Suyuqliklarda

6 - rasm. Ideal suyuqlik uchun Bernulli tenglamasiga doir chizma.

^ mu ^{2 }

d ^

^  _ Pi ,

2

(7)

11 ва
1^ 1^
kesimlar orasidagi bo’lakning kinetik energiyasi, uning massasi

m₁ bo’lsa,
^{m u 2}1

1
2
ga teng bo’ladi.
^{m u 2} 2
2  2 ва
2^  2^
kesimlar orasidagi bo’lakning kinetik

energiyasi esa ²
2
ga teng. Demak, ko’rilayotgan 1-1 va 2-2 kesimlar orasidagi

bo’lakning kinetik energiyasi dt vaqtda quyidagi miqdorga o’zgaradi:
^{m u 2} 2 ^{m u 2}1

2 _ 1 _.
(8)

2
Ikkinchi tomondan, 11 ва
2
1^ 1^
kesimlar orasidagi bo’lak massasi uning hajmi

dS₁  dl₁ bilan zichligining ko’paytmasiga teng, ya`ni
m₁  ds₁dl₁.

Shuningdek
2  2 ва
2^  2^
kesimlar orasidagi bo’lakning massasi

m₂  ds₂ dl₂  dl₁
ва dl₂ лар dt
vaqt ichida 1-1 va 2-2 kesimlarning yurgan yo’lini

ko’rsatadi, shuning uchun

dl₁
 u₁dt
dl₂  u₂ dt
(9)

u holda
m₁ va
m₂ uchun quyidagi munosabatni olamiz:

m₁  ds₁u₁dt. m₂  ds₂ u₂ dt.
Bu munosabatni (7) ga qo’ysak va uzluksizlik tenglamasidan q  u₁ds₁  u₂ ds₂
ekanligini nazarga olsak, kinetik energiyaning o’zgarishi quyidagicha ifodalanadi:

^{m u 2} 2
^{m u 2}1
^{qdtu 2} 2
^{qdtu 2}1
^{ u 2} 2
^{u 2}1 ^

2 _ 1 _
  qdt ^
 ^.
(10)

2 2 2 2
_ 2 2 _

Endi, bajarilgan ishlarni tekshiramiz. Bu ishlar 1-1 va 2-2 kesimlarga ta`sir qiluvchi gidrodinamik kuchlarning va og’irlik kuchining bajargan ishlaridir. elementar oqimchaning yon sirtlariga ta`sir qiluvchi bosim kuchining bajargan ishi nolga teng ekanligi harakatning barqarorligidan ko’rinadi.

1-1 kesimga ta`sir etuvchi
p<sub>1</sub> bosimning bajargan ishi
A<sub>1</sub> , 2-2 kesimga ta`sir

etuvchi
p₂ bosimning bajargan ishi
A₂ bilan belgilanadi.

6 - rasmdan ko’rinib turibdiki,

A₁ 
p₁ds₁dl₁ ,
A₂ 
p₂ ds₂ dl₂ .

3 ni nazarga olsak va uzluksizlik tenglamasidan foydalansak, quyidagi munosabat kelib chiqadi:

A₁  p₁qdt ,
A₂ 
p₂ qdt .
(11)

Og’irlik kuchi bajargan ishni
A₃ deb belgilaymiz. Bu ish
1^ 1^ ва
2  2 kesimlar

orasidagi bo’lak o’z vaziyatini saqlagani uchun 11 ва
1^ 1^
kesimlar orasidagi bo’lak

bilan
2  2 ва
2^  2^
kesimlar orasidagi bo’laklar markazlarining vertikal o’q bo’yicha

vaziyatlari
z₁ va z ₂
farqiga ko’paytirilganiga teng:

lekin,
A₃  G z₁  z₂ ,

G  ds₁  dl₁  ds₁ u₁  dt  qdt ; G  ds₂  dl₂
bo’lgani uchun
 ds₂ u₂  dt  qdt ,

A₃  qdt z₁  z₂ .
(12)

