Tərs matris. Xts-nin həlli üsulları. Vektorların bazis üzrə ayrılışı

Tərs matris. XTS-nin həlli üsulları. Vektorların bazis üzrə ayrılışı
Tutaq ki, m və n natural ədədlərdir. mn sayda ədəddən düzbucaqlı şəklində düzəldirmiş , m sayda sətri və n sayda sütunu olan cədvələ (m · n) – ölçülü matris deilir. Matrisi
a₁₁ a₁₂ ... a_1n
a₂₁ a₂₂ ... a_2n
. . . . .
a_m1 a_m2 ..a_mn
və ya
a₁₁ a₁₂ ... a_1n
a₂₁ a₂₂ ... a_2n
- - - - - - - - - -
a_m1 a_m2 ..a_mn
şəklində yazırlar. Bəzən qısa olmaq üçün matrisi böyük hərflə (A, B, C, X, Y, ...), və ya ║a_{i j}║ (i=1,2, ... n) şəklində işarə edirlər.
Matrisi təşkil edən a_{i j} ədədlərinə onun elementləri deyilir. Elementin aşaqısında yazılan iki (ij) indeksin birincisi (i) onun yerləşdiyi sətrin nömrəsini, ikincisi (j) isə yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.
(m · n) ölçülü (1) matrisinin sətir və sütunlarının sayı bərabər (m=n) olduqda, ona kvadrat matris deilir. Bu halda n ədədinə kvadrat matrisin tərtibi deyilir. Məsələn
0 1 3
A = 3 5 B = 2 4 7
7 8 0 3 4
matrislərinin birincisi iki, ikincisi isə üçtərtiblidir. Bir elementdən ibarət olan matrisə birtərtibli matris deyilir. Birtərtibli matrisi onu təşkil edən yeganə ədədlə eyniləşdirirlər: ║a₁₁║= a₁₁.
Ancaq bir sətri olan matrisə sətir-matris, ancaq bir sütunu olan matrisə sütun-matris deyilir. Məsələn,
A = 2, 7, 8, 9 B = a, b, c
matrisləri sətir-matrislər,
0 a₁
C = 2 , D = b₁
1 c₁
4 d₁
matrisləri isə sütun-matrislərdir.
n-tərtibli kvadrat
a₁₁ a₁₂ ... a_1n
A = a₂₁ a₂₂ ... a_2n
. . . . .
a_m1 a_m2 ..a_mn
matrisinin sol yuxarı küncündə olan a₁₁ elementi ilə sağ aşağı küncündə olan a_mn elementini birləşdirən düz xətt parçası üzərində yerləşən a₁₁, a₂₂, a₃₃, ..., a_nm elementləri çoxluğu həmin matrisin baş diaqonalı adlanır. Ancaq baş diaqonalının elementləri sıfırdan fərgli olan kvadrat matrisə diaqonal matris deilir. Bütün elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris vahid matris adlanır və I_n ilə işarə olunur. Birtərtibli vahid matris

ikitərtibli vahid matris

Üçtərtibli vahid matris və s. olar.
Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisidir. Bu halda
A^-1-A=AA^-1=I (1)
bərabərliyini ödəyən A^-1 matrisinin A matrisinin tərsi deyilir. (1) bərabərliyi göstərir ki, A^-1 matrisi A matrisinin tərsidirsə, onda A matrisi də A^-1 matrisinin tərsidir:
(A^-1) ^-1=A (2)
yəni A və A^-1 matrisləri qarşılıqlı tərs matrislərdir.
A matrisinin tərsi varsa, bu ancaq yeganə ola bilər. Doğrudan da, A matrisinin A^-1₁ və A^-1₂ kimi iki tərs matris olarsa, onda
A(A^-1₁ - A^-1₂)=I - I=0.
Bu bərabərliyin hər iki tərəfini soldan A^-1₁ matrisinə vursaq:
A^-1₁ A(A^-1₁ - A^-1₂)=I(A^-1₁ - A^-1₂)= A^-1₁ - A^-1₂=0
və yaxud
A^-1₁ = A^-1₂
A matrisinin determinantı ∆(A) olsun. ∆(I)=1 olduğundan (1) bərabərliyinə əsasən
∆(AA^-1)= ∆(A)· ∆(A^-1)=1
və yaxud
∆(A)· ∆(A^-1)=1, ∆(A^-1) = (3)
münasibəti doğrudur. Buradan aydındır ki, verilmiş A matrisinin A^-1 tərsi olması üçün ∆(A) 0 olmalıdır. Bu təklifin tərsi də doğrudur. Deməli, verilmiş A matrisinin tərs A^-1 matrisi olması üçün onun ∆(A) determinantının sıfırdan fərgli olması zəruri və kafi şərtdir.
Determinantı sıfra bərabər, yəni ∆(A) 0 olan kvadrat A matrisinə cırlaşmış (və ya məxsusi) matris deyilir. Determinantı sıfra bərabər olmayan kvadrat A matrisinə isə cırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir. Dediklərimizdən aydındır ki, cırlaşmamış matrisin tərsi vardır.
Tutaq ki, ikitərtibli cırlaşmamış
A₂ = a₁₁ a₁₂
a₂₁ a₂₂
matrisi verilmişdir. Bu matrisin tərsi:
A^-1₂ = və ya A^-1₂=
Bunun doğruluğuna inanmaq üçün A₂ A^-1₂=I olduğunu yoxlamaq kifayətdir.
Indi üçtərtibli cırlaşmamış (∆(A₃) 0)
a₁₁ a₁₂ a₁₃
A₃ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ (4)
a₃₁ a₃₂ a₃₃
matrisini götürək. Bu matrisin tərsi:
A^-1₃ = (5)
Doğrudan da, burada A_{i k} ilə a_{i k} elementinin cəbri tamamlayıcısı işarə olunduğunu və determinantların xassəssini nəzərə alsaq:
A^-1₃ A₃ =
və yaxud tələb olunan


A^-1₃ A₃ = = I₃
bərabərliyini alırıq.