To’g’ri to’rtburchak uchun Dirixle masalasini Furye usuli bilan yechish

Integral tenglamalar

Ta’rif: Agar tenglamadagi noma’lum funksiya shu funksiyaning argumenti bo‘yicha olinadigan integral ishorasi ostida bo‘lsa, bunday tenglama integral tenglama deb ataladi.
Ta’rif: Ushbu integral tenglama Fredgolm¹ning 1-tur tenglamasi deyiladi:
(1)
Bunda – noma’lum funksiya, f(x) –ozod had va K(x,y) tenglamaning yadrosi – ma’lum funksiyalar, integrallash chegaralari a va b berilgan haqiqiy o‘zgarmas sonlar.
Ta’rif: Ushbu integral tenglama Fredgolmning 2-tur tenglamasi deyiladi:
(2)
Bunda – noma’lum funksiya integral ishorasidan tashqarida ham ishtirok etmoqda. (1) va (2) dagi tenglamaning parametri deyiladi.
Bu tenglamalardagi f(x) funksiya I( ) kesmada, K(x,y) yadro esa R( , ) yopiq sohada berilgan deb hisoblanadi.
Ta’rif: Agar I kesmada bo‘lsa, (2) tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi:
(3)
Bunday tenglama bir jinsli integral tenglama deyiladi
Ta’rif: Ushbu integral tenglama Fredgolmning 3-tur tenglamasi deyiladi:
(4)
Agar I kesmada
a) bo‘lsa, undan (1) tenglama;
b) bo‘lsa, undan (2) tenglama kelib chiqadi
Integral tenglamada ishtirok etadigan noma’lum funksiya ko‘p argumentli, jumladan ikki argumentli bo‘lishi ham mumkin.
Masalan:
(5)
bu yerda f(x,y) funksiya R( , ) sohada, K(x,y,t₁,t₂) yadro esa P( , , , )sohada berilgan deb hisoblanadi; a,b,c,d va lar berilgan o‘zgarmas haqiqiy sonlardir.
Ta’rif: Ushbu integral tenglama Volterra²ning 1-tur tenglamasi deyiladi:
(6)
Bunda – noma’lum funksiya, f(x) –ozod had I( ) kesmada, va K(x,y) tenglamaning yadrosi – R( , ) yopiq sohada berilgan deb hisoblanadi..
Ta’rif: Ushbu integral tenglama Volterraning 2-tur tenglamasi deyiladi:
(7)
Bunda – noma’lum funksiya integral ishorasidan tashqarida ham ishtirok etmoqda. (1) va (2) dagi tenglamaning parametri deyiladi.
Ta’rif: Agar I kesmada bo‘lsa, (2) tenglama quyidagi ko‘rinishga keladi:
(8)
Bunday tenglama bir jinsli integral tenglama deyiladi

Integral tenglamada ishtirok etadigan noma’lum funksiya ko‘p argumentli, jumladan ikki argumentli bo‘lishi ham mumkin.

Masalan:
(9)
bu yerda f(x,y) funksiya R( , ) sohada, K(x,y,t₁,t₂) yadro esa P( , , , )sohada berilgan deb hisoblanadi.
Ta’rif: Fredgolmning 2-tur tenglamasi berilgan bo‘lsin:
(2)
Agar bu tenglamada ishtirok etayotgan yadroni ushbu:
(10)
ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lsa, bunday yadro aynigan yadro³ deyiladi.
Integral tenglamalarni yechishning quyidagi usullari mavjud:

1. 
   Differensial tenglamalarga keltirib yechish;
   
2. 
   Aynigan yadroli integral tenglamalarni chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keltirib yechish;
   
3. 
   Aynigan yadroli integral tenglamalarni koeffisiyentlarni tenglash usuli bilan yechish;
   
4. 
   Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan yechish;
   
5. 
   Rezolventa usuli bilan yechish.
   

Shu usullardan ba’zilarini misollarda ko‘rib chiqamiz.
1-misol. Ushbu tenglama yechilsin:

Berilgan aynigan yadroli integral tenglamani chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keltirib yechish usulidan foydalanib yechamiz.

Bu misoldagi parametr umumiy holda berilgan bo‘lib, yadro yuqoridagi (10) ko‘rinishda ifodalangan. Tenglamaning o‘ng tomonidagi integralni ikkiga ajratib,

so‘ngra quyidagicha

belgilaymiz. U holda berilgan integral tenglama
(11)
ko‘rinishda yoziladi. Noma`lum funksiyaning mana shu ifodasidan foydalanib, bilan ni hisoblaymiz:

yoki

Xuddi shuningdek,

yoki

Shunday qilib, quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo‘ldi:

Bu sistemaning yechimini Kramer formulalariga asosan yozamiz:

Bu erda



Demak,

Bularni izlanayotgan noma`lum funksiyaning (11) ifodasiga qo‘yib, uni quyidagi ko‘rinishda yozamiz:

Bu esa berilgan masalaning yechimidir. Yechim ifodasidagi kasrlarning maxraji nolga teng bo‘lmasligi uchun parametr

kvadrat tenglamaning ildizi bo‘lmasligi shart, ya`ni xususiy holda deb faraz qilsak, yechim quyidagicha yoziladi:



2-misol. Ushbu tenglamani yeching.
.
Aynigan yadroli ushbu integral tenglamani koeffisiyentlarni tenglash usuli bilan yechamiz.

O‘ng tomondagi qavslarni ochib ikkala intengralni ham qisqacha va orqali belgilaymiz:

,

ning mana shu ifodasini berilgan integral tenglamaga qo‘yamiz:

Bu yerdagi integrallar hisoblab chiqilsa, quyidagi ayniyat

Hosil bo‘ladi. Uning ikki tomonidagi ning koeffisentlarini o‘zaro hamda ozod hadlarni o‘zaro tenglash natijasida quyidagi tenglamalar

yoki

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi hosil bo‘ladi. Bu sistemaning yechimi

Demak, integral tenglamaning yechimi

bo‘ladi.


3-misol. Ushbu tenglamani yeching: (Bu yerda ketma-ket yaqinlashish usulidan foydalanamiz).

bunda
va
Endi quyidagi munosabatlardagi hadlarni hisoblab chiqamiz:






va hokazo. Bu ifodalarning hosil bo‘lishidagi qonuniyat ko‘rinib turibdi. Ularning yig‘indidsini hisoblasak, izlanayotgan yechim hosil bo‘ladi:

4-misol. Ushbu tenglama rezol’venta yoradami bilan yechilsin:

Topamiz:


Xuddi shu usulda ni topamiz:

va hokazo bularni formulaga qo‘yib rezol’ventani topamiz:

U holda berilgan tenglamaning yechimi

bo‘ladi. O‘ng tomondagi integralni hisoblab quyidagi natijani olamiz:

Yuqorida ko‘rsatilga usullardan foydalanib quyidagi misollar yechilsin