Təbiət və cəmiyyət qanunları səbəb əlaqələrinin təzahürü formalarına görə deteminik və statistik qanunlara bölünür

Bu gün ehtimal nəzəriyyəsi bütün təbiət elmlərinin təməl daşı, statistika isə insan fəaliyyətinin bütün sahələrinin ayrılmaz hissəsidir”.Məşhur Amerika alimi Kasın bu kəlamı ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın müasir dövrdə oynadığı rolu çox gözəl ifadə edir.Buna görə də bu elmlərin əsasları ilə tanış olmağı riyazi mədəniyyətin zəruri komponenti hesab etmək olar.

Ehtimal nəzəriyyəsi – nəzəri və tətbiqi əhəmiyyət kəsb edən riyazi elmdir.İndi elm və texnikanın elə bir sahəsi yoxdur ki, orada ehtimal-statistika üsullarından bu və ya başqa dərəcədə istifadə edilməsin.Bu cəhət həm ehtimal nəzəriyyəsinin, həm də onun tətbiq edildiyi müxtəlif elm sahələrinin (məsələn, riyaziyyat, fizika, kimya, biologiya, iqtisadiyyat, ekonometrika, tibbi elm, hərbi iş, texnika və s.) inkişafına geniş imkan vermişdir.

Son bir neçə onilliklər ərzində riyaziyyatda yeni elmi istiqamətlər meydana gəlmişdir.Bunlardan etibarlılıq, kütləvi xidmət, stoxostik proqramlaşdırma, atəş,dəniz dalğaları, meteorologiya, müşahidənin xətaları, informasiya, radiotexnika, rabitə və s. nəzəriyyələri qeyd etmək olar. Ehtimal nəzəriyyəsinin tətbiq sahələri daim genişlənir və bu proses bu gün də davam edir.Konkret həyati məsələləri həll etməyə imkan verən bu elmi istiqamətlər ehtimal nəzəriyyəsinin inkişafına əsaslanır.İndi ehtimal nəzəriyyəsinə nəinki riyaziyyatçı, habelə mühəndis, iqtisadçı, geoloq, həkim, fizik, kimyaçı, bioloq və s. kimi müxtəlif peşə sahibləri müraciət edir.

Təbiət və cəmiyyət qanunları səbəb əlaqələrinin təzahürü formalarına görə deteminik və statistik qanunlara bölünür

Məlumdur ki, riyaziyyat , başqa elm sahələrində olduğu kimi, gerçək aləmdə baş verən hadisə və proseslərin qanunlarını öyrənir.Buna klassik nümunə kimi Nyuton mexanikasını göstərmək olar.Göy cisimlərinin çoxəsrlik müşahidəsi nəticəsində onların hərəkət qanununları riyazi düsturlar şəklində verilmişdir.Mexanikanın qanunlarına əsasən Günəş sisteminin planetlərinin mövcud vəziyyətinə görə onların gələcək zamanın istənilən anına vəziyyəti praktiki olaraq birqiymətli təyin edilə bilir.Eyni zamanda günəş və ay tutulmalarının tarixini əvvəlcədən söyləmək olar.Bütün bunlar determinik qanunulardır.

Bununla yanaşı makroaləmin əksər hadisələri haqqında bizim günbəgün dərinləşən və dəqiqləşən kifayət qədər biliklərimiz olmasına baxmayaraq onların keçmişi və gələcəyi haqqında dəqiq fikir söyləmək mümkün deyildir.Məsələn, iqlimin uzunmüddətli, havanın isə qısa müddətli dəyişməsi proqnozlaşdırmanın obyekti sayıla bilməz.Mikroaləmin əksər qanun və qanunauyğunluqları determinik çərçivəyə daxil edilə bilməz.Məsələn, nəzəri fizikaya görə konkret anda elektronun vəziyyəti haqqında heç nə demək mümkün olmadığı halda, onun fəzada paylanma vəziyyəti haqqında danışmaq olar.Bü cür qanunlara statistik qanunlar deyilir.Statistik qanunlara görə sistemin gələcək vəziyyəti birqiymətli olaraq deyil, müəyyən ehtimalla müəyyən edilir.

Ehtimal nəzəriyyəsinin mühüm tətbiq sahələrindən biri də iqtisadiyyatdır.Bu gün iqtisadi proseslərin tədqiqi və proqnozlaşdırılmasını ehtimal nəzəriyyəsinə əsaslanan ekonometrik proqnozlaşdırma, reqressiya analizi, trend və hamarlaşdırma modelləri və bir sıra digər üsullardan istifadə etmədən təsəvvür etmək mümkün deyildir.

İqtisadiyyatın sığorta ehtiyatı, ehtiyat gücləri, Dövlət ehtiyatı və bu kimi anlayışları statistik qanunauyğunluqların mövcudluğunu təsdiq edir.Bu isə ehtimal nəzəriyyəsinin tətbiqini zəruri edir.Eyni zamanda qeyd etmək lazımdır ki, təsadüfsüz inkişaf mümkün deyildir.Həyatın yaranmasını, bioloji növlərin təkamülünü, bəşəriyyət tarixini, insanların yaradıcılıq fəaliyyətini, sosial-iqtisadi sistemlərin inkişafını təsadüfsüz təsəvvür etmək olmaz.Beləliklə, təsadüfün təzahürünə hadisənin artıq formalaşmış istiqamətdən müsbət ( yeni elmi kəşflərin və texnologiyaların tətbiqi, istesalın təşkili və idarə edilməsinin yeni formaları və s.) və mənfi ( kortəbii fəlakətlər, avadanlığın sıradan çıxması, işçilərin xəstələməsi, onların fiziki və psixi vəziyyəti və s.) kənarlaşma kimi baxmaq lazımdır.Bütün bunlar bilavasitə hadisənin axarının əhəmiyyətli surətdə dəyişməsinə gətirib çıxarır.Bazat iqtisadiyyatı şəraitində xalq təsərrüfatı sahələrinin əlaqələri daha da mürəkkəbləşir.Beləliklə, dinamik sistemin inkişaf qanunauyğunluqlarına görə sosial-iqtisadi hadisələri təsvir edən qanunların statistik xarakteri güclənməlidir.

Bütün bunlar iqtisadi hadisə və proseslərin statistik analizinin bir vasitəsi kimi ehtimal nəzəriyyəsi və riyazi statistikanın metodlarının mənimsənilməsini zəruru edir.

Insan fəaliyyətinin bütün sahələrində nəticəsi təsadüfdən asılı olan, yəni nəticəsini əvvəlcədən söyləmək mümkün olmayan hadisələrə tez-tez rast gəlinir.Məsələn, sığorta edilmiş əmlakın təbii fəlakət nəticəsində sıradan çıxması təsadüfün nəticəsidir.Belə olan halda təsadüfü hadisələr haqqında əvvəlcədən nə isə söyləmək olarmı və yaxud sığorta şirkətləri öz işlərində nəyi əsas tuturlar? Məlum olur ki, sığorta edilmiş ayrıca bir obyektin gələcək taleyi haqqında heç nə söyləmək mümükn olmasa da, onların əksəriyyətinin vəziyyəti haqqında yəqinliklə cox şey demək olar.

Real gerçəklikdə baş verən hər bir hadisəni öyrənmək üçün insanlar müəyyən müşahidələr, təcrübələr, ölçmə işləri – sınaqlar aparırlar.Mümkün qədər çox aparıla bilən , praktiki olaraq qeyri- məhdud sayda təkrar edilə bilən sınaqların nəticəsinə əsasən həmin hadisənin xassələri və qanuna uyğunluğu aşkar edilir. İnsanlar bu qanunauyğunluğu öyrənməklə müəyyən dərəcədə təsadüfü hadisələri idarə etməyi, onların təsirinin nəticələrini əvvəlcədən söyləməyə və aradan qaldırmağa, hətta onlardan öz praktiki fəaliyyət sahələrində məsədyönlü şəkildə istifadə etmək imkanı əldə edirlər.

