Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

Yüklə 1,04 Mb.

Pdf görüntüsü

səhifə	10/14
tarix	06.06.2020
ölçüsü	1,04 Mb.
	#31792

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 14

[kitabyurdu.org] Analitit hendese (G.Salmanova)

3. Fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi və burada metrik məsələlər.
Fəzada koordinat sisteminin çevrilməsi və fəzanın oriyentasiyas ı. Tənlik və bərabərsizliklərin, birləşmələrin və sisteml

2.Parçan

ın bölünmə düsturları.

Fərz edək ki,fəzada

2

1

(

e

e

e

) afin koordinat sistemind

ə M(x

1

,y

) v

N(x

) nöqt

ələri verilmişdir.

N

M

.Müst

əvidə olduğu kimi fəzada da

əğər

N

K

K

M

(3)

olarsa,onda deyirik ki, K nöqt

əsi

[ ]

MN

parças

ını

nisb

ətində bölür.yəni.

(

)

=

K

MN,

,burada

-bölm

ə əmsalıdır.K nöqtəsinin koordinatlarını M və N

nöqt

ələrinin koordinatları ilə ifadə edək.

Tutaq ki,K nöqt

əsinin koordinatları (x,y,z)-dir.

Vektorlar üz

ərində əməllərə ğörə

K

O

N

O

N

K

ONK

M

O

K

O

K

M

OMK

Bunu (3) b

ərabərliyində nəzərə alsaq

(

)

OK

ON

OM

OK

ə ya

1

ON

OM

OK

alar

ıq. Aldığımız ifadəni koordinatlarda yazaq

z

z

z

y

y

y

x

x

x

(4)

(4) düsturlar

ına parçanı

nisb

ətində bölən nöqtənin koordinatlarının

hesablanmas

ı düsturları deyilir.

Müst

əvidə olduğu kimi burada da ğöstərə bilərik ki,

Əğər

olarsa

,onda (3) b

ərabərliyinə ğörə

N

M

N

K

K

M

N

K

K

M

olar.Bu is

ola bilm

əz.

Həmçinin qeyd edək ki,

f

l

olarsa,

N

K

K

M

.Bu o dem

əkdir ki,K

nöqt

əsi

[ ]

parças

ının daxilindədir.

olarsa

N

K

K

M

olur,dem

əli K nöqtəsi

[ ]

parças

ının xaricindədir.Xüsusi halda,

olarsa K nöqt

əsi

[ ]

parças

ının orta nöqtəsi olar və (4) düsturları aşağıdakı şəklə düşər.

1

z

z

z

y

y

y

x

x

x

or

or

or

(5)

Nəticədə alırıq ki, parçanın orta nöqtəsinin koordinatları (5) düsturları ilə

hesablan

ır.

3. Fəzada düzbucaqlı koordinat sistemi və burada metrik məsələlər.

downloaded from KitabYurdu.org

Fəzada

)

(

1

e

e

e

afin koordinat sistemind

3

2

å

å

e

koordinat

vektorlar

ı ortonormal bazis müəyyən edərsə,yəni,

3

2

=

e

e

e

e

e

e

1

3

=

e

e

e

olarsa,onda bel

ə sistem düzbucaqlı dekart koordinat sistemi

adlan

ır. Düzbucaqlı dekart koordinat sistemini

(

)

k

j

i

o

kimi i

şarə

olunur. T

ərifə görə

=

i

k

k

j

j

i

k

j

i

Düzbucaqlı dekart koordinat sistemi,afin koordinat sisteminin xüsusi

halı olduğundan afin koordinat sistemi üçün qeyd etdiyimiz məsələlər

düzbucaqlı koordinat sistemində də öz gücündə qalır.Lakin düzbucaqlı

koordinat sistemində bəzi məsələlər cox sadə yerinə yetirilir.

Düzbucaql

ı sistemdə metrik məsələlərə baxaq:

1.Tutaq ki,Oijk düzbucaql

ı dekart koordinat sistemində

z

y

x

M

z

y

x

M

)

(

noqt

ələri verilmişdir.Bu nöqtələr arasındakı

məsafəni d(M

,M

2

) v

ə ya

)

(

1

Ì

kimi i

şarə edək.Bilirik ki,

Ì

M

vektorunun koordinatlar

(

)

,

z

z

ó

ó

x

x

Ì

M

kimi hesablan

ır.

