Variatsion hisobda shartli ekstremumga oid masalalar Masalaning qo’yilishi

Variatsion hisobda shartli ekstremumga oid masalalar


Masalaning qo’yilishi. Quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi joiz

vektor funksiyalar to’plami ni qaraymiz:

1. 
   funksiyalar kesmada aniqlangan va uzluksiz differensiallanuvchi bo’lsin, ya’ni – berilgan;
   
2. 
   funksiyalar
   

chegaraviy shartlarni qanoatlantirsin, ya’ni egri chiziqlarning har biri mahkamlangan (qo’zg’almas) chegara nuqtalardan o’tadi, , berilgan sonlar;

3. 
   funksiyalar barcha lar uchun
   

сhekli bog’lanishlarni qanoatlantiradi., bunda funksiyalar barcha o’zgaruvchilari bo’yicha uzluksiz differensiallanuvchidir.

tenglamalar o’zaro bog’lanmagan, ya’ni

Hamda

bog’lanishlar chegaraviy shartlarga muvofiqlashtirilgan.
Ohirgi jumlaning ma’nosi shundan iboratki, chegaraviy nuqtalar

tenglamalarni va bo’lganda qanoatlantirishi shart.
to’plamda

funksional berilgan, bu yerda funksiya o’zining barcha argumentlari bo’yicha ikkinchi tartibgacha uzluksiz hususiy hosilalarga ega, deb faraz qilinadi.
to’plamga tegishli joiz vektor funksiyalar ichida shunday vektor funksiyani topish kerakki, unda

funksional ekstremumga erishsin, ya’ni

bo’lsin.
Qo’yilgan masala, funksionallarning shartli ekstremumini topish haqidagi masalalar sirasiga kiradi.
Masala yechimini izlash tartibi (sxemasi). Sxema ekstremumning zaruriy sharti, birinchi variatsiyaning ekstremum beruvchi funksiyada nolga tengligiga, ya’ni shartga tayanadi. Ma’lumki,

masala, bir o’zgaruvchili bir necha funksiyalarga bog’liq funksionalning ekstremumi haqidagi masaladan faqat

chekli bog’lanishlar mavjudligi bilan farq qiladi. Shuning uchun, funksionalning birinchi variatsiyasi uchun

ifodadan foydalanamiz.
Modomiki, funksiyalar

chekli bog’lanishlarni qanoatlantirishlari shart ekan.

bu yerda – funksional ekstremumga erishadigan egri chiziq bo’lib, variatsiya ning oraliqda tanlangan qiymatida hisoblangan.
Shunday qilib, variatsiyalarning faqat tasini ihtiyoriy deb hisoblash mumkin (masalan, larni), qolganlari esa,

shartlardan aniqlanadi. Endi

tenglamalarning har birini qandaydir funksiyaga hadma-had ko’paytirib va dan gacha bo’lgan chegaralarda integrallab,

munosabatlarni olamiz.



va

munosabatlarni hadma-had qo’shsak,

hosil bo’ladi. Agar

belgilashni kiritsak, bunda - Lagranj funksiyasi, - Lagranj ko’paytuvchilari deb ataladi, ohirgi tenglamani,

ko’rinishda yozish mumkin. ta ko’paytuvchilarni shunday tanlaylikki, ular egri chiziq bilan birga ta

Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantirsin.
Bunday qilishning imkoniyati bor, chunki

tenglama

belgilashni hisobga olganda,

ko’rinishni oladi.
Ravshanki,

sistema larga nisbatan chiziqli va uning determinant noldan farqli (masalaning qo’yilishidagi c) bandga ko’ra), demak u

yechimga ega. ko’paytuvchilar yuqoridagidek tanlanganda

shart quyidagi

ko’rinishni oladi, bunda variatsiyalar o’zaro bog’lanmagan. U holda, variatsion hisobning asosiy masalasiga asosan (uni qo’llash uchun variatsiyalarning navbat bilan bittasini ihtiyoriy deb, qolganlarini nolga teng deb olish mumkin)

munosabatlarga ega bo’lamiz.
Nihoyat,

va

larni hisobga olib, egri chiziq va Lagranj ko’paytuvchilari

Eyler tenglamalari sistemasini qanoatlantirishi zarur, degan xulosa qilish mumkin.
Shunday qilib, ta chegaraviy shartlarni hisobga olgan holda, ta

va

tenglamalardan vektor funksiya va Lagranj ko’paytuvchilari topiladi.
Bayon qilingan natijani quyidagicha ifodalaymiz.