Tutaq ki, eyni şərtlər kompleksi daxilində aparılan sınaq nəticəsində hadisə baş verə və verməyə bilər.Onda təsadüfü hadisəni, hadisənin başvermə sayının aparılan sınaqların sayına nisbəti olan hadisənin tezliyi ilə xarakterizə etmək olar. Tezliyə misal olaraq müəyyən yaşayış məntəqəsində il ərzində doğulan oğlanların hissəsini, məhsul istehsalında keyfiyyətsiz məhsulun xüsusi çəkisini və s. göstərmək olar.

Coxlu sayda sınaqlardan ibarət müxtəlif seriyalarda hadisənin tezliyi müəyyən sabit ədəd ətrafında ehtizas etdikdə deyirlər ki, bu hadisənin tezliyi dayanıqlıq xassəsinə malikdir.Məsələn, oğlan doğulma hadisəsinin tezliyi bu xassəyə malikdir.

Tezlikləri dayanıqlıq xassəsinə malik olan təsadüfü hadisələrə müxtəlif bilik sahələrində o cümlədən, fizikada , biologiyada, kimyada, maşınqayırma sənayesində, atəş nəzəriyyəsində, iqtisadiyyatda və s. tez-tez təsadüf edilir.

Hadisənin təsadüfülüyü onun səbəbsiz olması anlamına gətirmir.Təbiət hadisələri bir-biri ilə qarşılıqlı əlaqədədirlər və bir-birilərini şərtləndirirlər.Onların birinin dəyişilməsi digərinin dəyişilməsinə səbəb olur.Gerçək aləmdə ayrıca götürülmüş heç bir hadisəni anlamaq mümkün deyildir.Əksinə istənilən hadisə onu əhatə edən hadisələrlə qarşılıqlı əlaqədə götürüldükdə onu anlamaq və əsaslandırmaq olur. Məsələn, atəş zamanı mərminin hədəfi vurması təsadüfü hadisədir və onun səbəbini əsaslandırmaq olar.Belə ki, mərminin üçüş traektoriyasına coxlu sayda faktorlar təsir edir.Onların hər biri müxtəlif anlarda kəmiyyətcə müxtəlif təsirlərə malikdirlər.Ona görə də müəyyən zaman kəsiyində onların hər birinin mərminin traektoriyasına ayrılıqda və birgə təsirini qiymətləndirmək mümkün olmur və nəticədə mərminin hədəfi vurması təsadüfün nəticəsi olur.Deməli, mərminin hədəfi vurmasına bir hadisə kimi baxdıqda, aparılan təcrübə zamanı o, baş verə də bilər, verməyə də bilər.Belə hadisənin konkret bir təcrübə zamanı baş verməsi haqqında qabaqcadan heç nə demək mümkün olmasa da , çoxlu sayda ardıcıl aparılan təcrübələr nəticəsində onun baş verib-verməməsi haqqında bəzən müəyyən qanunauyğunluq almaq olar.

Beləliklə, ehtimal nəzəriyyəsi tezlikləri dayanıqlı olan təsadüfü hadisələri öyrənir və bu hadisələrin kütləvi təkrarında onların qanunauyğunluqlarını aşkar edir.

Qanunauyğun hadisə dedikdə münasib şəraitdə hökmən baş verən hadisə başa düşülür.Yuxarıda qeyd edildiyi kimi, elə hadisələr də vardır ki, onların baş verib-verməməsi təsadüfü xarakter daşıyır.Məsələn, bir atəş zamanı atılan güllə hədəfə dəyədə bilər, dəyməyədə bilər; sığorta edilmiş əmlak təbii fəlakət nəticəsində sıradan çıxada bilər çıxmayada bilər. Belə hadisələrin qanunauyğunluğunu qabaqcadan söyləməkdə seçilən riyazi model böyük rol oynayır, yəni ehtimal nəzəriyyəsi əslində təsadüfü proseslərin riyazi modelini öyrənən riyazi elmdir.Başqa sözlə, ehtimal nəzəriyyəsi riyazi modellərdə təsadüfü hadisələrin ehtimalları arasında elə əlaqə təyin edir ki, bu əlaqələr mürəkkəb hadisələrin ehtimallarını daha sadə hadisələrin ehtimalları vasitəsilə hesablamaq imkanı verir.

