Tema: Funksiya differensiali

(x^)⁽ⁿ⁾=(-1)(-2)...(-n+1)x^-n (1)
Dep induktiv shama menen oylaıw múmkinligi kelip shıǵadı. Bul formulanıń n=1 ushın orınlılıǵı joqarıda kórsetilgen. Endi (1) formula n=k de orınlı, yaǵnıy y^(k)=(-1)...(-k+1)x^-k bolsin deb, Onıń n=k+1 de orınlı bolıwın kórsetemiz.
Tariypga kóre y^(k+1)= (y^(k))’. Sol sebepli
y^(k+1)=(y^(k))=((-1)...(-k+1)x^-k)’=(-1)...(-k+1)(-k)x^-k-1
Bolıwı kelip shıǵadı. Bul bolsa (8. 1) formulanıń n=k+1 de de orınlı bolıwın ańlatadı. Sonday eken, matematikalıq induksiya usılına kóre (1) formula nN ushın orınlı.
(1) da =-1 bolsin. Ol halda Funksiyanıń n-tártipli tuwındı
(2)
Formula menen tabıladı.
2) y=lnx (x>0) funksiyanıń n-tártipli tuwındın tabamız. Bul funksiyainng birinshi tuwındı Bolıwınan hám de (2) formuladan paydalansak,
(3)
Formula kelip shıǵadı.
3) y=sinx bolsın. Ekenin aytıw kerek, bul funksiya ushın y'=cosx. Biz onı tómendegi
Kóriniste jazıp alamız. Keyininen y=sinx funksiyanıń keyingi tártipli tuwındıların esaplaymiz.



Bul ańlatpalardan bolsa y=sinx funksiyainng n-tártipli tuwındı ushın (4)
Formula kelip shıǵadı. Onıń tuwrılıǵı taǵı matematikalıq induksiya usılı menen tastıyıqlanadı.
Tap soǵan uqsas
(5)
Ekenligin kórsetiw múmkin.
Misali, .
Ekinshi tártipli tuwındınıń mexanik mánisi

Ekinshi tártipli tuwındı ápiwayı mexanik mániske iye. Shama menen oylayıq materiallıq noqattıń háreket nızamı s=s (t) funksiya menen anıqlanǵan bolsın. Ol halda onıń birinshi tártipli tuwındı v(t)=s’(t) Háreket tezligin ańlatıwı bizge málim. Ekinshi tártipli a=v’(t)=s’’(t) Tuwındı bolsa háreket tezliginiń ózgeris tezligi, yaǵnıy háreket tezleniwin ańlatadı.

Mısal. Materiallıq noqat s=5t²+3t+12 (s Metrlerde, t sekundlarda berilgen) nızam boyınsha tuwrı sızıqlı háreket qılıp atır. Onıń ózgermeytuǵın kúsh tásirinde háreket etiwin kórsetiń.
Sheshiw. s’=(5t²+3t+12)’=10t+3; s’’=(10t+3)’=10, Bunnan a=10 m/s2 bolıp, háreket tezleniwi ózgermeytuǵın eken. N'yuton nızamı boyınsha kúsh tezleniwge proportsional. Sonday eken, kúsh da ózgermeytuǵın eken.
Joqarı tártipli tuwındınıń ózgeshelikleri. Leybnits formulası

1-qasiyet. Eger ol (x) hám v (x) funksiyalar n-tártipli tuwındılarǵa iye bolsa, ol halda bul eki funksiya jıyındısınıń n -tártipli tuwındı ushın

(u(x)+ v(x))⁽ⁿ⁾= u⁽ⁿ⁾(x)+ v⁽ⁿ⁾(x)
Formula orınlı boladı.
Tastıyıq. Aytaylik y=u+v bolsın. Bul funksiyanıń tuwındıların izbe-iz esaplaw nátiyjesinde tómendegilerdi payda etemiz: y’=u’+v’, y’’=(y’)’=( u’+v’)’=u’’+v’’.
Matematikalıq induksiya metodınan paydalanamız, yaǵnıy n=k tártipli tuwındı ushın y^(k)=u^(k)+v^(k) Teńlik orınlı bolsın dep shama menen oylaymız hám n=k+1 ushın y^(k+1)=u^(k+1)+v^(k+1) Ekenligin kórsetemiz.
Haqıyqattan da, joqarı tártipli tuwındınıń tariypi, tuwındına iye bolǵan funksiyalar ózgesheliklerinen paydalanıp y^(k+1)=(y^(k))’=(u^(k)+v^(k))’= =(u^(k))’+(v^(k))’= u^(k+1)+v^(k+1) Ekenligin tabamız.
Matematikalıq induksiya Principine kóre y⁽ⁿ⁾=u⁽ⁿ⁾+v⁽ⁿ⁾ Teńlik qálegen natural n ushın orınlı dep juwmaq shıǵaramız.
2-qasiyet. Ózgermeytuǵın kópaytuvchini n-tártipli tuwındı belgisi aldına shıǵarıw múmkin: (Cu)⁽ⁿ⁾=Cu⁽ⁿ⁾.
Bul qasiyet de matematikalıq induksiya metodınan paydalanıp tastıyıqlanadı. Tastıyıqın oqıwshılarǵa qaldıramiz.
Misal. y= Funksiyanıń n-tártipli tuwındı ushın formula keltirip shıǵarıń.
Sheshiw. Berilgen bólshek-ratsional funksiyanıń bólimin kópaytuvchilarga ajratamız : (x²-5x+6)=(x-2)(x-3). Keyininen
(6)
Teńlik orınlı bolatuǵın A hám B koefficiyentlerdi izleymiz. Bul koefficiyentlerdi tabıw ushın teńliktiń ońın ulıwma bólimge keltiremiz hám eki kasrning teńlik shártidan paydalanamız. Ol halda 2x+3=A(x-3)+B(x-2), yaki 2x+3=(A+B)x+(-3A-2B)
Teńlikke iye bolamız. Eki kóp aǵzalılardıń teńlik shártidan (eki kóp aǵzalılar teń bolıwı ushın ózgeriwshiniń uyqas dárejeleri aldındaǵı koefficiyentler teń bolıwı zárúr hám yyetarli) tómendegi teńlemeler sisteması payda boladı:

Bul sistemanıń sheshimi A=-7, B=9 ekenligin kóriw qıyın emes. Tabılǵan nátiyjelerdi (8. 1) teńlikke qóyamız hám joqarıda tastıyıqlanǵan ózgesheliklerden paydalanıp, berilgen funksiyanıń n-tártipli tuwındın kuyidagicha jazıw múmkin: