Sayda ədəddən düzbucaqlı şəklində düzəldirmiş

Tutaq ki, m və n natural ədədlərdir. mn sayda ədəddən düzbucaqlı şəklində düzəldirmiş , m sayda sətri və n sayda sütunu olan cədvələ (m · n) – ölçülü matris deilir. Matrisi
a₁₁ a₁₂ ... a_1n
a₂₁ a₂₂ ... a_2n
. . . . .
a_m1 a_m2 ..a_mn
və ya
a₁₁ a₁₂ ... a_1n
a₂₁ a₂₂ ... a_2n
- - - - - - - - - -
a_m1 a_m2 ..a_mn
şəklində yazırlar. Bəzən qısa olmaq üçün matrisi böyük hərflə (A, B, C, X, Y, ...), və ya ║a_{i j}║ (i=1,2, ... n) şəklində işarə edirlər.
Matrisi təşkil edən a_{i j} ədədlərinə onun elementləri deyilir. Elementin aşaqısında yazılan iki (ij) indeksin birincisi (i) onun yerləşdiyi sətrin nömrəsini, ikincisi (j) isə yerləşdiyi sütunun nömrəsini göstərir.
(m · n) ölçülü (1) matrisinin sətir və sütunlarının sayı bərabər (m=n) olduqda, ona kvadrat matris deilir. Bu halda n ədədinə kvadrat matrisin tərtibi deyilir. Məsələn
0 1 3
A = 3 5 B = 2 4 7
7 8 0 3 4
matrislərinin birincisi iki, ikincisi isə üçtərtiblidir. Bir elementdən ibarət olan matrisə birtərtibli matris deyilir. Birtərtibli matrisi onu təşkil edən yeganə ədədlə eyniləşdirirlər: ║a₁₁║= a₁₁.
Ancaq bir sətri olan matrisə sətir-matris, ancaq bir sütunu olan matrisə sütun-matris deyilir. Məsələn,
A = 2, 7, 8, 9 B = a, b, c
matrisləri sətir-matrislər,
0 a₁
C = 2 , D = b₁
1 c₁
4 d₁
matrisləri isə sütun-matrislərdir.
n-tərtibli kvadrat
a₁₁ a₁₂ ... a_1n
A = a₂₁ a₂₂ ... a_2n
. . . . .
a_m1 a_m2 ..a_mn
matrisinin sol yuxarı küncündə olan a₁₁ elementi ilə sağ aşağı küncündə olan a_mn elementini birləşdirən düz xətt parçası üzərində yerləşən a₁₁, a₂₂, a₃₃, ..., a_nm elementləri çoxluğu həmin matrisin baş diaqonalı adlanır. Ancaq baş diaqonalının elementləri sıfırdan fərgli olan kvadrat matrisə diaqonal matris deilir. Bütün elementləri vahidə bərabər olan diaqonal matris vahid matris adlanır və I_n ilə işarə olunur. Birtərtibli vahid matris

ikitərtibli vahid matris

Üçtərtibli vahid matris və s.olar.

Tutaq ki, A hər hansı tərtibli kvadrat matris və I həmin tərtibli vahid matrisidir. Bu halda