Eyni şəraitdə hər hansı hadisəni öyrənmək üçün ardıcıl olaraq aparılan müşahidə və təcrübələrin nəticəsi çox zaman eyni olmur.Dəyişməyən şəraitdə eyni bir cihazla aparılan ölçmələrin nəticəsi, ümumiyyətlə müxtəlif olur.Buna görə də aparılan hər bir təcrübənin və ya müşahidənin nəticəsini əvvəlcədən söyləmək çox zaman mümkün olmur.

Təsadüfü hadisənin qanunauyğunluğunu ancaq onu eyni bir şəraitdə təkrarən coxlu sayda müşahidə etdikdə görmək olar.Buradan belə bir nəticəyə gəlirik ki, ancaq praktiki olaraq qeyri-məhdud sayda müşahidə edilə bilən hadisələri öyrənmək olar.Belə hadisələrə kütləvi hadisələr deyilir Buna görə də ehtimal nəzəriyyəsində əsasən kütləvi hadisələr, yəni praktiki olaraq eyni şəraitdə istənilən sayda təkrar oluna bilən hadisələr öyrənilir.

Burada qeyd etmək lazımdır ki, təsadüfü hadisələri öyrənmək üçün heç də onların faktiki olaraq coxlu sayda müşahidə etməyə lüzum yoxdur.Ən sadə hadisələrin qanunauyğunluqlarını öyrənənib və bunun əsasında müvafiq nəzəriyyəni quraraq daha mürəkkəb hadisələrin, hətta praktiki olaraq bilavasitə müşahidə edilə bilməyən, lakin prinsip etibarı ilə xəyalən coxlu sayda müşahidə edilə bilən hadisələri nəzəri olaraq öyrənmək olar.Məsələn bir uçuş üçün nəzərdə tutulmuş kosmik gəminin layihələndirilməsi prosesində bütün vasitələrin saz işləməsinə və üçuşun müvəffəqqiyyətlə həyata keçməsinə əmin olmaq üçün üçüşü təmin edən vasitələrin etibarlılığını tədqiq etmək olar.Elmin gücü ondadır ki, bilavasitə müşahidələrdən alınan sadə müddəalara əsaslanaraq bilavasitə müşahidə aparmadan nəzəri üsullarla yeni faktları aşkara cıxarmaq və onların axarlnı əvvəlcədən söyləmək olar.

Hər bir hadisə kimi təsadüfü hadisələr də müəyən səbəblər üzündən meydana çıxır.Hadisələrin ümumi əlaqələri qanununa görə ətraf aləmdə başverən bütün hadisələr qarşılıqlı əlaqədədirlər və biri digərinə təsir edir.Ona görə də müşahidə edilən hər bir hadisə qeyri -məhdud sayda digər haisələrlə səbəb əlaqəsindədir və onların axarı qeyri – məhdud sayda amillərdən asılıdır.Qeyri-məhdud sayda olan bu əlaqələrinin hamısını öyrənmək və onların hər birinin təsirini qiymətləndirmək ümumiyyətlə mümkün deyildir.Ona görə də bu və ya digər hadisə öyrənildikdə hadisənin axarını müəyyənedən əsas amillərlərlə kifayətlənirlər və kifayət qədər çoxlu sayda ikinci dərəcəli amilləri nəzərə almırlar.Bütün bunlar isə hadisənin mahiyyətini daha dərindən anlamağa və onun qanunauyğunluğunu aşkar etməyə imkan verir.Başqa sözlə öyrənilən hadisə müvafiq sadə model ilə əvəz edilir.Bunun nəticəsində elmin istənilən qanunu öyrənilən hadisənin əsas mahiyyətini əks etdirir, lakin, o, hadisənin özündən daha bəsitdir.Heç bir qanun hadisəni hərtərəfli, onun bütün müxtəlifliyi və tamlığı ilə xarakterizə edə bilməz.Qeyri – məhdud sayda nəzərə alınmayan amilərin birgə təsri hesabına real hadisənin qanunauyğunluqdan müşühidə edilən kənarlaşmaları təsadüfü hadisələrdir.

