Sinashlarning takrorlanishi

3. Muavr – Laplas teoremalari

3-masalani yechamiz, ya’ni va sonlarining yetarlicha katta qiymatlarida ni topamiz.

va sonlarining yetarlicha katta qiymatlarida ni hisoblash , va kasr sonlar bo’lishi bu masalani Bernulli formulasi bilan yechish uchun qiyinchilik tug’diradi
ni hisoblashning taqribiy, ammo ning yetarlicha katta qiymatlarida aniq va amaliy jihatdan qulay bo’lgan formulasi mavjud. Bu formula bo’lgan hususiy hol uchun 1730 yilda Muavr tomonidan topilgan, keyinchalik 1783 yilda Laplas tomonidan uchun umumlashtirilgan.
1-teorema (Muavr-Laplasning lokal teoremasi). Agar hodisaning ro’y berishi
ehtimoli har bir sinashda o’zgarmas va ga teng bo’lsa, u holda sonining
yetarlicha katta qiymatlarida
(5)
bo’ladi, bu yerda ,
funksiya jadvallashtirilgan bo’lib, uning qiymatlari jadvali ehtimollar nazariyasiga oid har bir qo’llanmada keltiriladi. Bu jadvaldan foydalanishda funksiyaning quyidagi xossalari inobatga olinishi lozim:
juft funksiya, uning grafigiga Gauss egri chizig’i (yoki normal egri chiziq) deyiladi;
ning musbat qiymatlarida monoton kamayuvchi, xususan
da .
va sonlarining yetarlicha katta qiymatlarida ni topish, ya’ni 4-masala Muavr-Laplasning integral teoremasi orqali echiladi.
2-teorema ( Muavr-Laplasning integral teoremasi). Agar hodisaning ro’y berishi ehtimoli har bir sinashda o’zgarmas va ga teng bo’lsa, u holda sonining yetarlicha katta qiymatlarida
(6)
bo’ladi, bu yerda
funksiyaga Laplas funksiyasi deyiladi. funksiya jadvallashtirilgan bo’lib, bu jadvaldan funksiyaning quyidagi xossalarini inobatga olgan holda foydanish kerak:
toq funksiya;
monoton o’suvchi, xususan da
Muavr-Laplas teoremalarining isbotini keltirmaymiz. Bu isbotlar bilan ehtimollar nazariyasining to’la kurslarida tanishish mumkin.
3-misol. Tanga 100 marta tashlanganda gerbli tomoni:
a) rosa 60 marta tushishi ehtimolini;
b) 45 dan 55 martagacha tushishi ehtimolini toping.
Y e c h i s h. a) Shartga ko’ra .
U holda (5) formulaga binoan

bu yerda
Shunday qilib,

b) Bunda U holda (6) formuladan

bu yerda
Demak,