Матрис вя онлар цзяриндя ямялляр

Mühazirə 9. Determinantın minor və cəbri tamamlayıcıları. Minor və onun cəbri tamamlayıcısının hasili haq­­qında teo­rem


1. Minor və cəbri tamamlayıcı. Tutaq ki, -tərtibli determinantı verilmişdir:
.
Tutaq ki, natural ədədi şərtini ödəyir. determinantında sayda ixtiyari sətir və sayda ixtiyari sütunu götürək. Bu sətir və sütunların kəsişməsində yerləşən elementlər, aydındır ki, -tərtibli matris əmələ gətirir. Bu matrisin determinantına determinantının -tərtibli minoru deyilir. Belə də demək olar ki, -tərtibli minor determinantında sayda sətir və sayda sütunu pozmaqla alınır. Aydındır ki, bir tərtibli minorlar determinantın ayrı-ayrı elementləridirlər.
-tərtibli determinantında -tərtibli minoruna baxaq. Bu minorun elementlərinin olduğu sətir və sütunları pozsaq, onda - tərtibli minoru alınar. minoruna minorunun tamamlayıcı minoru deyilir. Əgər verilən -tərtibli determinantda minorunun elementlərinin olduğu sətir və sütunları pozsaq onda minoru qalar. Ona görə də və minorları determinantında qarşılıqlı tamamlayıcı minorlar cütüdür. Xüsusi halda, elementi və -ci sətirlə -ci sütunun silinməsindən alınan - tərtibli minor qarşılıqlı tamamlayıcı minorlar cütüdür.
Əgər -tərtibli minoru nömrəli sətirlərdə və nömrəli sütunlarda yerləşərsə, onda minorunun cəbri
tamamlayıcısı tamamlayıcı minorunun -ə vurulmasından alınan ədədə deyilir. Burada
. (1)
Teorem 1. determinantında -tərtibli istənilən mino­ru­nun onun cəbri tamamlayıcısı ilə hasili hədləri determi­nantının hər han­sı bir həddi olan cəbri cəmdən ibarətdir, özü də bu cəmin həd­lərinin işarəsi determinantında olan uyğun həddin işarəsi ilə eynidir.
İsbatı. Əvvəl hesab edək ki, minoru determinantının sol yuxarı küncündə yerləşir, yəni
:

Onda aydındır ki, tamamlayıcı minoru sağ aşağı küncdə yerləşir. minorunun aşağıdakı istənilən bir həddini götürək:
. (2)
Bu həddin minorunda işarəsi olar, harada ki, ədədi
(3)
əvəzləməsində inverslərin sayıdır. Tutaq ki,
(4)
minorunun ixtiyari bir həddidir. Əgər ədədi
(5)
əvəzləməsində inverslərin sayıdırsa, onda (4) həddi əlavə minorunda işarəsinə malik olar.
(2) və (4) hədlərini bir-birinə vursaq, onda vuruqları determinantının müxtəlif sətir və sütunlarında yerləşən
(6)
həddini alarıq. Beləliklə, (6) həddi determinantının həddidir. Bu həddin -də işarəsi (2) və (4) hədlərinin işarələrinin hasilinə bərabərdir, yəni . Belə bir işarəyə (6) həddi həm də determinantında da malikdir. Doğrudan da, (6) həddinin indekslərindən düzəldilmiş

əvəzləməsinin aşağı sətri sayda inversdən ibarətdir, belə ki, -lərdən heç biri -lərin heç biri ilə invers əmələ gətirmir, çünki
.
Beləliklə, xüsusi halda, yəni minorunun determinantında sol yuxarı küncdə olduğu halda teoremi isbat etdik.
İndi isə ümumi halda teoremi isbat edək. Fərz edək ki, minoru sətirlərində və sütunlarında yerləşir və həm də , . determinantında sətirlərin yerlərini və sütunların yerlərini dəyişməklə minorunu sol yuxarı küncə gətirək. Bu zaman elə edək ki, tamamlayıcı minor dəyişməsin. Bundan ötrü -ci sətri -ci sətirlə, sonra isə -ci sətirlə və s. yerlərini dəyişək. Bu prosesi -ci sətir birinci sətrin yerini tutanadək davam etdiririk. Bundan ötrü dəfə sətirlərin yerləri dəyişdirilir. Sonra isə sətrinin yerini ondan əvvəldə olan sətirlərlə ardıcıl olaraq dəyişirik. Nəticədə sətri sətrindən sonra gəlir. Be­lə dəyişmələrin sayı olar. Analoji olaraq sətirlərinin yerlərini ardıcıl olaraq onlardan əvvəldə yerləşən sətirlərlə dəyişirik. Belə dəyişmələrə sayda yerdəyişmə lazım gəlir. Beləliklə, bütün sətirlərinin yerlərinin dəyişməsi və onla­rın uyğun olaraq birinci, ikinci, -cı sətrin yerində olması üçün

sayda yerdəyişmə (transpozisiya) lazımdır.
minoru artıq birinci, ikinci -cı sətirlərdə yerləşir. Onun həm də birinci, ikinci -cı sütunlarda yerləşməsi üçün analoji olaraq sütunlarının ardıcıl olaraq özlərindən əvvəlki sütunlarla yerlərini dəyişək. Belə sütun transpozisiyalırının
sayı da sətirlərə analoji olaraq

ədədinə bərabərdir. determinantında sətirlərini birinci, ikinci -cı sətirlərin yerinə, sütunlarını birinci, ikinci -cı sütunların yerinə gətirməklə yeni bir determinantı alırıq. Belə çevrilmədə minoru dəyişməz qalır və transpozisiyaların ümumi sayı

qiymətinə bərabərdir. Determinantlarda hər bir transpozisiya determinantın işarəsini dəyişdiyindən -in hədləri -nin uyğun hədlərindən ancaq işarəsi ilə fərqlənir. Belə ki, cüt olduğundan o hədlərin işarəsinə təsir etmir. Buradan alınır ki, hasili determinantının müəyyən bir sayda hədlərindən ibarət olur və bu hədlərin işarəsi də determinantında malik olduqları işarə ilə üst-üstə düşür. 
və qarşılıqlı tamamlayıcı minorlar olduğundan və eyni bir cütlüyə malikdirlər və .