Hər hansı bir hadisənin qanunauyğunluğunu təcrübü olaraq müəyyən etmək üçün onu eyni bir şəraitdə təkrarən cox sayda müşahidə etmək lazımdır.Bu zaman eyni bir şərait dedikdə nəzarət edilən amillərin bütün kəmiyyət xarakteristikalarının eyni bir qiymət alması başa düşülür.Bununla belə nəzarət edilən bütün amillər müxtəlif olacaqdır.Nəticədə eyni bir hadisənin müxtəlif müşahidələrində nəzarət edilən amillərin təsiri praktiki olaraq eyni olacaqdır.Hdisənin qanunauyğunluğu elə burada aydınlaşır.Nəzarət edilə bilməyən amillərin təsiri hesabına qanunauyğunluqdan təsadüfü kənarlaşmalar isə müxtəlif müşühidələr də müxtəlif olacaqdır. Təsadüfü kənarlaşmaların konkret müşahidədə hansı qiymət alacağını prinsip etibarı ilə əvvəlcədən söyləmək mümkün deyildir.

Ehtimal nəzəriyyəsində riyaziyyat elminin bir çox sahələrində istifadə olunan üsullardan və alınan nəticələrdən (kombinator analizdə, riyazi analizdə, cəbrdə, məntiqdə və s.) geniş istifadə olunur.Ancaq ehtimal nəzəriyyəsinin sırf özünə məxsus öyrənmə üsulları vardır.Çünki onun öyrəndiyi məsələlərin əksəriyyətində dəqiq riyazi quruluş olmur və belə məsələlərin riyazi modelini qurmaqda nəzəri ehtimal intuisiyadan istifadə oluna bilər.

Ehtimal nəzəriyyəsinin analitik üsullarının işlənib hazırlanmasında və ümumiləşdirilməsində Muavrın (1667-1754), Laplasın (1749-1827), Qausun (1821-1894), Puassonun (1781-1840), Çebışevin (1821-1894 ), Markovun (1856-1922), Lyapunovun (1857-1918) böyük xidmətləri olmuşdur.

Müasir ehtimal nəzəriyyəsini aksiomlar sistemi əsasında qurmağa cəhd edən S.N.Bernşteyn (1880-1948), lakin tam quran A.N.Kolmoqorov (1903-1987) olmuşdur.Bu nəzəriyyəyə inkişaf tempi verən bir sıra alimlərin, o cümlədən, Xinçinin (1894-1959), Sluskinin (1880-1948), Levinin (1886-1971) v. s. alimlərin adlarını qeyd etmək olar.

Ehtimal nəzəriyyəsinin elementləri :

