Sonli ketma-ketliklar

Ta`rif. Har qanday AЄΩ tasodifiy hodisaning ehtimoli deb songa aytiladi.

11-misol. Tajriba tangani bir marta tashlashdan iborat bo`lsin. U holda elementar hodisalar , bo`ladilar. Tanga simmetrik va bir jinsli bo`lmaganligi uchun deb olish mumkin, chunki 1/2+1/2=1

12-misol. Tajriba o`yin soqqasini bir marta tashlashdan iborat bo`lsin.

U holda elementar hodisalar:

Elementar hodisalar fazosi 6 ta elementdan iborat bo`ladi. Shoshqol tosh bir jinsli bo`lmaganligi uchun hisoblash maqsadga muvofiq chunki 1/6+1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=1

13-misol. Tangani toki birinchi marta gerb tushguncha tashlash tajribasida

, ,…., …. kabi olish maqsadga muvofiq. Bunday berilgan ehtimollik Ω da ehtimollik taqsimotini aniqlaydi, chunki

.
Hamma vaqt ham ehtimollikni bunday oson aniqlab bo`lmaydi:

Masalan: bo`lib kunda darsga kelmagan talabalar soni bo`lsa larni aniqlash ancha qiyin bo`ladi. Chunki lar juda ko`p sabablarga bog`liq.

Bunday hollarda lar ma`lum shartlar va mulohazalar yordamida aniqlanadi.

Demak elementar hodisalarning diskret fazosida har qanday hodisaning ehtimoli

Bunday aniqlangan ehtimollik quyidagi xossalarga ega.

1. ,

2. .

3.

Agar bo`lsa, ikkinchi xossadan birgalikda bo`lmagan hodisalar uchun qo`shish teoremasi kelib chiqadi.

Agar hodisalar o`zaro birgalikda bo`lmasalar u holda qo`shish teoremasi ko`rinishni oladi.

Unga ehtimollikning chekli additivlik xossasi deyiladi.
http://fayllar.org

Ehtimollar nazariyasining iqtisodiy, texnik masalalar uchun ahamiyati. Ularni yechish usullari.

Reja:

1. 
   Ehtimollar nazariyasi predmeti.
   
2. 
   Ehtimollar nazariyasi rivojlanishining qisqacha tarixi.
   
3. 
   Ehtimollar nazariyasining iqtisodiy, texnik masalalar uchun ahamiyati.
   
4. 
   Elementar hodisalar va hodisalar.
   
5. 
   Ehtimollik va uning ta’rifi.
   
6. 
   Nisbiy chastota.
   

Uzoq davrlar mobaynida insoniyat o‘z faoliyati uchun faqat determinirlangan deb atalmish qonuniyatlarni o‘rganar va ular-dan foydalanar edi. Biroq tasodifiy hodisalar bizning hayotimizga xohish-irodamizdan qat’iy nazar kirib kelgani va bizni doimo o‘rab turgani uchun hamda, ustiga-ustak, tabiatning deyarli barcha hodisalari tasodifiy xususiyatli bo‘lgani uchun ularni tadqiq qilishni o‘rganish va shu maqsadda tadqiqot usullarini ishlab chiqish zarurdir.
Tabiat va jamiyat qonunlari sababiy bog‘lanishlarning namoyon bo‘lish shakli bo‘yicha ikkita sinfga bo‘linadi: determinirlangan (oldindan aniq) va statistik.
Masalan, osmon mexanikasi qonunlariga asosan Quyosh sis-temasidagi sayyoralarning hozir ma’lum bo‘lgan vaziyati bo‘yicha ularning ixtiyoriy paytdagi vaziyati amalda bir qiymatli oldindan aytib berilishi mumkin, shu jumladan, Quyosh va Oy tutilishlari juda aniq bashorat qilinishi mumkin. Bu determinirlangan qonunlarga misol.
Shu bilan birga hamma hodisalarni ham aniq bashorat qilib bo‘lmaydi. Masalan, iqlimning uzoq muddat davomida o‘zgarishlari, ob-havoning qisqa muddatli o‘zgarishlari muvaffaqi-yatli bashorat qilishning ob’ektlari bo‘la olmaydi, ya’ni ko‘pgina qonunlar va qonuniyatlar determinirlangan doiraga ancha kam darajada bo‘ysunadi. Bunday turdagi qonunlar statistik qonunlar deb ataladi. Bunday qonunlarga asosan, biror-bir tizimning kelajakdagi holati bir qiymatli emas, balki faqat ma’lum bir ehtimollik bilan aniqlanadi.
Ehtimollar nazariyasi boshqa matematik fanlar kabi amaliyot ehtiyojlaridan paydo bo‘ldi va rivojlandi. U ommaviy tasodifiy hodisalarga xos qonuniyatlarni o‘rganish bilan shug‘ullanadi.
Ehtimollar nazariyasi shart-sharoitlarning aniq bir majmuasini amalga oshirganda ko‘p marotalab qaytarilishga qodir bo‘lgan ommaviy tasodifiy hodisalarning xossalarini o‘rgana-di. Tabiatidan qat’iy nazar, ixtiyoriy tasodifiy hodisaning asosiy xususiyati — uni amalga oshishining o‘lchovi yoki ehtimol-ligi.
Biz kuzatadigan hodisalarni uchta turga bo‘lish mumkin: muqarrar, mumkin bo‘lmagan va tasodifiy.
Muqarrar hodisa deb albatta ro‘y beradigan hodisaga aytiladi. Mumkin bo‘lmagan hodisa deb mutlaqo ro‘y bermaydigan hodisaga aytiladi. Tasodifiy hodisa deb ro‘y berishi ham, ro‘y bermasligi ham mumkin bo‘lgan hodisaga aytiladi.
Ehtimollar nazariyasi yakka hodisa ro‘y berish yoki bermasligini oldindan aytib berish vazifasini o‘z oldiga qo‘ymaydi, chunki tasodifiy hodisaga hamma shart-sharoitlarning ta’siri-ni hisobga olish mumkin emas. Boshqa tomondan qaraganda, konkret tabiatidan qat’iy nazar, yetarlicha ko‘p sondagi bir jinsli tasodifiy hodisalar tayin qonuniyatlarga, aniqrog‘i ehtimoliy qonuniyatlarga bo‘ysunadi.
Shunday qilib, ehtimollar nazariyasining predmeti ommaviy bir jinsli tasodifiy hodisalarning ehtimoliy qonuniyatlarini o‘rganishdir.
XVII asrning boshlaridayoq ommaviy tasodifiy hodisalarga xos bo‘lgan ba’zi-bir masalalarni tegishli matematik uslublar-dan foydalangan holda yechishga urinishgan. B. Paskal, P. Ferma va X. Gyuygens XVII asrning o‘rtalarida turli qimor o‘yinlarining kechishi va natijalarini o‘rgana borib, klassik ehtimollar nazariyasiga asos solishdi. Ular o‘z ishlarida ehtimollik va tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi tushunchalaridan oshkor bo‘lmagan holda foydalanishgan. Faqat XVIII asrning boshida Ya.Bernulli ehtimollik tushunchasini shakllantiradi.
Ehtimollar nazariyasining keyingi muvaffaqiyatlari Muavr, Laplas, Gauss, Puasson va boshqalarning nomlari bilan bog‘liq.
Ehtimollar nazariyasining rivojlanishiga P.L. Chebishev, A.A. Markov, A.M. Lyapunov, S.N. Bernshteyn, A.N. Kolmogorov, A.Ya. Xinchin, A. Proxorov va boshqalar kabi rus va sovet matematiklari ulkan hissa qo‘shishgan.
Akademiklar V.I. Romanovskiy, S.X. Sirojiddinov, T.A. Sarimsoqov, T.A. Azlarov, Sh.K. Farmonov, professorlar I.S. Badalboyev, M.U. G‘ofurov, Sh.A. Xoshimov kabi yorqin namoyondalari bo‘lgan O‘zbekiston maktabining ehtimollar nazariyasini rivojlantirishdagi alohida o‘rni bor.
Yuqorida ta’kidlab o‘tilganidek, amaliyot ehtiyojlari ehtimollar nazariyasining paydo bo‘lishiga ko‘maklashgan holda uning fan sifatida rivojlanishini ta’minladi, yangi tarmoqlar va bo‘limlarning paydo bo‘lishiga olib keldi. Vazifasi bosh to‘plamga xos bo‘lgan tavsiflarni tanlanma bo‘yicha ma’lum bir ishonchlilik darajasida tiklashdan iborat bo‘lgan matematik statistika ehtimollar nazariyasiga tayanadi. Ehtimollar nazari-yasidan tasodifiy- jarayonlar nazariyasi, ommaviy xizmat ko‘rsatish nazariyasi, axborot nazariyasi, ishonchlilik nazariyasi, ekonometrik modellashtirish kabi fan tarmoqlari ajralib chiqdi.
Ehtimollar nazariyasini tatbiq qilishning eng muhim yo‘-nalishlari sifatida iqtisodiyot, texnika fanlarini ko‘rsatish mumkin. Hozirgi paytda ehtimollar nazariyasiga tayanuvchi mo-dellashtirishlarsiz, korrelyatsiyaviy va regressiyaviy tahlil, adekvatlik hamda «sezgir» adaptiv modellarisiz iqtisodiy-texnik tasodifiy jarayonlarni tadqiq etishni tasavvur qilish qi-yin.
Avtomobil oqimlarida ro‘y beradigan hodisalar, mashina qismlarining ishonchlilik darajasi, yo‘llardagi avtohalokatlar, yo‘llarni loyihalash jarayonidagi har xil holatlar determinirlanmagan bo‘lganligi sababli ehtimollar nazariyasi uslublari orqali tadqiq etiluvchi muammolar doirasiga kiradi.
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari — tajriba yoki eksperiment va hodisalar. Muayyan shart-sharoit va holatlarda amalga oshiriladigan xatti-harakatlarni eksperiment deb ataymiz. Eksperimentning har bir amalga oshishi tajriba deb ataladi.
Eksperimentning har qanday mumkin bo‘lgan natijasi elementar hodisa deb ataladi va orqali belgilanadi. Tasodifiy hodisalar bir qancha elementar hodisalardan tashkil topadi va A, B, C, D,... orqali belgilanadi.

1. 
   eksperiment o‘tkazilishi natijasida elementar hodisalarning bittasi doimo sodir bo‘ladi;
   
2. 
   bitta tajribada faqat bitta elementar hodisa sodir bo‘ladi
   

degan shartlar bajariladigan elementar hodisalar to‘plami elementar hodisalar fazosi deb ataladi va orqali belgilanadi.
Shunday qilib, ixtiyoriy tasodifiy hodisa elementar hodisalar fazosining qism to‘plami bo‘ladi. Elementar hodisalar fazosining ta’rifiga asosan muqarrar hodisani orqali belgilash mumkin. Mumkin bo‘lmagan hodisa orqali belgilanadi.