Ayd

ındır ki,

)

(

Ì

M

1

M

M

. Diğər tərəfdən bilirik ki,ortanormal

bazisd

ə koordinatları ilə verilmiş vektorun uzunluğu,onun koordinatlarının

kvadratlar

cəminin kvadrat kökünə bərabərdir.yəni,

(

) (

)

z

z

y

y

x

x

M

M

Onda al

ırıq ki,

(

)

(

)

(

) (

)

z

z

y

y

x

x

M

M

(6)

Ald

ıq ki, düzbucaqlı dekart koordinat sistemində koordinatları il. Verilmiş iki

nöqt

ə arasındakı məsafə (6) düsturu ilə hesablanır.

2.Tutaq ki,Oijk düzbucaql

ı dekart koordinat sistemində

(

)

(

)

b

b

b

b

à

à

a

a

vektorlar

ı verilmişdir.Bu vektorlar arasındakı bucağı hesablayaq.Bilirik ki,

vektorlar aras

ındakı bucaq

(

)

b

a

b

a

b

a

cos

(7)

düsturu il

ə hesablanır. Verilən koordinat sistemi ortanormal olduğu üçün

,

b

b

b

b

a

a

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

a

olur. Bu ifad

ələri (7)-də

yerin

ə yazaq.

b

b

b

a

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

cos

(8)

downloaded from KitabYurdu.org

Fəzada koordinat sisteminin çevrilməsi və fəzanın

oriyentasiyas

ı. Tənlik və bərabərsizliklərin, birləşmələrin və

sisteml

ərin həndəsi izahı.

Plan: 1.F

əzada üç vektorun konplanarlıq şərti.

2. F

əzanın oriyentasiyası.

3. F

əzada koordinat sisteminin çevrilməsi.

4. F

əzada koordinat metodunun tənlik və bərabərsizliklərin.

izah

ına tətbiqi.

1. .F

əzada üç vektorun konplanarlıq şərti.

şərt aşağıdakı terminlə ifadə olunur.

c

b

a

vektorlar

(

) (

)

(

c

c

c

b

b

b

a

a

a

c

b

a

koordinantlar

ı ilə verilib.

Teorem: Üç vektorun konplanarl

ığı üçün onların hər hansı bazisdəki

koordinantlar

ından düzəldilmiş determinantının sıfır olması zəruri və kafidir.

İsbatı:

c

b

a

konplanard

ılar, yəni

,

0

c

b

a

koordinantlarda

0

0

ïï

+

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

c

b

a

D 0

determinant

ın xassəsinə əsasən

¹

+

c

b

a

c

c

c

b

b

b

a

a

a

dem

əli,

c

b

a

vektorlar

ı xətti asılıdırlar.

2. F

əzanın oriyentasiyası.

Fəzanın oriyentasiyası müstəvinin oriyentasiyasına analoji verilir.

)

(

c

b

a

sistemi x

ətti asılı deyilsə fəzada bazis əmələ gətirir. Deməli, fəzada ∞

sayda bazis vard

ır.

(

)

(

)

b

b

b

B

a

a

a

B

iki bazis olsun.

B

–nin

vektorlar

ı üzrə ayırsaq belə olar.

÷

÷

ïï

=

c

c

c

c

c

c

c

c

c

a

c

a

c

a

c

b

a

c

a

c

a

c

b

a

c

a

c

a

c

b

C

C-matrisinin sütunlar

(

)

b

b

b

-ün koordinantlar

ıdır. C-matrisi

bazisind

ən

B

bazisin

keçid matrisidir v

ə

B

B

C

kimi yaz

ılır.

c

c

c

c

c

c

c

c

c

C

det

ədədi

B

-d

ən

B

-y

ə keçid matrisinin determinantıdır.

B

bazis oldu

ğundan

det

¹

C

keçid matrisi determinant

ının xassələri.

downloaded from KitabYurdu.org

1.

B

olarsa, C=E, detC=1

2.

B

B

C

,

B

B

D

olsa,

C

D

C

DC

F

F

C

D

B

B

B

B

det

)

(

3.

B

B

C

det

C

B

C

B

C

Əgər bütün bazislər çoxluğu

{

}

....

B

B

B

ə işarə etsək onda iki

B

və

bazisi

münsib

ətində olsun o zaman ki,

det

f

C

C

B

B

B

B

əni

det

C

B

B

-münasib

əti 1-3

xass

ələrini ödəyir. Yəni ekvivalentlik münsibətidir.