Endi, (10), (11) va (12) larni (7) ga keltirib qo’ysak, elementar oqimcha uchun kinetik energiyaning o’zgarish qonunini hosil qilamiz:
^{ u 2}2 ^{u 2}1 ^

  qdt ^

_ 2

 ^  p₁qdt  p₂ qdt  qdt z₁  z₂ ,

2 _

bu yerda p₂ kuch suyuqlik harakatiga teskari yo’nalgan bo’lgani uchun tenglamaning
o’ng tomonidagi ikkinchi had A₂ manfiy ishora bilan olindi. Oxirgi tenglamaning ikki
tomonini qdt ga bo’lsak, u holda
u ² u ² p p

2 _ 1
 ¹  ²  z  z

2g 2g   ^{1 2}

Bir xil indeksli hadlarni gruppalab joylashtirsak, Bernulli tenglamasi hosil bo’ladi:
u ² p u ² p

1 _ 1 _{ z}
 ²  ²  z .
(13)

2g  ¹ 2g  ²
Shunday qilib, oqimcha uchun Bernulli tenglamasi kinetik energiyaning o’zgarish qonunini ifodalar ekan
.


7 - rasm. Ideal suyuqlik uchun Bernulli tenglamasining geometrik ma`nosini tushuntirishga doir sxema.

Bernulli tenglamasining har bir hadi geometrik va energetik mazmunlarga ega. Buni aniqlash uchun biror elementar oqimcha olib, uning 1-1, 2-2 va 3-3 kesimlarini

ko’ramiz (7 - rasm). Bu kesimlarning og’irlik markazi biror 0-0 tekisligidan
z₁ , z ₂ va

z₃ masofalarda bo’lsin. Bular qiyosiy tekislik 0-0 dan elementar oqimchaning
geometrik balandliklarini ko’rsatadi. Endi, qabul qilingan 1-1, 2-2 va 3-3 kesimlar tekisliklari markazida p’ezometr va uchi etilgan shisha trubkachalar o’rnatamiz. Bu holda p’ezometrlarda suyuqlik kesimlar og’irlik markaziga nisbatan ma`lum balandlikka ko’tariladi. Bu ko’tarilish gidrostatika qismida ko’rganimizdek kesimlarda quyidagiga teng bo’ladi:

h₁ 
p_{1 ,}

h₂ 
p_{2 ,}

h₃ 
^{p3 . h} ,

1

h_{2 ,} ^h₃

lar p’ezometrik balandliklar deb ataladi. Odatda p’ezometrlar yordamida truba va boshqa idishlarda harakat qilayotgan suyuqlikning gidrostatik bosimi o’lchanadi.
Uchi egilgan naychalarda suyuqlik p’ezometrdagiga qaraganda balandroqqa ko’tariladi. Buning sababi shundaki, shisha naylarning egilgan uchi suyuqlik harakati yo’nalishida bo’lib, gidrostatik bosimga qo’shimcha ravishda suyuqlik tezligiga bog’liq bo’lgan bosim paydo bo’ladi. Bunda suyuqlik zarrachalarining inertsiya kuchi qo’shimcha bosim vujudga kelishiga sabab bo’ladi. Balandliklar quyidagicha bo’ladi:

p u ²
p u ²
p u ²

_{h } 1 _ 1 _,
h^  ²  ² ,
h^  ³  ³ .

