Tasodifiy miqdor tushunchasi va uning turlari. Diskret (uzluksiz) tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni. Ayrim diskret taqsimotlar

2.Uzluksiz tasodifiy miqdor deb biror chekli yoki cheksiz oraliqdagi barcha qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo’lgan ta-sodifiy miqdorga aytiladi. Uzluksiz tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining soni cheksizdir. Bunday tasodi-fiy miqdorga misol sifatida 2-misoldagi tasodifiy miqdorni olish mumkin.
Diskret tasodifiy miqdorning berilishi uchun uning mum-kin bo’lgan qiymatlarini sanab chiqish yetarli emas, yana ularning ehtimolliklarini ham ko’rsatish lozim. Ikkinchi tomondan, ko’p masalalarda tasodifiy miqdorlarni elementar hodisalarning funktsiyalari sifatida qarashning zarurati yo’q, faqat tasodi-fiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlarining ehtimollikla-rini, ya’ni tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini bilish yetarli.
Diskret tasodifiy miqdor ehtimolliklarining taqsimot qonuni yoki soddagina taqsimot qonuni deb mumkin bo’lgan qiy-matlar bilan ularning ehtimolliklari orasidagi moslikka ay-tiladi; uni jadval, grafik va formula ko’rinishda berish mum-kin.
Ehtimolliklar taqsimot qonunining turli usullarda beri-lishini misollarda ko’rib chiqaylik.
Diskret tasodifiy miqdor taqsimot qonunining jadval orqali berilishida jadvalning birinchi satri mumkin bo’lgan qiymatlardan, ikkinchi satri esa ularning ehtimolliklaridan tuziladi. Jadvalning ikkinchi satridagi ehtimolliklarning yig’indisi 1 ga teng bo’lishi kerak. 5.1-jadvalda 3-misoldagi diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan.
5.1 – j a d v a l

	0	1	2
	1 / 4	1 / 2	1 / 4

4-misol. Pul lotereyasida 100 ta bilet chiqarilgan. Bitta 5000 so’mlik, beshta 1000 so’mlik va o’nta 500 so’mlik yutuq o’ynalmoqda. Bitta lotereya bileti egasining mumkin bo’lgan yutu-g’idan iborat bo’lgan X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni topilsin.
Echish. X ning mumkin bo’lgan qiymatlarini yozamiz: , , , . Bu mumkin bo’lgan qiymat-larning ehtimolliklari quyidagicha: , , , .
U holda izlanayotgan taqsimot qonuni quyidagi ko’rinishda

5.2 – j a d v a l

	0	500	1000	5000
	0,84	0,1	0,05	0,01

Yaqqollik uchun diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qo-nunini grafik ko’rinishda ham tasvirlash mumkin, buning uchun to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida nuqtalar belgilanadi, so’ngra ular kesmalar bilan birlashtiriladi. Ho-sil bo’lgan shakl taqsimot ko’pburchagi deb ataladi. 5.1-rasmda 3-misoldagi X tasodifiy miqdorning taqsimot ko’pburchagi kelti-rilgan.

Endi formulalar orqali berilgan ayrim diskret taqsimot-lar — binomial, geometrik va Puasson taqsimotlarini ko’rib chiqaylik.

5.1 - rasm.

n ta bog’liqmas tajriba o’tkazilayotgan bo’lib, ularning har birida A hodisa ro’y berishi (muvaffaqiyat)ning ehtimolligi doimiy va p ga teng bo’lsin (demak, ro’y bermaslik (muvaffaqiyatsizlik)-ning ehtimolligi q=1–p ga teng). X diskret tasodifiy miqdor sifatida A hodisaning shu tajribalarda ro’y berishlarining soni-ni ko’rib chiqaylik. X ning mumkin bo’lgan qiymatlari bunday: 0, 1, 2, ..., n. Bu mumkin bo’lgan qiymatlarning ehtimolliklari (4.1) Bernulli formulasi bo’yicha topiladi:
,
bu yerda k= 0, 1, 2, ..., n.
Ehtimolliklarning binomial taqsimoti deb Bernulli formulasi bilan aniqlanadigan ehtimolliklar taqsimotiga ay-tiladi. Bernulli formulasining o’ng tomonini Nьyuton binomi yoyilmasining umumiy hadi sifatida qarash mumkin bo’lgani uchun bu taqsimot qonuni «binomial» deb ataladi:
.
p + q = 1 bo’lgani uchun tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari ehtimolliklarining yig’indisi 1 ga teng.
SHunday qilib, binomial taqsimot qonuni quyidagi ko’ri-nishga ega

5.3 – j a d v a l

			. . .		. . .	0
			. . .		. . .

Binomial taqsimotga misol sifatida 3-misoldagi tasodi-fiy miqdorning taqsimotini keltirish mumkin.

Faraz qilaylik, bog’liqmas tajribalar o’tkazilib, ularning har birida A hodisaning ro’y berishi (muvaffaqiyat)ning ehtimolli-gi r ga ( ), binobarin, uning ro’y bermasligi (muvaffa-qiyatsizlik)ning ehtimolligi q=1–p ga teng bo’lsin. Tajribalar birinchi muvaffaqiyatgacha davom etadi. SHunday qilib, agar A hodisa k-tajribada ro’y bersa, u holda avvalgi k – 1 ta tajribada u ro’y bermaydi.
Agar X orqali birinchi muvaffaqiyatgacha bo’lgan tajribalar soniga teng bo’lgan diskret tasodifiy miqdorni belgilasak, u holda uning mumkin bo’lgan qiymatlari 1, 2, 3, ... natural son-lardan iborat bo’ladi.
Faraz qilaylik, birinchi k – 1 ta tajribada A hodisa ro’y ber-masdan, k-tajribada ro’y berdi. Bu «murakkab hodisaning» ehti-molligi, bog’liqmas hodisalarning ehtimolliklarini ko’paytirish haqidagi 3.3-teoremaga asosan
(5.1)
ga teng.
Ehtimolliklarning geometrik taqsimoti deb (5.1) formu-la bilan aniqlanadigan ehtimolliklar taqsimotiga aytiladi, chunki bu formulada k = 1, 2, ... deb faraz qilsak, birinchi hadi r ga va maxraji q ga ( ) teng bo’lgan geometrik progressiyaga ega bo’lamiz:

CHeksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning yig’indisini topsak, tasodifiy miqdorning mumkin bo’lgan qiymatlari ehti-molliklarining yig’indisi 1 ga teng ekanligini oson ko’rish mumkin:
.
SHunday qilib, geometrik taqsimot qonuni quyidagi ko’ri-nishga ega:

5.4 – j a d v a l

	1	2	3	. . .	K	. . .
				. . .		. . .