolini toping.
6. Iste’mol bozorini o’rganish uchun tish pastasiga tegishli so’rov o’takazildi. Agar aholining 14% i A turdagi, 9% i B turdagi tish pastasidan foydalanishi ma’lum bo’lsa, tasodifiy ravishda tanlab olingan kishi A yoki B turdagi tish pastalaridan foydalanishi ehtimolini toping.
7. Kompyuter va amamliy dasturlar paketini sotib olmoqchi bo’lgan xaridorning faqat kompyuter sotib olish ehtimoli 0,15 ga teng. Faqat amaliy dasturlar paketini sotib olish ehtimoli 0,1 ga teng. Ham kompyuter, ham amaliy dasturlar paketini sotib olish ehtimoli 0,05 ga teng. Yoki kompyuter, yoki amaliy dasturlar paketini sotib olish ehtimolini toping.
8. Korxonaning A firma bilan shartnoma tuzish ehtimoli 0,4 ga, B firma bilan shartnoma tuzish ehtimoli 0,3 ga teng. Ikkala firma bilan ham shartnoma tuzish ehtimoli 0,12 ga teng. Korxonaning bu firmalarning hech bo’lmaganda bittasi bilan shartnoma tuzish ehtimolini toping.
9. Shahar avtotransporti muammolarini o’rganish maqsadida so’rov o’tkazildi. So’rov o’tkaziladigan joyda 75% aholi ishga jamoat transportida qatnaydi. Agar 3 kishi so’rovga rozi bo’lgan bo’lsa, ulardan hech bo’lmaganda bittasining ishga jamoat transportida qatnash ehtimolini toping.
10. Firma muammolarini o’rganish maqsadida so’rov o’tkazdi. So’rov o’tkaziladigan joyda 1% aholi firmani qiziqtirgan mahsulotlarni iste’mol qiladi va ular baho bera oladi. Ular ichidan tasodifiy ravishda 10 kishi tanlab olindi. Bulardan hech bo’lmaganda bittasi mahsulotni asosli baholay olish ehtimoli qancha?
11. Sifat nazorati ishlab chiqarilgan ruchkaning har 100 tasidan bittasi singanligini ta’kidladi. Tasodifiy ravishda olingan 2 ta ruchkaning hech bo’lmaganda bittasi siniq bo’lishi ehtimoli qancha?
12. 2 ta ovchi bo’riga qarab bir martadan o’q uzishdi. 1-ovchi uchun tekkizish ehtimoli 0,7 ga, 2- ovchi uchun tekkizish ehtimoli 0,8 ga teng. Bo’riga o’q tekkanlik ehtimoli qancha?
13.Sug’urta kompaniyasining 30, 40 va 50 yoshli 3 ta mijozlarining 70 yoshgacha yashash ehtimollari mos ravishda 0,55; 0,61 va 0,69 ga teng.
a) uchchala mijozning 70 yoshgacha yashashi;
b) faqat bitta mijozning 70 yoshgacha yashashi;
v) hech bo’lmaganda bitta mijozning 70 yoshgacha yashashi;
g) kamida 2 ta mijozning 70 yoshgacha yashashi;
d) agar eng yosh mijozning 70 yoshgacha yashagani ma’lum bo’lsa, kamida 2 ta mijozning 70 yoshgacha yashagan bo’lishi ehtimolini toping.
14.Sug’urta kompaniyasi portfelida 12 ta hayotni sug’urtalash shartnomalari, 5 ta yong’indan sug’urtalash shartnomalari va 10 ta avtomobilni sug’urtalash shartnomalari bor. 2 ta shartnoma tasodifiy ravishda olinadi.
a) agar kamida bitta shartnoma hayotni sug’urtalash bo’yicha ekanligi ma’lum bo’lsa, ikkala shartnomaning ham hayotni sug’urtalash bo’yicha bo’lishi;
b) 2 ta turli shartnoma bo’lishi;
v) agar birorta ham shartnoma avtomobilni sug’urtalash bo’yicha emasligi ma’lum bo’lsa, 2 ta bir xil shartnoma bo’lishi;
g) agar bitta shartnoma yong’indan sug’urtalash bo’yicha ekanligi ma’lum bo’lsa, ikkala shartnomaning ham yong’indan sug’urtalash bo’yicha bo’lishi ehtimolini toping.
15. 4 ovchi nishonga tekkizish bo’yicha shartlashib olishdi. Oldingi otgan ovchi xato otgan taqdirdagina keyingi ovchi o’q uzadi. Har bir ovchi uchun nishonga tekkizish ehtimoli 0,6 teng.
a) 1 ta o’q uzilishi;
b) 2 ta o’q uzilishi;
v) 3 ta o’q uzilishi;
g) 4 ta o’q uzilishi ehtimolini toping.
