Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

§1.Müst

əvinin oxşarlıq çevrilməsi.

p

p

®

:

f

 müst

əvi çevrilməsini götürək.

o

k

f

,

*

+

ΠR

k

 h

əqiqi ədəd olsun (müsbət həqiqi ədəd).

( )

( )

A¢

=

A

B¢

=

B

Î

AB

"

f

f

,

,

p

 olduqda

AB

×

=

B¢

A¢

k

və ya

(

)

(

)

B

A

×

=

B¢

A¢

,

,

r

k

r

olarsa

f

  çevrilm

əsi

k

  

əmsallı oxşarlıq çevrilməsi adlanır. Tərifindən

görünür ki,

1.

B

=

A

olduqda

(

)

,

,

,

o

k

o

r

=

AB

×

=

B¢

A¢

=

B

A

yəni

(

)

B¢

=

A¢

Þ

=

B¢

A¢

o

r

,

 olur.

2.

B

¹

A

olduqda

B¢

¹

A¢

Þ

=

AB

×

=

B¢

A¢

¹

AB

o

k

o

,

 olur, y

əni

k

 əmsallı oxşarlıq

həm inyektiv, həm də süryektiv, deməli biyektiv çevrilmədir.

3.

o

k

f

 olduqda

1

p

p k

o

 olarsa y

əni bu zaman fiqurun ölçüləri qısalır.

4. k=1 olduqda

AB

=

B¢

A¢

,y

əni bu zaman uyğun parçaların uzunluqları

dəyişmir, deməli hərəkət çevrilməsi k=1 əmsalı oxşarlıq çevrilməsidir.

5. k> 0 olduqda

AB

>

AB

×

=

B¢

A¢

k

olur, y

əni bu zaman uyğun parçaların

uzunluqlar

ı böyüyür.

 § 2 Homotetiya v

ə xassələri.Müstəvidə    M

0

 nöqt

əsi götürək və elə

p

p ®

:

h

,çevrilm

əsinə baxaq ki

R

M

M

h

M

M

M

M

h

Î

¹

¢

=

¹

"

=

l

l

,

0

,

)

(

,

,

)

(

0

0

həqiqi ədəd olduqda

1

0

M

M

=

l ×

M

M

0

 öd

ənərsə

h

 çevrilm

əsi

0

M

 m

ərkəzli hometetiya çevrilməsi

adlan

ır.

Bu zaman M

0

- homotetiya  m

ərkəzi , λ- homotetiya əmsalı, M və

M¢

hometetik uy

ğun cut nöqtələr adlanır.Göstərmək olar ki, homotetiya

ox

şarlıq çevrilməsinin xüsusi halıdır. Doğrudan da əgər

1

0

)

(

,

,

N

N

h

M

N

M

N

=

¹

¹

 olarsa, onda

N

M

N

M

0

1

0

l

=

,

M

M

M

M

h

0

)

(

*

=

¢

=

l

tərəf-tərəfə çıxsaq

N

M

N

M

×

=

l

1

1

 v

ə ya

MN

N

M

×

=

¢

¢

l

olar

l

>0, odur ki, h

ər bir λ  əmsalı homotetiyaya |λ| əmsalı oxşarlıq

çevrilm

əsi uyğun olur.λ=1 olduqda M

0

1

0

1

M

M

M

M

M

=

Þ

=

 y

əni λ=1 əmsalı

homotetiya müst

əvinin nöqtələrini tərpənməz saxlayır.

λ=-1 olduqda

M

M

M

M

0

1

0

=

, y

əni λ=-1 əmsalı homotetiya

0

M

 m

ərkəzli

simmetriya çevrilm

əsidir. λ≠1, λ≠-1 olduqda homotetiya iki nöqtə arasındakı

məsafəni dəyişir və hərəkətdən  fərqli oxşarlıq çevrilməsidir. Müstəvidə

(

)

2

1

1

, E

E

O

 reperind

ə O nöqtəsini homotetiya mərkəzi götürsək

( )

g

c,

, M

O

M

¹

nöqt

əsi

(

)

g

c

l

,

,

¢

¢

×

=

¢

M

OM

M

O

nöqt

əsinə çevrilər. Onda

downloaded from KitabYurdu.org

( )

(

)

g

c

g

c

¢

¢

=

¢

=

,

,

,

M

O

OM

 olarsa,

lg

g

lc

c

=

¢

=

¢

,

  O m

ərkəzli homotetiyanın

koordinatlarla ifad

əsi olar.

