Suyuqliklarda

4 - rasm. Tezlik epyurasi (punktir chiziq) va o’rtacha tezlik (tutash chiziq): a- trubalarda, b- kanallarda.

Elementar oqimcha uchun uzluksizlik tenglamasini chiqaramiz. Oqimda harakat

o’qi
l  l
bo’lgan elementar oqimchani olib, uning 1-1 va 2-2 kesimlar orasidagi

bo’lagini tekshiramiz (5 - rasm). 1-1 kesimning yuzasi
dS₁
ning tezligi
u₁ , 2-2

kesimning yuzasi
dS ₂ ning tezligi u ₂
bo’lsin va bu kesimlarda tegishli elementar sarflar

q₁  u₂ dS₁ ва
q₂  u₂ dS₂
ga teng bo’lsin.

5 - rasm. Uzilmaslik tenglamasiga doir chizma.

Bu holda 1-1 va 2-2 kesimlar orqali o’tuvchi bu elementar sarflar

q₁  q₂
bo’ladi. Buni isbotlash uchun quyidagi ikki holni ko’ramiz:
(4)

1. 
   q₁  q₂ bo’lsin. Bu holda 1-1 va 2-2 kesimlar o’rtasida suyuqlik to’planishi yoki
   

elementar oqimcha devorlari orqali tashqariga chiqishi mumkin degan xulosa chiqadi. Yuqorida aytilganidek, elementar oqimcha devoridan suyuqlik o’tmaydi va elementar oqimchaning ko’ndalang kesimlari o’zgarmasdir. Demak, bu taxmin notug’ri ekanligi ko’rinib turibdi.

2. 
   q₁  q₂ bo’lsin. Bu holda 1-1 va 2-2 kesimlar orasiga qayerdandir suyuqlik
   

qo’shilib turishi yoki elementar oqimcha devori orqali ichqariga o’tib turishi kerak. Yuqoridagiga asosan bunday taxmin ham noto’g’ri ekanligi ko’rinadi. Shunday qilib

4. 
   tenglik to’g’ri ekanligi isbotlandi. Elementar sarflar tengligidan
   

ekanligi kelib chiqadi.

u₁ds₁  u₂ ds₂
(5)

1-1 va 2-2 kesimlar ixtiyoriy tanlab olinganligi uchun elementar oqimchaning xoxlagan kesimi uchun elementar sarf teng bo’ladi, ya`ni

u₁ds₁  u₂ ds₂
 u₃ ds₃  u_n ds_n
 const .

4. 
   tenglama elementar oqimcha uchun uzluksizlik tenglamasi deb ataladi. Bu tenglamadan ko’rinib turibdiki, elementar oqimchaning barcha kesimlarida elementar sarf bir xildir. (5) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
   

u_{2 } dS _{2 .}
u₁ dS₁
Bundan elementar oqimchaning ixtiyoriy ikkita kesimidagi tezliklar bu kesimlar yuzasiga teskari proportsional ekanligi kelib chiqadi.
Oqim uchun uzluksizlik tenglamasini chiqaramiz. Bu maqsadda elementar oqimcha uchun olingan uzluksizlik tenglamasidan foydalanamiz. Oqim sarfi cheksiz ko’p elementar oqimchalar sarflari yig’indisidan iborat ekanligini nazarga olib, (5)

tenglamaning chap va o’ng qismini integrallar bilan almashtiramiz:
s₁ va s₂
yuzalar (5 - rasm) bo’yicha olingan

_ u₁dS₁  _ u₂ dS ₂.

(1) tenglama asosan
bo’ladi. Shuning uchun
S<sub>1


</sub> u₁dS₁  v₁ S₁ ,
S₁


v₁ S₁  v₂ S₂ .
S<sub>2


</sub> u₂ dS₂
S₂

 v₂ S₂.

(6)

Tanlab olingan 1-1 va2-2 kesmalar ixtiyoriy bo’lgani uchun

v₁ s₁
 v₂ s₂
 v₃ s₃
 v_n s_n
 const .

Bu oqim uchun uzluksizlik tenglamasidir. Bu tenglamadan ko’rinadiki, oqimning yo’nalishi bo’yicha ko’ndalang kesimlar yuzasi va tezligi o’zgarib boradi. Lekin sarf o’zgarmaydi. (6) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:
v_{1 } s_{2 ,}
v₂ s₁
ya`ni oqimning ko’ndalang kesimidagi o’rtacha tezlik tegishli kesimlar yuziga teskari proportsionaldir.

Bernulli tenglamasini chiqarish uchun kinetik energiyaning o’zgarishi qonunidan

foydalanamiz. Harakat o’qi
l  l
bo’lgan biror elementar oqimcha ajratib, uning 1-1 va

2-2 kesimlar bilan ajratilgan bo’lagini olamiz. U holda bu bo’lak dt vaqtda harakat

qilib,1^1^ ва
2^ 2^
kesimlar orasidagi vaziyatga keladi (6 - rasm).

1-1 kesimning yuzasi
ds₁
, bu yuzaga ta`sir qiluvchi kuch
p₁ va tezlik u₁
bo’lsin,

2-2 kesimning yuzasi esa
ds₂
unga ta`sir qiluvchi kuch
p₂ tezlik esa
u₂ bo’lsin,

kinetik energiyaning o’zgarish qonunini elementar oqimchaning ana shu harakatdagi bo’lagiga tadbiq qilamiz. Bu qonunga asosan biror jism harakati vaqtida uning kinetik energiyasining o’zgarishi, shu jismga ta`sir qilayotgan kuchlar bajargan ishlarning
^ mu ^{2 }

yig’indisiga tengdir. Buning matematik ifodasi quyidagicha bo’ladi: bu erda
d  ^{ } -
 ² 

kinetik energiyaning dt vaqtda o’zgarishi, _ Pi - barcha kuchlar bajargan ishlarning yig’indisi.
Endi, elementar oqimcha bo’lagining 1-1 va 2-2 kesimlar orasidagi vaziyatdan

dt vaqt ichida
1^1^ ва
2^ 2^
kesimlar orasidagi vaziyatga kelganda uning kinetik

energiyasining o’zgarishini ko’ramiz. Harakat barqaror bo’lgani uchun bu o’zgarish

11 ва
1^ 1^
kesimlar orasidagi bo’lak bilan
2  2 ва
2^  2^
kesimlar orasidagi bo’lak

kinetik energiyalarning ayirmasiga teng.