16. raqamlardan tavakkaliga qaytarmasdan ketma-ket 2 tasi tanlanadi.
a) birinchi tanlangan raqam;
b) ikkinchi tanlangan raqam;
v) ikkala tanlangan raqamning ham juft bo’lish ehtimolini toping.
17. Agar bo’lsa, u holda munosabat o’rinli bo’lishini isbotlang.
18.Agar va bo’lsa, u holda tengsizlik o’rinli bo’lishini isbotlang.
19. Firmaning 550 xodimidan 380 tasi oliy ma’lumotga, 412 tasi esa o’rta-maxsus ma’lumotga hamda 357 tasi oliy va o’rta maxsus ma’lumotga egadir. Ixtiyoriy tanlangan xodim:
a) oliy:
b) o’rta maxsus
v) ham oliy, ham o’rta maxsus ma’lumotlarga ega ekanligi ehtimolini toping.
20. va aktsiyalar bitta tashkilotda chiqarilgan. aktsiyaning narxi kelasi haftada ko’tarilishi ehtimoli 0,2 ga, ikkala aktsiyalar narxining ko’tarilishi ehtimoli 0,12 ga teng. Faraz qilaylik, siz kelasi haftada aktsiyaning narxi ko’tarilishini bilasiz. aktsiyaning ham narxi ko’tarilish ehtimolini toping.
21.Kompyuter va amaliy dasturlar to’plamini sotib olmoqchi bo’lgan xaridorni faqat kompyuter sotib olish ehtimoli 0,15 ga, faqat amaliy dasturlar to’plamini sotib olish ehtimoli esa 0,1 ga teng. Har ikkalasini sotib olish ehtimoli esa 0,05 dir. Kompyuter yoki amaliy dasturlar to’plamini sotib olinish ehtimoli nechaga teng?
22.Brokerlik firmasiga investitsiya qilish imkoniyatlari bilan qiziquvchilarning 85% aktsiyalar sotib olmaydilar, 33% esa obligatsiyalar sotib olmaydilar. Yana shu narsa ma’lumki, qiziquvchilarning 28% aktsiya va obligatsiya kabi qimmatli qog’ozlarni sotib olishni to’xtatdilar. Kimdir kompaniya ishlari bilan qiziqmoqda; uning yoki aktsiya yoki obligatsiya yoki ikkalasini sotib olish ehtimoli nechaga teng?
23. Iqtisodiyot fakulteti bitiruvchisining diplom himoyasidan a’lo baho olish ehtimoli 0,6 ga teng. Uning diplom himoyasini a’loga topshirishi va bankda ishlashga taklif olishi ehtimoli 0,4 ga teng. Deylik, talaba diplomni himoya qildi. Unga bankdan ishga taklif tushish ehtimoli nimaga teng?
24.Talabalar guruhi 28 kishidan iborat. Talabalarning 20 tasi 19 yoshdan katta, 8 tasi esa 22 yoshdan katta. Qur’a tashlash yo’li bilan kontsertga taklif chiptasi o’ynaldi. Chipta 19 yoshdan katta bo’lgan talabaga yoki 22 yoshdan katta bo’lgan talabaga tushish ehtimoli topilsin.
25.Ertaga iste’mol mollari narxining o’sish ehtimoli 0,3 ga teng, shuningdek, ertaga kumush narxining ko’tarilish ehtimoli 0,2 ga teng. Bir vaqtda har ikkalasi narxining ko’tarilish ehtimoli esa 0,06 ga teng. Iste’mol mollari va kumushning narxlari bir-biriga bog’liqmi yoki yo’qmi? Javobni asoslang.
26.Supermarketga kiruvchi xaridorlar sonini hisoblash maqsadida kiraverishda yashirin «elektron ko’z» o’rnatilgan. Do’konga 2 ta xaridor ketma-ket kirganda birinchi xaridorni elektron qurilma 0,98 ehtimol bilan, ikkinchisini 0,94 ehtimol bilan, har ikkalasini esa 0,93 ehtimol bilan hisobga oladi. Qurilmaning do’konga birgalikda kirgan ikki xaridordan kamida bittasini hisobga olish ehtimoli nimaga teng?