¹  2g
²  2g
³  2g

P’ezometrdagi suyuqlik balandligi bilan uchi egilgan shishalardagi balandlik farqi
_u 2 _{u 2 u 2}

h₁^

• 
  h₁
  

_ 1 _; 2g
h₂^

• 
  h₂
  

_ 2 _;
2g
h₃^

• 
  h₃
  

^{ 3} ,larga teng bo’ladi va tezlik
2g

balandligi deyilari. Shunday qilib, geometrik nuqtai nazardan Bernulli tenglamasining

hadlari quyidagicha ataladi:

^{u 2}1
2g
^{u 2} 2
,
2g
^{u 2}3
,
2g

- suyuqlikning tegishli kesimlaridagi

tezlik bosimi (balandligi);

p_{1 ,}

p_{2 ,} p₃
 

• 
  p’ezometrik balandliklar;
  

z₁ , z₂
, z₃

• 
  geometrik balandliklar (tegishli kesimlarning og’irlik markazi 0-0 tekisligidan
  

qancha balandlikda turishini ko’rsatadi
u p

2
_2g , _ , z
lar uzunlik birliklarida o’lchanadi.

P’ezometrdagi suyuqlik balandliklarini birlashtirsak, hosil bo’lgan chiziq p’ezometrik chiziq (R-R) deyiladi. Bernulli tenglamasida tezlik balandligi, p’ezometrik va geometrik baladliklarning umumiy yig’indisi o’zgarmas miqdor bo’lib, u 7- rasmda N- N chiziq bilan belgilanadi va suyuqlikning bosim (dam) chizigi deb ataladi.

Gidrodinamikada bu uchta balandlik

u p

2
_2g , _ , z

ning yig’indisi suyuqlikning to’liq

bosimi (dami) deb ataladi va N bilan belgilanadi:

H  ^u  ^p

2
2g 

• 
  z  const .
  

(14)

Bu aytilganlar ideal elementar oqimcha uchun Bernulli tenglamasining geometrik ma`nosini bildiradi. Uning energetik ma`nosi kinetik energiyaning o’zgarish qonuniga asoslangan. Boshqacha aytganda, Bernulli tenglamasi suyuqliklar uchun energiyaning saqlanish qonunidir. Bernulli tenglamasi (13) ning chap tomoni elementar oqimchaning 1-1 kesimdagi to’lik solishtirma energiyaga teng yoki umuman o’zgarmas miqdordir. Bu yerda solishtirma energiya deb og’irlik birligiga to’gri kelgan energiya miqdoriga aytiladi. Bu aytilganlarga asosan Bernulli tenglamasi

hadlarining energetik ma`nosi quyidagicha bo’ladi:
^{u 2}1
2g
^{u 2} 2
,
2g
^{u 2}3
,
2g
- elementar

oqimchaning 1-1, 2-2, 3-3 kesimlariga tegishli solishtirma kinetik

energiyasi; ^{p1  z ,}
_ 1
^p2  z ,
_ 2
^p3  z
_ 3
- elementar oqimcha kesimlari uchun solishtirma

potentsial energiya; solishtirma energiya;
p_{1 ,}

p_{2 ,} p₃
 

• 
  kesimlarga tegishli bosim bilan ifodalanuvchi
  

z₁ , z₂ , z₃

• 
  1-1, 2-2, 3-3 kesimlarga tegishli og’irlik bilan ifodalanuvchi solishtirma
  

holat energiyasi.
Suyuqlik harakati vaqtida mexanikaning qonunlariga asosan ish bajariladi.
Shu bajarilgan ishlar bo’yicha Bernulli tenglamasini quyidagicha ifodalash mumkin: ikkita kesim uchun yozilgan Bernulli tenglamasi (14) shu ikki kesimda tegishli hadlarining ayirmalaridan tashkil topadi:
u ²  u ²

r 2
2g
- kinetik energiyaning birlik og’irlik uchun o’zgarishi;

p₁  p₂


- bosim kuchi bajargan ishning birlik og’irlikka tegishli qismi;

z₁  z₂
- og’irlik bajargan ishning birlik og’irlikka tegishli qismi.

Bu aytilganlardan xulosa qilib aytish mumkinki, suyuqlik harakat qilayotganda solishtirma kinetik va solishtirma potentsial energiyalar harakat davomida o’zgarib boradi, lekin to’liq solishtirma energiya o’zgarmaydi.