Sinashlarning takrorlanishi

Sinashlarning takrorlanishi

1. Bernulli sxemasi

2. Bernulli formulasi
3. Muavr-Laplas teoremalari
4. Puasson teoremasi


1. Bernulli sxemasi

Agar sinashlar natijalarining har qanday kombinasiyasi bog’liqmas hodisalar to’plamidan iborat bo’lsa, u holda bunday sinashlarga bog’liqmas sinashlar deyiladi.

ta bogliqmas sinashlar takrorlanayotgan, ya’ni ketma-ket o’tkazilayotgan bo’lsin. Agar sinashlarning har birida hodisaning ro’y berishi ehtimoli bir xil ga teng bo’lsa, u holda bu sinashlarga hodisaga nisbatan bog’liqmas sinashlar deyiladi. Sinashlarning bunday ketma-ketligi Bernulli sxemasi deb ataladi. Masalan, tangani bitta tashlashda ehtimoli ga teng gerbil tomoni tushishi hodisasining ta sinashlar ketma-ketligi Bernulli sxemasini ifodalaydi. Bernulli sxemasi ikkita son – sinashlar soni va hodisaning ro’y berishi ehtimoli bilan to’la aniqlanadi.
Bernulli sxemasi uchun quyidagi masalalarni qaraymiz:
1. Chekli sondagi ta sinashlar ketma-ketligida hodisaning rosa marta ro’y berishi ehtimoli ni topish;
2. Chekli sondagi ta sinashlar ketma-ketligida hodisaning kamida marta va ko’pi bilan marta ro’y berishi ehtimoli ni topish;
3. 1-masalani va sonlarining yetarlicha katta qiymatlarida yechish;
4. 2-masalani va sonlarining yetarlicha katta qiymatlarida yechish;
5. 1-masalani sonining etarlicha katta va sonining etarlicha kichik qiymatlarida, ya’ni chekli son bo’lganda yechish.
2. Bernulli formulasi

1-masalani yechamiz, ya’ni ta sinashlar ketma-ketligida hodisaning rosa marta ro’y berishi ehtimoli ni topamiz.

Bernulli sxemasi ikkita sinashda hodisaning ro’y berishi va sinashda hodisaning ro’y bermasligi elementar natijalaridan tashkil topadi, bu yerda .
ta sinashlar ketma-ketligida hodisaning marta ro’y berishi hodisasi bo’lsin. hodisani va elementar natijalar orqali ifodalaymiz.
Masalan, , da
,
ya’ni hodisa uchta sinashning ikkitasida ro’y beradi, agar ular va sinashlarda ro’y bersa ( sinashda ro’y bermasa) yoki va sinashlarda ro’y bersa ( sinashda ro’y bermasa) yoki va sinashlarda ro’y bersa ( sinashda ro’y bermasa).
Shu kabi umumiy holda
, (1)
ya’ni hodisa ro’y berishining har bir varianti ((1) yig’indining har bir qo’shiluvchisi) hodisaning marta va hodisaning marta ro’y berishidan
( har xil indeksli ta va ta ko’paytuvchilardan) iborat.
Bunday variantlar (qo’shiluvchlar) coni ta elementdan tadan guruhlashlar soni ga teng. Har bir variant birgalikda bo’lmagan hodisalardan tashkil topgani va variantlar o’zaro bog’liqmas bo’lgani uchun ehtimollarni ko’paytirish va qo’shish teoremalariga binoan

bo’ladi.
Shunday qilib, agar hodisaning ro’y berishi ehtimoli sinashlarning har birida o’zgarmas bo’lsa, u holda ta bog’liqmas sinashlar ketma-ketligida hodisaning rosa marta ro’y berishi ehtimoli
(2)
bo’ladi.
(2) formula Bernulli formulasi deb yuritiladi.
Agar Bernulli sxemasining ta sinashlarida hodisaning marta ro’y berishi ehtimoli istalgan larda ehtimollardan katta bo’lsa, u holda songa eng ehtimolli son deyiladi.
Demak, ta’rifga ko’ra , .
Bundan
, .
Tengsizliklarning birinchisidan

yoki

Bundan . Shu kabi ikkinchi tengsizlikdan .
Ikkita tengsizlikni solishtirsak,
(3)
Qo’sh teksizlikdan ekanini inobatga olib, quyidagi hulosaga kelamiz:
a) agar kasr son bo’lsa, u holda bitta eng ehtimolli son mavjud bo’ladi;
b) agar butun son bo’lsa, u holda ikkita eng ehtimolli va sonlari mavjud bo’ladi;
c) agar butun son bo’lsa, u holda bitta eng ehtimolli son mavjud
bo’ladi.
1-misol. 3 ochkoning 10 marta tushishi eng ehtimolli bo’lishi uchun o’yin kubigini
necha marta tashlash kerak?
Y e c h i s h. Shartga ko’ra , .
(3) tengsizliklardan topamiz:
yoki
Bundan Demak, o’yin kubigini 59 martadan 65 martagacha tashlash kerak.
2-masalani yechamiz, ya’ni ta sinashlar ketma-ketligida hodisaning kamida marta va ko’pi bilan marta ro’y berishi ehtimoli ni topamiz.
Bu hodisa juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan ta sinashlar ketma-ketligida
hodisa rosa marta ro’y berishidan iborat hodisalarning yig’indisidan
tashkil topadi. U holda ehtimollarni qo’shish teoremasiga ko’ra
(4)
bo’ladi.
2-misol. Auksionda o’rtacha 20% aksiya boshlang’ich qiymatida sotiladi. Sotish natijasida 9 aksiyalar paketidan boshlang’ich qiymatida paketlarning:
a) rosa 4 tasi sotilishi ehtimolini;
b) 2 tadan 4 tagacha bo’lgani sotilishi ehtimolini;
c) 2 tadan kam bo’lgani sotilishi ehtimolini;
d) 2 tadan ko’p bo’lmagani sotilishi ehtimolini;
e) hech bo’lmaganda 2 tasi sotilishi ehtimolini;
f) eng ehtimolli soni sotilishi ehtimolini toping.
Y e c h i s h. Aksiyalar paketining boshlang’ich qiymatida sotillishi ehtimoli va sotilmasligi ehtimoli U holda:
a)
b)

c)
d)

e)
f) Paketlarning boshlang’ich qiymatda sotilishining eng ehtimolli sonini topamiz:
yoki
ya’ni eng ehtimolli sonlar ikkita:
Demak,