27.Chetdan mol keltirish va chetga mol chiqaruvchi firma rivojlanayotgan mamlakatlarning biri bilan qishloq xo’jalik asbob-uskunalari bilan ta’minlash to’g’risida shartnoma tuzmoqchi. Agar asosiy konkurent firma bir vaqtda o’sha shartnomaga da’vogarlik qilmasa, u holda shartnomani qo’lga kiritish ehtimoli 0,45 deb baholanadi, aks holda esa 0,25 deb hisoblanadi. Kompaniya ekspertlarining baholashi bo’yicha konkurent firmaning shartnomani tuzish uchun o’zining taklifini kiritish ehtimoli 0,4 ga tengdir. Shartnomaning tuzilish ehtimolini toping.
28.Bank 6 ta filialga ega. Har bir filial 0,2 ehtimol bilan bir-biriga bog’liqmas holda ertangi kunga yirik miqdorda buyurtma berishi mumkin. Ish kunining oxirida bankning vitse-prezidentlaridan biri tushgan buyurtmalar bilan tanishdi.
a) roppa-rosa 2 ta buyurtma;
b) hech bo’lmaganda 1 ta buyurtma tushish ehtimolini toping. Agar 2 ta buyurtma tushgan bo’lsa, shulardan biri birinchi filialdan tushganligi ehtimoli nimaga teng?
29.Har birida faqat bitta chipta yutish imkoniyati bo’lgan 25 talaba 4 ta yutuqli chiptani o’ynashmoqda. Agar ularning 15 tasi qizlar bo’lsa,
a) 4 ta qiz;
b) 4 ta o’smir;
v) 3 ta o’smir va 1 ta qiz yutishi ehtimolini toping.
30.Talaba imtihon dasturidagi 25 savoldan 20 tasini biladi. Agar talaba imtihon biletidagi qo’yilgan 4 ta savoldan kamida 3 tasiga javob bera olsa, imtihon topshirilgan bo’ladi. Talaba olgan biletidagi 1-savolga ko’z tashlab, unga javob bera olishini bildi. Talabaning
a) imtihonni topshirishi;
b) imtihonni topshira olmasligi ehtimolini toping.
31.20 ta jamg’arma bankdan 10 tasi shahar chekkasida joylashgan. Tekshirish uchun tasodifiy ravishda 5 ta bank tanlab olindi. Tanlangan banklar orasida
a) 3 ta bank;
b) hech bo’lmaganda 1 ta bank shahar chekkasida joylashgan bo’lishi ehtimolini toping.
32.Firmada ishlaydigan 8 ta auditordan 3 tasi yuqori malakali, 5 ta programmistdan esa 2 tasi yuqori malakali. 3 ta auditor va 2 ta programmistni safarga jo’natish kerak. Agar hamma mutaxassislarning safarga borish imkoniyatlari teng bo’lsa, bu guruhda hech bo’lmaganda bitta yuqori malakali auditor va kamida bitta yuqori malakali programmist bo’lishi ehtimolini toping.
33.Ishchi bir-biriga bog’liqmas ishlaydigan 4 ta stanokka xizmat ko’rsatadi. Smena mobaynida birinchi stanok ishchining e’tiborini jalb qilish ehtimoli 0,3 ga, ikkinchisi 0,6 ga, uchinchisi 0,4 ga va to’rtinchisi 0,25 ga teng. Smena mobaynida hech bo’lmaganda bitta stanokning ishchi e’tiborini jalb qilmasligi ehtimolini toping.
34.Qimmatli qog’ozlar bozorida mavjud bo’lgan aktsiyalar paketi egasiga 0,5 ehtimol bilan daromad keltiradi (har bir paket uchun). Hech bo’lmaganda aktsiyalarning bir paketi bo’yicha daromadi 0,96875 dan kam bo’lmagan ehtimol bilan kutish mumkin bo’lishi uchun turli firmalarning nechta paket aktsiyalarini sotib olish kerak?
35.«Tez yordam» stantsiyasi tibbiy yordam so’rab qilingan qo’ng’iroqlarni qabul qiladi. Qo’ng’iroqlar o’rtacha har 5 minutda kelib turadi. Yarim soat ichida
a) 3 ta qo’ng’iroq;
b) hech bo’lmaganda bitta qo’ng’iroq bo’lish ehtimolini toping.
36.Radist muxbirni 3 marta chaqiradi. Birinchi chaqiriqning qabul qilinish ehtimoli 0,2 ga, ikkinchisi uchun 0,3 ga, uchinchisi uchun 0,4 ga teng. Yuborilgan chaqiriq qabul qilingan bo’lishi hodisalarini bog’liqmas deb hisoblab, muxbir radist chaqirig’ini eshitishi ehtimolini toping.