 İndi homotetiyanın xassələrini verək

1

.

1

0

¹

l

 əmsallı homotetiya  homotetiya mərkəzindən keçən düz xətti

özün

ə, homotetiya mərkəzindən keçməyən  düz xətti özünə paralel düz

xəttə çevirir.

Fəzz edək

0

:

=

+

+

C

By

Ax

d

 düz x

ətti

h

 homotetiya il

ə çevrilir. Onda

tənlikdə

l

l

y

y

x

x

¢

=

¢

=

,

 qiym

ətlərini yerinə yassaq

o

l

=

+

¢

B

+

¢

A

C

y

x

 alar

ıq.

Əgər

o

=

Þ

Î

O

C

d

 v

ə

( )

o

o

¹

Þ

Î

O

¢

=

=

¢

B

+

¢

A

¢

C

d

d

d

y

x

d

,

:

 v

ə

d

d //

¢

olar.

.

2

0

Hometetiya bir düz x

əttin üç nöqtəsinin sadə nisbətini dəyişmir.

(

) (

) ( )

(

)

(

)

l

m

=

B

A

B

A

AB

¢

Î

¢

B¢

A¢

Î

B

A

C

y

x

C

y

x

y

x

C

d

C

d

C

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

,

2

1

1

olarsa,

(

) (

)

(

)

(

)

C

C

C

h

C

y

y

y

x

x

x

B¢

¢

A¢

=

¢

B

A

=

¢

B¢

A¢

B

A

+

+

=

+

+

=

,

,

,

,

,

,

,

1

,

1

2

1

2

1

m

m

l

l

l

l

olsun.

C

C

C

C

B

×

=

¢

B¢

AB

×

=

B¢

A¢

¢

B¢

×

=

B¢

A¢

B

×

=

AB

l

l

m

m

,

,

(

) (

)

B¢

¢

A¢

=

B

A

¢

=

Þ

,

,

C

C

m

m

1

d

A¢

B¢

C¢

D

A

B

C

downloaded from KitabYurdu.org

.

3

0

 Homotetiya  buca

ğı özünə bərabər bucağa çevirir.

C

h

C

¢

B¢

A¢

Ð

AB

Ð

(

)

( ) (

)

( )

[

]

C

C

C

C

B

¢

B¢

AB

B¢

A¢

Þ

B

×

=

¢

B¢

AB

×

=

B¢

A¢

//

,

//

)

,

(

l

l

,

yəni bucağın tərəfləri cüt-cüt paraleldirlər, yəni

C

C

¢

B¢

A¢

Ð

=

AB

Ð

A¢

                                                                                                               A

O                                                  B

B¢

C

C¢

.

4

0

Hometetiya müst

əvinin oriyentasiyasını saxlayır.

(

)

C

R

,

,

B

A

=

ixtiyar

ı

reperdir.

(

) (

)

C

C

C

C

h

R

R

h

¢

A¢

×

=

A

B¢

A¢

×

=

AB

¢

B¢

A¢

®

B

A

¢

®

=

l

l

o

l

,

,

,

,

,

:

,

:

,

 R-

dən

-

¢

R

ə keçid

o

l

l

o

o

l

>

=

2

determinant

ı ilə aparılır.

o

l

>

2

R

R

¢

w

olar.

§3. Ox

şarlıq çevrilməsinin ayrılışı. 

Ox

şarlıq  çevrilməsinin  iki

çevrilm

ənin, yəni homotetiya ilə hərəkətin hasilinə ayırmaq olduğunu

göst

ərək.

