Tatu samarqand filiali

y_j+1 = y_j + h(k_1,j + 2k_2,j + 2k_3,j + k_4,j)

bu yerda


^k1, j


f (t _j , y_i ),

^k2, j


^k3, j
f (t _j


f (t _j
^h , y
₂ j
^h , y
₂ j
k_{1, j} ),


k_{2, j} ),

^k4, j
f (t _j
h, y _j
hk_{3, j} ),

Runge-Kutta usulining qo‟llanilish dasturi matematik paketda ko‟zda tutilgan, shuning uchun undan dasturda ko‟rsatilgan tartibda foydalanilgan. Runge-Kutta usulining blok-sxemasi 1.1-rasmda tasvirlangan.


Maple da differensial tenglamalarning analitik yechimlarini topish uchun quyidagi komanda ishlitiladi:
dsolve(eq,var,options),
bu yerda
eq – differensial tenglama; var – noaniq funksiyalar; options – parametrlar.
Parametrlar masalaning yechilish metodini ko‟rsatishi mumkin, masalan, jimlik qoidasi bo‟yicha analitik yechim quyidagicha izlanadi: type=exact.

1.1-rasm. Runge-Kutta usulining blok-sxemasi.

Differensial tenglamani kiritishda hosilani bildirish uchun diff komanda ishlatiladi, masalan,
y''+y=x
differensial tenglama quyidagi ko‟rinishda yoziladi:
diff(y(x),x$2)+y(x)=x.
Differensial tenglamalarning umumiy yechimi soni differensial tenglamaning tartibiga bog‟liq bo‟lgan ixriyoriy o‟zgarmaslarga bog‟liqdir. Maple da bunday o‟zgarmaslar qoida bo‟yicha _C1, _C2, va h.k.lar bilan belgilanadi.
Bir jinsli bo‟lmagan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi hamma vaqt shunday chiqariladiki, ushbu yechimning strukturasi aniq ko‟rinadi. Shu bilan birga bir jinsli bo‟lmagan chiziqli differensial tenglamaning umumiy yechimi unga mos keluvchi bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechim- lari yig‟indisiga hamda berilgan bir jinsli bo‟lmagan differensial tenglamaning xususiy yechimiga teng. Shuning uchun ham bir jinsli bo‟lmagan chiziqli differensial tenglamaning yechimini chiqarish satri hamma vaqt ixtiyoriy o‟zgarmaslarni o‟z ichiga olgan qo‟shiluvchilardan iborat (bu mos keluvchi differensial tenglamaning umumiy yechimi) va ixtiyoriy o‟zgarmaslarsiz bo‟lgan yig‟indidan iborat (bu bir turli bo‟lmagan differensial tenglamaning xususiy yechimi) bo‟lishi mumkin.
dsolve komanda differensial tenglamaning yechimini hisoblanmaydigan shaklda beradi. Hosil bo‟lgan yechim ustidan keyinchalik ishlash uchun (masalan, yechim grafigini yasash) hosil bo‟lgan yechimning o‟ng tomonini rhs(%) komanda bilan ajratish kerak.
Muammoni oydinlashtirishni mashqlarda bajarib ko‟raylik va quyidagi tadbiqlarni bajaraylik :

1. 
   misol. Ushbu
   

y'+ycosx=sinxcosx
birinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish:

• 
  restart;
  
• 
  de:=diff(y(x),x)+y(x)*cos(x)=sin(x)*cos(x);
  

de:=
y(x)
y(x) cos(x)
sin( x) cos(x)

• 
  dsolve(de,y(x));
  

y(x)
sin( x) 1


_e( sin( x)) _{_ C 1}

Demak, izlanayotgan tenglamaning yechim funksiyasi

y(x)
sin( x) 1
_e( sin( x)) _{_ C 1.}

Eslatma: Maple da differensial tenglamaning yechimini chiqarish satrida ixtiyoriy konstanta _C1 kabi belgilanadi.

2. 
   misol. Ushbu
   

y'' 2y'+y=sinx+e ^x

ikkinchi tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimini toping.
Yechish:

• 
  restart;
  
• 
  deq:=diff(y(x),x$2)-2*diff(y(x),x)+y(x)
  

=sin(x)+exp(-x);

deq:=

• 
  dsolve(deq,y(x));
  

y( x)
2 y( x) x
y( x)
sin( x)
_e( x)

y( x)
_ C1e^x
_ C2e^x x
¹ cos(x)
2
¹ _e( x)
4

Eslatma: berilgan tenglama ikkinchi tartibli bo‟lganligi sababli olingan natijada ikkita ixtiyoriy konstantalar mavjud, ular Maple da _C1 va _C2 kabi belgilanadi. Yechimda birinchi ikkita qo‟shiluvchilar berilgan bir jinsli differensial tenglamaning umumiy yechimi, qolgan ikkitasi esa bir jinsli bo‟lmagan diffe- rensial tenglamaning xususiy yechimidir.

3. 
   misol. Ushbu
   

y''+k²y=sin(qx) tartibda berilgan differensial tenglamaning q umumiy yechimini toping.
Yechish:

• 
  restart; de:=diff(y(x),x$2)+k^2*y(x)=sin(q*x);
  

va q=k (rezonans) ikki holda

de:=
y( x)
k ²y( x)
sin(
qx)

• 
  dsolve(deq,y(x));
  

1 cos((k
q)x)
1 cos((k
q)x)
sin( kx)

y( x)
2 k q
2 k q k

1 sin(( k q)x)

1. 
   sin(( k q)x)
   

cos(kx)

2 k q
2 k q k
_ C1sin( kx)
_ C2 cos(kx)

Endi yechimni rezonans holatda izlaymiz. Buning uchun esa dsolve
komandani chaqirishdan oldin q=k deb olish kerak.

• 
  q:=k: dsolve(de,y(x));
  

y( x)

_ C1sin( kx)

_ C2 cos(kx)

Eslatma: bu ikki holda ham bir jinsli bo‟lmagan differensial tenglamaning ixtiyoriy o‟zgarmaslarni o‟z ichiga olgan xususiy hamda umumiy yechimlar alohida qo‟shiluvchilar ko‟rinishida chiqariladi.