Sınaq, təcrübə və ya müşahidənin nəticəsinə hadisə deyilir. Sınaq (təcrübə və ya müşahidə) nəticəsində baş verə bilən və ya verə bilməyən istənilən hadisəyə təsadüfi hadisə deyilir. Sınaq nəticəsində hökmən baş verən hadisəyə yəqin hadisə deyilir. Sınaq nəticəsində baş verməyəcəyi əvvəlcədən məlum olan hadisəyə mümkün olmayan hadisə deyilir. Sınağın hər bir ayrılmayan nəticəsinə elementar hadisə deyilir. Bütün elementar hadisələr çoxluğuna elementar hadisələr fəzası deyilir. Sınağın bütün mümkün nəticələri E1 ,E2 ,...,En , elementar hadisələri olarsa, elementar hadisələr fəzası E1 , E2 ,...,En olar. Elementar hadisələr fəzasının ixtiyari alt çoxluğuna hadisə deyilir. Bu zaman AE boş çoxluq mümkün olmayan hadisə, U isə yəqin hadisə olacaqdır. Bütün nəticələri A və ya B hadisələrindən heç olmasa birinə daxil olan hadisəyə A və B hadisələrinin birləşməsi deyilir və AÈ B kimi işarə olunur. Nəticələri həm A hadisəsinə, həm də B hadisəsinə daxil olan hadisəyə A və B hadisələrinin kəsişməsi deyilir və AÇ B kimi işarə olunur. Ortaq nəticələri olmayan hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir. A hadisəsinə daxil olmayan bütün nəticələr çoxluğuna A hadisəsinin əks hadisəsi deyilir və -A kimi işarə olunur. Əgər A hadisəsinin hər bir nəticəsi həm də B hadisəsinin nəticəsidirsə, onda deyirlər ki, A hadisəsi B hadisəsini doğurur və ya B hadisəsi A hadisəsinin nəticəsidir, bu halda AÌ B yazılır. Nəticələri B hadisəsinə daxil olmayıb, yalnız A hadisəsinə daxil olan hadisəyə A hadisəsi ilə B hadisəsinin fərqi deyilir və A\B kimi işarə olunur.

Eyni şəraitdə və eyni şərtlər daxilində sınağın baş verən elementar hadisələrinin birinin digərindən heç bir üstünlüyü yoxdursa, onlara eyni imkanlı hadisələr deyilir.

Uyuşmayan hadisələrin ehtimallarının toplanılması teoremi :

Teorem 1.Uyuşmayan iki hadisənin cəminin ehtimalı onların ehtimalları cəminə bərabərdir:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Teorem 2. Tam qrup əmələ gətirən hadisələrin ehtimallarının cəmi vahidə bərabərdir.

P(A1) + P(A2) + ... + P(An) = 1.

Teorem 3. Qarşılıqlı əks hadisələrin ehtimallarının cəmi vahidə bərabərdir.

P(A) + P(A) = 1.

Çox vaxt hadisənin ehtimalı p hərfi ilə, onda qarşılıqlı əks olan hadisənin ehtimalını isə q hərfi ilə işarə edirlər. Onda p = 1 – q olar.

Teorem 4. Asılı olmayan hadisələrinin hasilinin ehtimalı onların ehtimalları hasilinə bərabərdir.

P(AB) = P(A) · P(B).

Teorem 5. İki asılı hadisənin birgə baş verməsi ehtimalı, bu hadisələrdən birinin ehtimalı ilə o birinin ehtimalı hasilinə bərabərdir:

P(AB) = P(A) · PA(B) = P(B) · PB(A).

Teorem 6. İki uyuşan hadisələrdən heç olmasa birinin baş verməsinin ehtimalı bu hadisələrin ehtimallarının cəmi ilə onların birgə baş verməsi ehtimalının fərqinə bərabərdir:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).

Asılı olmayan hadisələr :

Bir hadisənin baş verməsi digər hadisənin baş verməsi imkanlarına təsir etmirsə, belə hadisələrə asılı olmayan hadisələr deyilir. Məsələn, zər və qəpik pul eyni zamanda atıldıqda zərdə hansı üzün düşməsi qəpik pulun xəritə və ya rəqəm üzünün düşməsi hadisəsindən asılı deyil.

Asılı olmayan iki və daha çox hadisənin ehtimalı bu hadisələrin ehtimalları hasilinə bərabərdir: P (A və B) = P(A) · P(B) düsturu P (A ∩ B) = P(A) · P(B) kimi də yazılır. Oxşar qayda ilə üç asılı olmayan hadisə üçün: P(A, B və C) = P(A) · P(B) · P(C)

Asılı hadisələr :

Bir hadisənin baş verməsi digər hadisənin başverməsi imkanlarına təsir edirsə, bu hadisələrə asılı hadisələr deyilir. Məsələn, torbadakı 100 kartdan 10 kart hədiyyəlidirsə, 1-ci cəhddən bir nəfərin hədiyyəli kartı çıxarması, digər şəxsin hədiyyəli kartı çıxarma hadisəsinə təsir edir. İki asılı A və B hadisəsinin ehtimalı A hadisəsinin ehtimalı ilə A hadisəsi baş verdikdən sonra B hadisəsinin baş verməsi ehtimalı hasilinə bərabərdir.