Teorem: p çevrilm

əsi k əmsallı oxşarlıq, h isə k əmsallı

0

M

   m

ərkəzli

homotetiya olduqda el

ə yeganə g hərəkət çevrilməsi var ki, oxşarlıq

çevrilm

əsi homotetiya ilə hərəkətin hasilinə bərabər olur: p=hg.

İsbatı: p çevrilməsi k əmsallı oxşarlıq olduğundan

N

M ,

"

        nöqt

ələri

üçün

( )

( )

MN

×

=

N¢

¢

¢

=

¢

=

k

M

N

N

p

M

M

p

,

,

 olar.

h çevrilm

əsi k əmsallı    mərkəzli homotetiyadır, onda

k

h

1

,

1

-

 əmsallı

homotetiya olar, y

əni

( )

( )

N ¢¢

=

N¢

¢

M ¢¢

=

M¢

-

h

h

,

1

onda

N ¢¢

M ¢¢

×

=

MN

k

 olar.

Müqayis

ə etsək

N ¢¢

M ¢¢

=

MN

alar

ıq. Bu isə o deməkdir ki,

( )

( )

N ¢¢

=

N

M ¢¢

=

M

g

g

,

hərəkət çevrilməsidir. Beləliklə, alarıq

( )

( )

(

)

( )

(

)

N

N

p

h

M

h

M

M

p

¢¢

=

Þ

¢¢

=

M¢

¢

=

-

-

1

1

,

 v

ə

g

p

h

N

M

MN

=

¢¢

¢¢

=

-1

.

və ya

.

hg

p

=

Teorem isbat olundu.

Göst

ərmək olar ki,  p=hg –ni ödəyən g hərəkət çevrilməsi yeganədir.

Əgər p=hg olardısa

p

h

g

g

1

1

-

=

=

 olard

ı.

  §4. Ox

şarlıq çevrilməsinin koordinatlarla ifadəsi.  Yuxarıda gördük

ki, homotetiya h

ərəkət çevrilməsinin bütün xassələrini ödəyir. İndi isbat

etdik ki, ox

şarlıq hərəkətlə homotetiyanın hasilinə bərabərdir.

Dem

əli, oxşarlıq çevrilməsi

-düz x

ətti düz xəttə çevirir,

-paralel düz x

ətləri paralel düz xətlərə çevirir,

-yar

ımmüstəvini yarımmüstəviye çevirir,

-düz x

ətt üzərindəki üç nöqtənin sadə nisbətini dəyişmir,

downloaded from KitabYurdu.org

-parçan

ı parçaya çevirir,

-şüanı şüaya çevirir,

-buca

ğı özünə bərabər bucağa çevirir,

-perependikulyar düz x

ətləri perependikulyar düz xətlərə çevirir,

-müst

əvinin oriyentasiyasını ya saxlayır(əgər g 1-ci növ hərəkətdirsə)

ya da d

əyişir (g 2-ci növ hərəkət çevrilməsidirsə) 1-ci halda 1-ci növ

ox

şarlıq, 2-ci halda 2-ci növ oxşarlıq çevrilməsi adlanır.

İndi oxşarlıq çevrilməsinin koordinatlarla ifadəsini yazaq:

(

)

j

i

r

r

,

,

O

koordinat sistemini götür

ək. H-homotetiyası

0

>

k

  

əmsallı, O-mərkəzli

olarsa

( )

( )

(

)

y

x

y

x

h

~

,

~

~

,

,

,

~

M

M

M

=

M

  olsun. Onda

ky

y

kx

x

=

=

~

,

~

 olar. g h

ərəkət

çevrilm

əsi

( )

(

)

y

x

g

¢

¢

M¢

M¢

=

M

=

,

,

~

  olduqda

î

í

ì

+

+

=

¢

+

-

=

¢

0

0

cos

~

sin

~

sin

~

cos

~

y

y

x

y

x

y

x

x

j

e

j

j

e

j

onda

(

)

(

)

0

0

cos

sin

sin

cos

y

y

x

k

y

x

y

x

k

x

+

+

=

¢

+

-

=

¢

j

h

j

j

e

j

 alar

ıq.