¹ 0

det C

det

f

C

ya da

{

}

B

C

C

C

k

k

k

B

B

B

B

det

və

k

bazisl

ərin oriyentasiyası adlanır. Biri sol və ya münasibətdirsə, o biri

ğ və ya mənfi oriyetasiya adlanır.

3.F

əzada koordinat sisteminin çevrilməsi.

Fəzada bazislər çox sayda olduğu kimi çox sayda da afin koordinant

sistemi vard

ır. Eyni nöqtə müxtəlif sistemlərdə müxtəlif koordinantlara malik

olarlar, koordinant sisteminin çevrilm

əsi dedikdə eyni nöqtənin müxtəlif

sisteml

ərdəki koordinantları arasındakı əlaqə düsturunun müəyyən

edilm

əsi başa düşülür.

)

(

1

e

e

e

R

və

)

(

e

e

e

R

kimi iki koordinat sistemini

götür

ək.

c

c

c

e

c

c

c

e

c

c

c

e

M

z

y

x

O

z

y

x

z

y

x

R

R

R

(

olsun.

e

e

e

e

z

e

y

e

x

e

e

e

z

y

x

z

y

x

M

O

O

O

OM

det

C

z

y

x

z

z

y

x

y

z

y

x

x

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

z

c

c

c

y

c

c

c

x

Xüsusi halları:

ï

î

z

y

x

e

e

z

z

y

y

x

x

C

i

i

Başlanğıc dəyişir, bazis vektorlar

dəyişmir. Buna koordinat sisteminin paralel köçürməsi deyilir.

2.

C

B

B

c

c

c

c

c

c

c

c

c

C

=

z

y

x

Başlanğıc dəyişmir

bazis vektorlar

ı dəyişir. Buna koordinat oxlarının döndərilməsi deyilir.

downloaded from KitabYurdu.org

3.

C

B

B

ər ikisi dəyişir. Koordinat sisteminin çrvrilməsinin

ümumi hal

ı adlanır.

b) Bazisl

ər ortonormaldır.

B

ə

B

bazisl

əri ortonormal olan halda

(

)

k

j

i

R

(

)

k

j

i

R

koordinat sisteml

əri alınır.

(

)

k

j

i

B

–dan

(

)

k

j

i

B

keçid matrisi C matrisi olur, lakin matrisin elementl

əri onun ortoqanallıq

şərtini ödəyirlər. Yəni, bu zaman matrisin sütun elementləri

(

)

k

j

i

vektorunun koordinantlar

ı olduğundan, yəni

(

) (

)

c

c

c

c

c

c

c

c

c

k

j

i

oldu

ğundan onların kvadratları

cəmi 1-ə bərabərdir, yəni

ï

î

ïï

c

c

c

c

c

c

c

c

c

əm də

¢

k

j

k

i

j

i

şərtlərini ödəyir. Yəni,

î

ï

11

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

c

olar. H

əm də

( )

( )

k

k

k

j

k

i

i

k

j

j

j

i

c

c

c

c

c

c

cos

Dem

əli, ortonormal koordinat sisteminin çrvrilməsi zamanı keçid matrisinin

elementl

əri və ya əmsallar üzərinə 7 şərt qoyulur. Yuxarıdakı altı şərti

öd

əyən matris ortoqanal matris adlanır. Ortoqanal matrisi müəyyən edən

əlamətlərdən biri də onun özü ilə tərsinin hasilinin vahid matris verməsidir.

Yəni

R

R

R

R

C

C

olur.

4. F

əzada tənlik və bərabərsizliklər, onların sistemləri və

birl

əşmələrinin həndəsi izahı. Fəzada koordinant metodunun tətbiqləri.

Əvvəlcə fəzada fiqurun təyini anlayışını verək.

(

)

e

e

e

R

afin

koordinsistemini götür

ək. R-də

fiqurunu mü

əyyən edən şərtlərə onun

tənliyi deyilir. Məs: R-də z=0 ödəyən nöqtələr (oxy) müstəvisini verir .

z=0 (oxy) müst

əvisinin tənliyi adlanır.

f

z

(oxy) müst

əvisindən yuxarı

yar

ımfəzanın nöqtələridir, yəni elə nöqtələr çoxluğu ki, (0,0,1) nöqtəsi

daxildir. F

ərz edək

)

(

)

(

)

(

1

z

y

x

z

y

x

z

y

x

F

F

F

sistemi verilmi

şdir. Burada

işarəsi

şarələrindən birini əvəz edir.

