Tojiboyeva zumradning matematik fizika tenglamalari fanidan

1.2. KO’P O’ZGARUVCHILI KO’PHADLAR
Kamida ikkita o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan ko’phad ko’p noma’lumli ko’phad deyiladi.
Ko’p noma’lumli ko’phadlar 2,3,4,..., nomalumli bo’lishi mumkin. noma’lumli ko’phad odatda orqali belgilanadi. nomalumli ko’phad

ko’rinishdagi chekli sondagi hadlarning algebraik yig’indisidan iborat bo’lib, bu yerda (i=1, ) lar sonlar maydoniga tegishli bo’lgan butun sonlardir.
Faraz qilaylik, bizga birlik elementga ega bo’lgan biror R butunlik sohasi berilgan bo’lsin.
TA’RIF.. bo’lganda

Ifoda butunlik sohasi ustida berilgan ko’phad deyiladi. - bu yerda manfiy emas butun sonlar bo’lib deb olinadi (1) ifodada uchraydigan , simvollar deb qaraladi. simvol odatda noma’lum ifoda deb yuritiladi . (1.1) ifodadagi lar (1.1) ko’phadning koeffitsiyentlari,  lar esa ko’phadning hadlari deyiladi [3].
II. ASOSIY QISM
2.1. LEJANDR KO’PHADI HAM UNING MATEMATIK FIZIKA MASALARINI YECHISHDA QO’LLANILISHI
F araz qilaylik, f(x) funksiya p(x)≥ 0 vazn bilan [a,b] oraliqda kvadrati bilan integrallanuvchi bolsin, ya’ni

m avjud bo’lsin. Bunday funksiyalarni L²_p [a,b] fazoga tegishli deyiladi. Bu funksiyani

u mumlashgan ko‘phad bilan o‘rta kvadratik ma’noda yaqinlashtirish masalasini qaraylik, ya'ni a₀,a₁,...,a_n koeffitsiyentiami shunday topaylikki,

ifoda eng kichik qiymat qabul qilsin.
B u yerda { _k(x)}ⁿ_k=0[a,b] da yetarlicha silliq va hisoblash uchun qulay bo‘lgan chiziqli bog‘liqsiz funksiyalar sistemasidir. { _k(x)}ⁿ_k=0[a,b] funksiyalar sistemasi [a,b] da Chebishev sistemasini tashkil etadi, deb hisoblaymiz. funksiya a₀,a₁,...,a_n larga nisbatan kvadratik ko‘phad va ≥0 bo'lgani uchun uning minimumi mavjud, bu minimumni topish uchun

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechish kerak bo'ladi. Bu tenglamalar sistemasi quyidagi ko'rinishga egadir:

A gar L²_p [a,b] fazodan olingan ixtiyoriy ikki (x) va (x) funksiya skalyar ko‘paytmasini ( ) orqali belgilasak:

u holda quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

B u sistema yagona yechimga egadir, chunki uning determinanti Gram determinantidir. Chiziqli bog‘liqsiz funksiyalar sistemasidan tuzilgan.

d eterminant Gram determinanti deyiladi va uni noldan farqliligini ko'rsatamiz. Faraz qilaylik, aksincha, ya’ni Г_n= 0 bo‘lsin. U holda sistemaga mos keladigan bir jinsli chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

kamida bitta trivial bo‘lmagan yechimga ega bo‘lishi kerak, ya’ni shunday a₀,a₁,...,a_n sonlar topilishi kerakki, ularning kamida bittasi noldan farqli bo‘lib, sistemani qanoatlantirsin sistemaning tenglamalarini mos ravishda a₀,a₁,...,a_n larga ko‘paytirib yig'amiz e'tiborga olsak, quyidagi hosil bo‘ladi:

B unday bolishi mumkin emas, chunki chiziqli L²_p [a,b] bog‘liqsiz funksiyalar sistemasi bo‘lib, a₀,a₁,...,a_n larning kamida bittasi noldan farqliligi sababli

k o‘phad aynan nolga teng emas. Demak, Gram determinanti noldan farqli va sistema yagona yechimga ega. Agar [a,b] oraliqda p(x) > 0 vazn funksiya bilan { _k(x)}ⁿ_k=0[a,b] funksiyalar sistemasi ortogonal ko‘phadlar sistemasini, ya'ni

tashkil etsa, u holda tenglamalar sistemasining har bir tenglamasi bitta noma’lumga bog‘liq bo‘lib, koeffitsiyentlar quyidagicha aniqlanadi:

Agar { _k(x)}ⁿ_k=0[a,b] da p(x) > 0 vazn funksiya bilan ortonormal ko‘phadlar sistemasini tashkil etsa, u holda koeffitsiyentlar quyidagicha aniqlanadi:

B u holda eng kichik og‘ish

y a’ni

bilan xarakterlanadi. Quyida hisoblash matematikasida ko‘p qo‘llaniladigan ortogonal ko‘phadlar sistemalarini keltiramiz [5].