1

+

=

e

 olduqda p-1-ci növ,

1

-

=

e

olduqda p-

2-ci növ ox

şarlıq çevrilməsi olar.

Teorem:

  İsbat etmək olar ki, hər bir fərqli hərəkətdən oxşarlıq

çevrilm

əsinin bir tərpənməz nöqtəsi vardır.

İsbatı:

(

)

(

)

î

í

ì

+

-

+

+

-

-

0

0

1

cos

sin

sin

1

cos

y

y

x

x

y

x

j

ek

j

k

j

ek

j

k

  sisteminin determinant

ı

1

=

e

olarsa

(

)

1

,

cos

cos

2

2

-

=

+

-

=

e

j

j

k

d

 olarsa

1

,

1

2

¹

-

=

k

k

d

 onda

.

0

¹

d

Teorem isbat olunur.

Nəticə: Birdən çox tərpənməz nöqtəsi olan və ya heç tərpənməz

nöqt

əsi olmayan oxşarlıq çevrilməsi hərəkət çevrilməsidir. Bu

teoremd

ən istifadə edərək oxşarlıq çevrilməsini təsnif etmək olar.

1-ci növ ox

şarlıq çevrilmələri:

           1.Homotetiya

            2.M

ərkəzi oxşar dönmələr

            3.Paralel köçürm

ə

2-ci növ ox

şarlıq çevrilmələri:

1.  Ox simmetriyas

ı

2. M

ərkəzi-oxşar simmetriya

3.  Sürü

şməli simmetriya.

§5. Müst

əvinin oxşarlıq çevrilmələri qrupu.

Fərz edək

{

}

,...

,

,...,

,

2

1

2

1

p

p

f

f

=

R

  ox

şarlıq çevrilmələri çoxluğudur. Əvvəlcə

göst

ərək ki,  P-də əməl təyin edilib.

R

Î

2

1

, f

f

  Iki ox

şarlıq çevrilməsidir.

1

1

k

-

f

əmsallı

2

2

1

,

0

k

k

-

>

f

əmsallıdır

( )

( )

( )

( )

f

f

f

M

f

.

,

,

.

,

,

2

2

2

1

1

1

N¢

M¢

=

=

N ¢¢

M ¢¢

N ¢¢

=

N¢

M ¢¢

=

M¢

N¢

M¢

×

=

N¢

M¢

N¢

=

N

¢

=

M

k

k

downloaded from KitabYurdu.org

( )

(

)

( )

(

)

N ¢¢

=

N

M ¢¢

=

M

1

2

1

2

,

f

f

f

f

.

(

)

MN

=

N¢

M¢

×

=

N ¢¢

M ¢¢

MN

×

=

N¢

M¢

1

2

2

1

,

k

k

k

k

,

(

)

,

2

1

MN

×

=

N ¢¢

M ¢¢

k

k

0

1

2

>

×

k

k

.

Dem

əli,

1

2

f

f

×

-ox

şarlıq çevrilməsidir.

R

Î

×

1

2

k

k

 y

əni,  P-də cəbri əməl

təyin olunub.

k

p

P

p

-

Π,

  

əmsallıdırsa

0

1

,

0

>

>

k

k

,

k

1

  

əmsallı  oxşarlıq p-nin

1

-

p

tərsi olan oxşarlıq çevrilməsidir, yəni

0

P

p

Î

   olduqda

1

,

1

=

Î

-

k

P

p

olduqda

1

0

-

p

     

əmsallı oxşarlıq olur, yəni

P

p

Î

0

.  Dem

əli, P çoxluğu qrup

əmələ gətirir. Bu qrupa oxşarlıq çevrilmələri qrupu deyilir.

Ox

şarlıq çevrilməsi bucağı özünə bərabər bucağa çevirir, bucaq

ölçüsü ox

şarlıq çevrilmələri qrupunun əsas invariyantlarıdır. Oxşarlıq

çevrilm

ələri qrupunun alt qruplarına baxaq.