P (A və B) = P(A) · P (A hadisəsindən sonra B-nin baş verməsi)

HADİSƏLƏRİN HASİLİ :

və hadisələrinin hasili elə hadisəyə deyilir ki, o ancaq və ancaq və birlikdə baş verdikdə yerinə yetir. və hadisələrinin hasili və ya ilə işarə edilir.Buradan aydın olur ki, hasili həm hadisəsinə həm də hadisəsinə daxil ilan elementar hadisələrdən ibarətdir, yəni

n sayda hadisələrinin hasili

bərabərliyi ilə verilən hadisəyə deyilir.

Vurma əməli aşağıdakı xassələrə malikdir:

4.3. HADİSƏLƏRİN BİRLƏŞMƏSİ.

və hadisələrinin birləşməsi elə hadisəyə deyilir ki, o ancaq və ancaq və -dən heç olmasa biri yerinə yetdikdə baş verir. və hadisələrinin birləşməsi ilə işarə edilir.Deməli birləşməsi və hadisələrindən heç olmasa birinə daxil olan elementar hadisələrdən ibarətdir. Yəni,Anoloji olaraqbərabərliyi ilə verilən hadisəyə hadisələrinin birləşməsi deyilir.Birləşmə əməli aşağıdakı xassələrə malikdir:

Məsələ 2.Hadisələrin birləşməsi və hasili əməllərinin aşağıdakı xassələrini ödədiyini isbat edin.

Həlli.Birinci iki xassə bilavasitə hadisələrin hasili və birləşməsinin tərifindən alınır.Belə ki, “və hadisələrinindən heç olmasa biri baş verdikdə” və “hadisələri eyni zamanda baş verdikdə “ hadisələri bu hadisələrin ardıcıllığından asılı deyildir.

və hadisələrinin eynigüclü olduqlarını isbat edək.

Tutaq ki, .Hadisələrin hasilinin tərifinə əsasən . o deməkdir ki, və hadisələrinindən heç olmasa birinə daxildir.Yəni, .Deməli, olduqda olar.Beləlikə,

Indi isə fərz edək ki, .Deməli, və yaxud .Bu isə o deməkdir ki, və və hadisələrindən heç olmasa birinə daxildir.Hadisələrin hasilinin tərifinə əsasən

Məsələ 3.eyniliyini isbat edin.

Həlli. Tutaq ki, .vəhadisələrinin fərqi -nın baş verməsi -nin isə baş verməməsi hadisəsidir. baş vermədikdə hadisəsi hökmən baş verir.Deməli, .Əksinə olduqda olar.Deməli,.Bu isə o deməkdir ki,

Məsələ 4. Tutaq ki, ixtiyari hadisələrdir.Aşağıdakı hadisələr üçün sadə ifadələr tapın.

a)=( hadisələrindən heç biri baş vermir);

b) =( hadisələrindən heç olmasa ikisi baş verir);

c) = (hadisələrindən heç olmasa biri baş vermir).

Həlli. hadisələrinin baş verməməsi hadisələri müvafiq olaraq hadisələridir.Deməli, .Hadisələrin hasilinin tərifinə əsasən- vəhadisələrinin baş verməsi -nin baş verməməsi; – və-nin baş verməsi -nin isə baş verməməsi; –nın baş verməməsi və -nin baş verməsi hadisəsidir. Hadisələrdən heç olmasa birinin baş verməməsi onlarda heç olmasa birinin, ikisinin və yaxu hər üçünün baş verməməsi deməkdir.Hadisələrin birləşməsinin tərifinə əsasən

Məsələ 5. Tutaq ki, ixtiyari hadisələrdir.Aşağıdakı hadisələr üçün sadə ifadələr tapın.

a)=( hadisələrindən ancaq biri baş verir),;

b) E=( hadisələrindən ancaq ikisi baş verir.

