Universitetin adı adau

Mövzu 3. Xətti tənliklər sisteminin həll üsulları

1. Xətti tənliklər sistemini həlli üçün Kramer qaydası.

2. Vahid matrisin eyni zamanda məçulları ardıcıl yox etməklə sistemin həllini 3. Qaus üsulu ilə tapılmasını müəyyən etmək.
Xətti sistemlər. Əsas təriflər. Xətti tənliklər sisteminin matris şəklində yazılması

(1)

şəklində olan sistem n məchullu m xətti tənliklər sistemi və ya xətti sistem adlanır, burada a_ij , b_i ( ) – ədədlərdir. Tənliklərin sağ tərəflərindəki ədədlərinin hamısı sıfra bərabər olarsa, onda həmin sistemə bircins xətti tənliklər sistemi deyilir. ədədlərinin heç olmasa biri sıfırdan fərqli olduqda (1) sisteminə bircin olmayan xətti tənliklər sistemi deyilir. Sistemə daxil olan tənliklərin hər birini ödəyən qiymətlər çoxluğuna həmin sistemin həlli deyilir.

Verilmiş sistemin həlli ola da bilər, olmaya da bilər; sistemin həlli varsa, ona uyuşan və ya birgə sistem, əks halda isə uyuşmayan və ya birgə olmayan sistem deyilir. Tənliklər sistemi uyuşan olduqda onun bir və ya birdən çox həlli ola bilər. Tənliklərin sayı məchulların sayına bərabər olanda sistemə kvadrat sistem deyilir.

(1) xətti tənliklər sistemini matris tənliyi şəklində yazmaq olar.

Məchulların əmsallarından düzəlmiş matrisi A, sağ tərəfdəki məlum ədədlərdən düzəlmiş sütun-matrisi B, axtarılan məchullardan dü­zəlmiş sütun-matrisi isə X ilə işarə edək:

, , .

A matrisin sütunlarının sayı X matrisinin sətirlərinin sayına bərabər olduqdan, AX hasilini tapa bilərik

.

(1) tənliklər sisteminin sağ tərəfi B sütun-matrisin elementləridir və buna görə də matrislərin bərabərliyi şərtinə əsasən

AX = B (2)

yazmaq olar. (2) tənliyinə matris-tənlik deyilir.

Xətti tənliklər sisteminin Kramer üsulu ilə həlli

Tutaq ki, kvadrat xətti tənliklər sistemi (yəni n məchullu n tənlik) verilmişdir

(1)

və əsas matirisin determinantı sıfırdan fərqlidir:

. (2)

Tutaq ki, (1) sisteminin hər hansı bir həllidir. Onda (1) bərabərliklərini uyğun olaraq əsas matrisin  determinantının hər hansı j sütunun elementlərinin cəbri tamamlayıcılarına vurub və sonra alınan bərabərlikləri toplasaq alarıq:

.

Burada i sütun elementlərinin j sütunun elementlərinin uyğun cəbri tamamlayıcılarına hasillərinin cəmi olanda sıfra və i = j olanda determinanta bərabər olmasını nəzərə alsaq son bərabərlikdən alarıq

. (3)

Əsas matrisin determinantından j sütununu sabit hədlər sütunu ilə əvəz etməklə (-nın bütün başqa sütunlarını saxlamaq şərti ilə) alınan determinantı ilə işarə edək.

Qeyd edək ki, (3)-ün sağ tərəfində elə həmin determinantı durur və bu bərabərlik aşağıdakı şəkilə düşər:

( ). (4)

Əsas matrisin  determinantı sıfırdan fərqli olduğundan (4) bərabərlikləri aşağıdakı nisbətlərə ekvivalentdirlər

( ). (5)

Beləliklə, əsas matrisinin (2) determinantı sıfırdan fərqli olan (1) sisteminin həlləri birqiymətli olaraq (5) düsturları vasitəsilə təyin edilir. Bu düsturlar Kramer düsturları adlanırlar.