A^-1-A=AA^-1=I (1)
bərabərliyini ödəyən A^-1 matrisinin A matrisinin tərsi deyilir. (1) bərabərliyi göstərir ki, A^-1 matrisi A matrisinin tərsidirsə, onda A matrisi də A^-1 matrisinin tərsidir:
(A^-1) ^-1=A (2)
yəni A və A^-1 matrisləri qarşılıqlı tərs matrislərdir.
A matrisinin tərsi varsa, bu ancaq yeganə ola bilər. Doğrudan da, A matrisinin A^-1₁ və A^-1₂ kimi iki tərs matris olarsa, onda
A(A^-1₁ - A^-1₂)=I - I=0.
Bu bərabərliyin hər iki tərəfini soldan A^-1₁ matrisinə vursaq:
A^-1₁ A(A^-1₁ - A^-1₂)=I(A^-1₁ - A^-1₂)= A^-1₁ - A^-1₂=0
və yaxud
A^-1₁ = A^-1₂
A matrisinin determinantı ∆(A) olsun. ∆(I)=1 olduğundan (1) bərabərliyinə əsasən
∆(AA^-1)= ∆(A)· ∆(A^-1)=1
və yaxud
∆(A)· ∆(A^-1)=1, ∆(A^-1) = (3)
münasibəti doğrudur. Buradan aydındır ki, verilmiş A matrisinin A^-1 tərsi olması üçün ∆(A) 0 olmalıdır. Bu təklifin tərsi də doğrudur. Deməli, verilmiş A matrisinin tərs A^-1 matrisi olması üçün onun ∆(A) determinantının sıfırdan fərgli olması zəruri və kafi şərtdir.
Determinantı sıfra bərabər, yəni ∆(A) 0 olan kvadrat A matrisinə cırlaşmış (və ya məxsusi) matris deyilir. Determinantı sıfra bərabər olmayan kvadrat A matrisinə isə cırlaşmamış (və ya qeyri-məxsusi) matris deyilir. Dediklərimizdən aydındır ki, cırlaşmamış matrisin tərsi vardır.
Verilmiş matrisin tərsini nece tapmaq olar?
Tutaq ki, ikitərtibli cırlaşmamış
A₂ = a₁₁ a₁₂
a₂₁ a₂₂
matrisi verilmişdir. Bu matrisin tərsi:
A^-1₂ = və ya A^-1₂=
Bunun doğruluğuna inanmaq üçün A₂ A^-1₂=I olduğunu yoxlamaq kifayətdir.
Indi üçtərtibli cırlaşmamış (∆(A₃) 0)
a₁₁ a₁₂ a₁₃
A₃ = a₂₁ a₂₂ a₂₃ (4)
a₃₁ a₃₂ a₃₃
matrisini götürək. Bu matrisin tərsi:
A^-1₃ = (5)
Doğrudan da, burada A_{i k} ilə a_{i k} elementinin cəbri tamamlayıcısı işarə olunduğunu və determinantların xassəssini nəzərə alsaq:
A^-1₃ A₃ =
və yaxud tələb olunan


A^-1₃ A₃ = = I₃
bərabərliyini alırıq.
Üçtərtibli (4) kvadrat matrisinin (5) tərsinin qurulma sxemi çox sadədir: (4) matrisinin a_{i k} elementi onun uyğun A_{i k} cəbri tamamlayıcısının ədədinə nisbəti ilə əvəz olunur. Alınan matrisin çevrilməsi (baş diaqonala nəzərən çevrilməsi) (5) matrisinə bərabərdir. həmin qayda ilə n-tərtibli cırlaşmayan kvadrat
a₁₁ a₁₂ ... a_1n
A = a₂₁ a₂₂ ... a_2n (∆A) 0)
. . . . . . . .
a_n1 a_n2 ... a_nn
matrisinin
A₁₁ A₂₁ ... A_n1
A^-1= A₁₂ A₂₂ ... A_n2
. . . . . . . . .
A_1n A_2n ... A_nn
tərs matrisini qurmaq olar.
Misal 2.
A = , ∆(A) = - 15
matrisinin tərs matrisi: A^-1 = .
Tutaq ki, (m · n) – ölçülü
a₁₁ a₁₂ ... a_1n
A = a₂₁ a₂₂ ... a_2n
. . . . . . . .
a_m1 a_m2 ... a_{m n}
matrisi verilmişdir. Bu matrisin ixtiyari k sayda sətrinin ixtiyari k sayda sütunu ilə kəsişdiyi elementlər k-tərtibli bir kvadrat matris təşkil edir. Bu k-tərtibli matrisin determinantına A martisinin k-tərtibli minoru deyilir. Burada k ədədi m və n ədədlərinin kiçiyindən böyük ola bilməz.
A matrisinin heç olmasa bir elementi sıfırdan, fərqlidirsə, onda onun sıfırdan fərqli minorları içərisində elə birisi vardır ki, onun tərtibi ən böyükdür. A matrisinin sıfırdan fərqli minorları tərtiblərinin ən böyüyünə həmin matrisin ranqı deyilir.
A matrisinin ranqını r(A) ilə işarə etsək, onun üçün
0 (1)
Aydındır ki, A matrisinin ranqı r olarsa, onda onun sıfırdan fərgli r-tərtibli minoru vardır və tərtibi r-dən böyük olan bütün minorları sıfra bərabərdir.
Hər bir kvadrat matrisə müəyyən bir ədədi uyğun qoyub, həmin ədədə bu matrisin determinantı deyirlər. Əgər matrisin tərtibi birə bərabərdirsə, onda bu matrisin yalnız bir elementi var ki, bu elementə (ədədə) həmin matrisin determinantı deyilir.
İndi isə ikitərtibli kvadrat matrisə baxaq:
ədədinə bu matrisə uyğun olan iki tərtibli determinant deyilir və aşağıdakı kimi işarə olunur:

İki tərtibli determinantın hesablanma qaydasını aşağıdakı sxem üzrə göstərmək olar:

İndi isə aşağıdakı üç tərtibli kvadrat matrisə baxaq:

Bu matrisə uyğun olan üçtərtibli determinant

ədədinə deyilir və

kimi işarə olunur.
Üç tərtibli determinantın açılış qaydasını aşağıdakı iki sxem üzrə yadda saxlamaq olar:

Misal.

n-tərtibli determinantın tərifini vermək üçün əvvəzləmələrə aid bəzi anlayışlar ilə tanış olmaq lazımdır.
Fərz edək ki, n- dənə elementdən ibarət olan sonlu M çoxluğu verilmişdir. Bizim öyrənəçəyimiz məsələ üçün M çoxluğunun elementlərinin təbiətləri heç bir rol oynamayacaqlar. Ona görə sadəlik xatirinə biz M çoxluğunun elementləri olaraq ilk n sayda 1,2,...,n natural ədədlərini götürəcəyik. Bu n sayda ədədləri artan sıra ilə 1,2,...,n normal düzülüşdən fərqli şəkildə də düzmək olar. 1,2,...,n ədədlərinin hər hansı bir qayda ilə olan hər bir düzülüşünə əvəzləmə deyilir. Asanlıqla göstərmək olar ki, n sayda simvollardan düzəldilə bilən bütün mümkün müxtəlif əvəzləmələrin sayı 123 ... n qədərdir. 123 ... n  n! kimi işarə olunur və n faktorial kimi oxunur.
Əgər hər hansı bir əvəzləmədə ixtiyari 2 simvolun yerlərini dəyişib, qalan simvolları öz yerlərində saxlasaq, yeni əvəzləmə alarıq. Bu əməliyyata transpozisiya deyilir. Məsələn, (5 3 2 4 1) əvəzləməsində 3 və 1 elementlərinin yerlərini dəyişsək (bunu 3  1 kimi yazırlar), (5 1 2 4 3) əvəzləməsini alırıq.
Verilmiş əvəzləmədə i  j olmaqla i ədədi j-dan əvvəldə durursa, deyirlər ki, i və j elementləri inversiya təşkil edirlər. Məsələn, 3 elemendən ibarət olan (2 1 3) əvəzləməsində 2 1 olmasına baxmayaraq 2 elementi 1-dən qabaqda durur. Deməli, 1 və 2 elementləri inversiya təşkil edirlər. İnversiyanın ümumi sayı cüt ədəd olan əvəzləməyə cüt əvəzləmə, inversiyanın ümumi sayı tək ədəd olan əvəzləməyə tək əvəzləmə deyilir. Məsələn, (4 5 1 3 6 2) əvəzləməsində inversiyaların ümumi sayı 2+2+4=8 olduğu üçün bu cüt əvəzləmədir.
Qeyd edək ki, hər bir transpozisiya əvəzləmənin cütlüyünü dəyişir. Məsələn, (4 5 1 3 6 2) cüt əvəzləməsində 5  6 tranpozisiyasını aparaq. Onda (4 6 1 3 5 2) əvəzləməsi alınır. Bu əvəzləmədəki inversiyaların ümumi sayı 2+2+1+4=9 olduğundan tək əvəzləmədir. Göründüyü kimi, bir transpozisiya aparmaqla cüt əvəzləmə tək əvəzləməyə çevrildi.
İndi isə n tərtibli determinantın tərifinə keçək. Fərz edək ki, n tərtibli aşağıdakı kvadrat matris verilmişdir:

Bu matrisin hər sətrindən və hər sütunundan bir element götürməklə n elementin hasilindən ibarət olan aşağıdakı şəkildə olan hasilə baxaq:

Qeyd edək ki, (1) yazılışındakı hasildə vuruqlar sətirlərin artma sayına görə düzülmüşdür. Əgər bu qaydaya əməl olunmayıb hasil

şəklində yazılsaydı, onda (2) həddinin qarşısında qoyulan işarə (1)^{i j} ədədinin işarəsi ilə təyin olunardı.