Həlli.

Məsələ 6. A və hadisələrinin birləşməsi onların hasili ilə üst üstə düşə bilərmi?

Həlli.Tutaq ki, və eynigüclü hadisələrdir.Bu halda +=

Məsələn, tutaq ki, hədəfə atəş açılır.Hədəfi vurma onun məhv olması ilə nəticələnir və hədəf heç bir başqa üsulla məhv edilə bilməz.

ilə hədəfi vurma və ilə hədəfin məhv olması hadisələrini işarə edək. və eynigüclü hadisələrdir və onalar üçün

+=münasibəti ödənilir.

Şərti ehtimal – bir hadisənin baş verməsi halında digər bir hadisənin baş verməsi ehtimalıdır.

Misal: işlənmiş maşınlar satılan “A” salonunda maşınların 90%-də kondisioner (AC), 40%-də GPS Naviqasiya sistemi var. 35% maşında isə həm kondisioner həm də GPS var. Kondisioner olan maşınlarda GPS olma ehtimalı nədir? Bizim tapmaq istədiyimiz ehtimal budur P(GPS | AC)

A və B hadisələri o zaman müstəqil hesab olur ki, birinin olma ehtimalı digərinin baş verməsi halından asılı olmasın. Bu təqdirdə, müstəqil hadisələrin ehtimalı aşağıdakı düstürla hesablanır:

A və B hadisələrinin hasili:

Əgər A və B hadisələri müstəqildirsə, onda P(A|B) = P(A) olduğundan, A və B hadisələrinin hasili aşağıdakı düsturla hesablanacaqdır:

A hadisəsinin marjinal ehtimalı aşağıdakı düstürla hesablanır:

Burada B1, B2, …, Bk həm toplu həm də müstəsna hadisələrdir.

Tam ehtimal və Bayes düsturu :

Tutaq ki, cüt-cüt uyuşmayan A1, A2, … , An hadisələri tam qrup təşkil

edir və B hadisəsi bu hadisələrin hər hansı biri ilə eyni zamanda baş verir. Ak

hadisələrinin P(Ak) ehtimalı və B hadisəsinin P(B/Ak) (k=1,2,...,n) şərti

ehtimalları məlumdur. B hadisəsinin P(B) ehtimalını tapmaq tələb olunur. Bu

məsələni həll etmək üçün qeyd edək ki, cüt-cüt uyuşmayan və tam qrup təşkil

edən Ak hadisələrinin cəmi yəqin hadisədir:

Buna görə də B hadisəsini cüt-cüt uyuşmayan BAk hadisələrinin

cəmi şəklində göstərmək olar. Buradan E3 aksiomuna görə

münasibətini və sağ tərəfdəki hədlərə ehtimalların vurma teoremini tətbiq

etdikdə

bərabərliyi alınar.

(2) düsturuna tam ehtimal düsturu deyilir. Bu düsturdan istifadə etməklə

aşağıdakı məsələni həll etmək olar:

Tutaq ki, cüt-cüt uyuşmayan və tam qrup təşkil edən Ak (k=1,2,...,n)

hadisələrinin P(Ak) ehtimalları keçirilməli olan müəyyən sınaqdan əvvəl

verilmişdir. Sınaq aparıldıqda B hadisəsi baş verir və bu hadisənin

Akhadisələrinə nəzərən P(B/Ak) şərti ehtimalları məlumdur. B hadisəsinin baş

verməsi Ak hadisəsinin ehtimalını necə dəyişir?

Bu məsələni həll etmək üçün

bərabərliklərindən istifadə etmək lazımdır. Buradan

bərabərliyi və (2) düsturuna əsasən

(3)

Münasibəti alınır. (3) bərabərliyinə Bayes düsturu deyilir.