Fakültə: Tİf fənn: Ehtimal nəzəriyyəsi Qrup: 771A1

Azərbaycan Respublikası Təhsil Nazirliyi
Azərbaycan Memarlıq və İnşaat Universiteti




Fakültə: TİF
Fənn: Ehtimal nəzəriyyəsi
Qrup: 771A1
Müəllim: Bahar Cəfərova
Tələbə: Rzayeva Gülzər

Uyuşan hadisələrin cəminin ehtimalı. Tam ehtimal düsturu. Bayes düsturu.

F
ərz edək ki, A hadisəsi tam hadisələr qrupu təşkil edən uyuşmayan B1, B2,...Bn hadisələrindən birinin baş verməsi şərtində meydana çıxa bilər. Bu hadisələrin ehtimalları P(B1), P(B2),..., P(Bn) və A hadisəsinin uyğun şərti ehtimalları PB1(A), PB2(A), PBn(A)məlum olduqda A hadisəsinin ehtimalını tapmaq tələb olunur. Bu ehtimalı tapmaq üçün aşağıdakı teoremdən istifadə edilir.Teorem 1. Tam qrup təşkil edən uyuşmayan B1, B2,...Bn hadisələrindən ancaq birinin meydana çıxması ilə baş verən A hadisəsinin ehtimalı bu hadisələrdən hər birinin ehtimalı ilə A hadisəsinin uyğun şərti ehtimalları hasillərinin cəminə bərabərdir.

Bu düstur tam ehtimalın düsturu adlanır.
Misal. İdmançılar qrupunda 6 üzgüçü, 4 velosipedçi və 8 gimnast vardır. Üzgüçünün normanı doldurması ehtimalı 0,9 , velosipedçininki – 0,8 və gimnastınkı – 0,75-dir. Hər hansı bir idmançının normanı doldurması ehtimalını tapmalı.
Növlər üzrə idmançıların normanı doldurması hadisələrini uyğun olaraq B1, B2 və B3 ilə işarə edək. Bu hadisələr tam qrup əmələ gətirir və onların ehtimalları məlumdur: P(B1) = 0,9 ; P(B2) = 0,8 və P(B3) = 0,75. Hər hansı bir idmançının normanı doldurması hadisəsini A ilə işarə etsək, onda bu hadisənin şərti ehtimalları belə olar:

T

am ehtimal düsturuna görə

B

eyes düsturu.
Bayes teoremi ehtimal nəzəriyyəsində öyrənilən mühüm mövzudur. Bu teorem təsadüfi dəyişən üçün ehtimal paylanması daxilində şərti ehtimallar və marjinal ehtimallar arasındakı əlaqəni göstərir. Bu formada Bayes teoremi bütün statistiklər üçün məqbul olan əlaqəni izah edir. Bu anlayış üçün Bayes qaydası və ya Bayes tezisi və ya Bayes qanunu da istifadə olunur. Bəzi statistiklər üçün isə Bayes teoremi xüsusi əhəmiyyət kəsb edir. Ehtimal dəyərlərini fəlsəfi olaraq obyektiv xüsusiyyət kimi deyil, müşahidəçinin aşkar etdiyi subyektiv dəyər kimi qəbul edən subyektivist ehtimal mütəfəkkirlərinə görə, Bayes teoremi ehtimal dəyəri ilə bağlı subyektiv inancların yeniliklər işığında yenilənməsinə və dəyişdirilməsinə imkan verən əsas vasitədir. Sübut; yəni posterior yanaşmanın əsasını təşkil edir. Ehtimal nəzəriyyəsində tədqiq olunan hadisə kimi, B hadisəsi ilə şərtlənən A hadisəsi üçün ehtimal dəyəri (yəni B hadisəsi məlum olsa da, A hadisəsi) B hadisəsi üçün ehtimal dəyərindən (yəni A hadisəsi məlum olduqda B hadisəsi) şərti olaraq fərqlidir. Bununla belə, bu iki tərs şərtlilik arasında çox müəyyən bir əlaqə vardır və bu əlaqə onu ilk dəfə izah edən İngilis statistik Tomas Bayesin (1702–1761) şərəfinə Bayes teoremi adlanır. Bayes teorem formal teorem kimi, Ehtimal anlayışını öyrənən hər cür müxtəlif fəlsəfi fundamental fikirlərə sadiq qalan hər hansı bir statistik tərəfindən qəbul edilir. Bununla belə, ehtimalı obyektiv dəyər kimi görən və onu nisbi çoxluq kimi təyin edən tez-tezist (da: Bu teoremin praktikada necə istifadə oluna biləcəyi ilə bağlı tez-tezist məktəbə mənsub olan statistiklərlə subyektivist (və ya Bayes tipi) məktəbə aid olan statistiklər arasında böyük fikir ayrılığı var. Tez-tez məktəbə mənsub olanlar qəbul edirlər ki, ehtimal dəyərləri təsadüfi hadisələrin baş vermə çoxluğuna görə və ya əhalinin alt qruplarının tam əhaliyə nisbəti kimi müəyyən edilməlidir. Onların fikrincə, yeni sübutlar qarşısında ehtimal dəyərini dəyişmək imkanı yoxdur. Buna görə də, tez-tezist məktəb üçün Bayes teoremi yalnız şərtlər arasındakı əlaqəni göstərir və onun praktik istifadəsi kiçikdir. Lakin subyektivist məktəbə görə, ehtimal müşahidəçinin subyektiv qeyri-müəyyənlik ifadəsidir. Buna görə də ehtimal dəyəri subyektivdir.
Bayes teoremi 18-ci ərsdə Tomas Bayes tərəfindən ortaya qoyulmuşdur. Bu teorem şəti və marjinal ehtimallar arasındakı əlaqəni göstərir. Şərti ehtimalın mürəkkəb formasıdır.
Misal: Qazma şirkəti qazıdıqları quyuların 40%-dən neft çıxacağını ehtimal edirlər. Quyuların qazmadan əvvəl analiz edilməsi statistikasına görə, neft çıxmış quyuların 60%-i, neft çıxmamış quyuların isə 20%-i ətraflı analiz edilmişdir. Bütün bu məlumatlara əsaslanaraq, deyək ki, quyu ətraflı test edilmişdir və bu quyudan neft çıxması ehtimalı nədir???
S = neft çıxması; U = neft çıxmaması qeyd eləsək onda:
P(S) = 0.4 , P(U) = 0.6 (Priori ehtimallar)
Quyuların ətraflı test edilməsini də D ilə işarə eləsək onda şərti ehtimallar belə olacaqdır:
P(D|S) = 0.6 , P(D|U) = 0.2
Bizim isə tapmaq istədiyimiz ehtimal: P(S|D)=???? (yəni, quyu analiz olduğu təqdirdə neft çıxma ehtimalı nədir)
Bayes teoreminə görə: analiz olunmuş quyudan neft çıxma ehtimalı 66.7%-dir.

Tutaq ki, A hadisəsi tam qrup təşkil edən uyuşmayan B1, B2,...Bn hadisələrindən yalnız birinin baş verməsi şərti ilə baş verə bilər. Əgər A hadisəsi baş vermişsə, onda hipotezlərin ehtimalları aşağıdakı düstur vasitəsi ilə hesablanır:

Misal. İki avtomat ümumi konveyerə verilən eyni detalı hazırlayır. Birinci avtomatın məhsuldarlığı ikincidən iki dəfə artıqdır. Birinci avtomat orta hesabla 60%, ikinci avtomat isə 84% əla keyfiyyətli detal istehsal edir. Təsadüfi olaraq konveyerdə götürülmüş detal əla keyfiyyətli çıxır. Bu detalın birinci avtomatda istehsal olunması ehtimalı tapın.

Detalın əla keyfiyyətli ilması hadisənin A ilə işarə edək. Burada iki fərziyyə (hipotez) yürütmək olar: B1 – detal birinci avtomatda istehsal olunmuşdur, onda P(B1) = 2/3 (birinci avtomat ikincidən iki dəfə çox istehsal etdiyinə görə) ;
B2 – detal ikinci avtomatda istehsal olunub, bu halda P(B2) =1/3
D
etal birinci avtomatda istehsal olunmuşdursa, onda əla keyfiyyətli olmasının şərti ehtimalı
İ
kinci avtomatda istehsal olunmuşdursa

Tam ehtimal düsturuna əsasən götürülən detalın keyfiyyətli olması ehtimalı

A
xtarılan ehtimal, yəni konveyerdən götürülmüş əla keyfiyyətli detalın birinci avtomatda istehsal olunması ehtimalı Beyas düsturuna əsasən hesablanır.