–fiqurunu, - fiqurunu, - fiqurunu mü

əyyən edirsə sistem

fiqurunu mü

əyyən edər.

İndi birləşməyə baxaq:

downloaded from KitabYurdu.org

Birl

əşməsində

-

Ú

)

(

f

z

y

x

F

fiqurunu,

-

Ú

)

(

f

z

y

x

F

fiqurunu,

-

Ú

)

(

f

z

y

x

F

fiqurunu mü

əyyən

ed

ərsə, sistem

F

F

F

F

.......

fiqurunu mü

əyyən edər. İndi

birl

əşməyə baxaq:

ïï

)

(

)

(

)

(

1

z

y

x

z

y

x

z

y

x

f

f

f

birl

əşməsində fiqurunu

)

(

z

y

x

f

fiqurunu,

G

-

)

(

z

y

x

f

fiqurunu,

G

-

Ú

t

t

z

y

x

f

)

(

fiqurunu mü

əyyən edərsə,

birl

əşmə

G

t

.....

2

1

fiqurunu mü

əyyən edər.

Məsələn:1. Fəzada 1 kvadratındakı nöqtələr çoxluğunu

z

y

x

sistemi mü

əyyən edir. Bu fiqur

{

}

{

}

{

}

f

z

y

x

-dir.

2. 3 kvadrat

ından başqa qalan nöqtələr çoxluğunu

{

}

{

}

{

}

1

z

y

x

olar. 3 Kvadrat

ının özü isə

z

y

x

sistemi il

ə ifadə olunur.

İndi kvadrat metodunun tətbiqinə baxaq.

Fəzada kvadrat metodunu ilə tədqiqat apardıqda ən əvvəl şəth

tənliklərinə baxılır.

əthini müəyyən edən şərt onun tənliyidir. Xüsusi

halda sfera t

ənliyinə baxaq. Sfera fəzada

M

nöqt

əsindən eyni

uzaql

ıqda yerləşən nöqtələr çoxluğudur.

)

(

k

j

i

R

Sistemind

C(a,b, c) –m

ərkəz, M(x,y,z) –sferanın hər hansı nöqtəsi olarsa, CM=r

sferan

ın tənliyidir. Buradan

r

z

y

x

cz

by

ax

ə ya

D

Cz

By

Ax

z

y

x

sferan

ın ümumi tənliyidir.

D

r

C

B

A

C

C

B

A

olar.

f

r

r

r

hallar

ına baxılır. Koordinant metodunu məsəllələr həllinə tətbiq edək.

Məsələ1.

(

)

e

e

e

O

–d

)

(

1

z

y

x

A

)

(

2

z

y

x

B

)

(

3

z

y

x

C

olarsa a

ğırlıq mərkəzinin koordinantlrını tapmalı. M-ağırlıq

mərkəzi isə

downloaded from KitabYurdu.org

(

)

(

)

(

)

y

y

y

x

x

x

y

x

z

y

x

M

OC

OB

OA

OM

(

)

z

z

z

z

olar.

Məsələ2. İsbat etməli ki, tetraedrin qarşı tillərini birləşdirən parçalar bir

nöqt

ədə kəsişir və yarı bölünürlər

OC

OB

OA

e

e

e

olarsa

)

(

(

C

B

A

O

orta nöqt

ələr

[ ]

)

(

(

MD

M

D

BC

D

olarsa

[ ]

OB

M

(

[ ]

[ ]

OC

M

E

E

AC

)

(

)

(

)

(

[ ]

-nin orta nöqt

ələr

)

4

(

)

(

)

(

M

F

F

Dem

əli,

(

)

(

) (

)

M

F

F

E

E

D

D

Məsələ3.

1

D

C

B

ABCDA

paralepiped verilir.

BD

A

ə

C

D

B

–nin

ağırlıq mərkəzləri M və N-dir. İsbat etməli ki,

[ ]

AC

N

M

AM=MN=NC -dir.

(

)

e

e

e

ə seçək ki,

AA

AD

AB

e

e

e

onda

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

N

M

D

C

B

A

D

C

B

A

)

(

=

NC

MN

AM

İsbat olunur.

downloaded from KitabYurdu.org

Yüklə 1,04 Mb.

Dostları ilə paylaş:

1 ... 6 7 8 9 10 11 12 13 14