To’g’ri to’rtburchak uchun Dirixle masalasini Furye usuli bilan yechish

O‘zgaruvchilarni ajratish (Furye) usuli

1 Giperbolik turdagi tenglama

Uchlari x=0 va x=l nuqtalarda mahkamlangan tor tebtanishi tenglamasi masalasi uchun Furye yoki o‘zgaruvchilarni ajratish usulini bayon qilamiz. Bu masala quyidagi tenglamaga keladi:
(1)
Boshlang‘ich shartlar:
(2)
Chegaraviy shartlar:
(3)
Dastlab, (1) tenglamaning xususiy yechimlarini quyidagi korinishda qidiramiz:
, (4)
bu funksiyalr aynan nolga teng emas va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin.
(4) funksiyani (1) tenglama qo‘yib quyidagi oddiy differensial tenglamalarga kelamiz:
, (5)
, (6)
bu yerda .
Chegaraviy shartlar quyidagicha bo‘ladi:
. (7)
Natijada biz Shturm-Liuvill (6)-(7) masalasiga kelamiz.
Bu masalaning xos sonlari:

Va bu xos sonlarga quyidagi xos funksiyalar mos keladi:
.
bo‘lganda (5) tenglama quyidagi umumiy yechimga ega:
,
shuning uchun

funksiya har qanday va uchun (1) masalani va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
(2)-(3) shartlarni qanoatlantiruvchi (1) masalaning yechimini qator ko‘rinishida qidiramiz:
(8)
Agar bu qator tekis yaqunlashuvchii bo‘lib, uni hadma-had ikki marta differensiallash mumkin bo‘lsa, u vaqtda qator yig‘indisi (1) tenglamani va (3) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
va doimiy koeffisiyentlarni shunday aniqlaymizki (8) qator yig‘indisi (2) boshlang‘ich shartlarni qanoatlantirsin, quyidagi tengliklarga kelamiz:
(9)
(10)
(9) va (10) formulalar va funksiyalarning (0,l) intervalda sinuslar bo‘yicha Furye yoyilmasini beradi. Bu yoyilmalarning koeffisiyentlari quyidagi formulalar bilan topiladi:


Masala: Quyidagi masalani Furye usulida yeching.
u_tt=u_xx+u, (0_x=0=0, u|_x=l=t, u|_t=0=0, u_t|_t=0= .
Chegaraviy shartlar noldan farqli bo‘lgni uchun, yechimni ko‘rinishda qidaramiz, bu yerda , . U holda , yechim esa (*) ko‘rinishda bo‘ladi. Yechimdagi funksiya quyidagi masalani qanoatlantiradi:
v_tt=v_xx+v+ , (0_x=0=0, v|_x=l=0, u|_t=0=0, u_t|_t=0=0. (11)
Berilgan tenglamaning - xos sonlarini va xos funksiyalarini aniqlaymiz. Shunga asosan yechimni quyidagi ko‘rinishda qidiramiz:
. (12)
Tenglamaning ozod hadi funksiyani Furye qatoriga yoyamiz:
. (13)
- Furye koeffisiyentlarini quyidagi formula yordamida aniqlaymiz: . Integralni bo‘laklab integralymiz. Natijada
. (14)
(12) va (13) funksiyalarni (14) ni hisobga olgan holda (11) masalaga etib qo‘yamiz, natijada noma’lum funksiya uchun quyidagi Koshi masalasini olamiz:
(15)
(15) masalani yechishda, dastlab, tenglamaning yechimini quyidagi ko‘rinishda qidiring: , bu yerda - berilgan tenglamaga mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi, - berilgan tenglamaning xususiy yechimi bo‘lib, o‘ng tomonga qarab tanlanishi mumkin, bizning holimizda, ko‘rinishda qidirish mumkin.
(15) masalani yechib, natijada (11) masalaning yechimini aniqlaymiz:
. (16)
(16) funksiyani (*) ga etib qo‘yib, berilgan masalaning yechimini olamiz, ya’ni:
.