Матрис вя онлар цзяриндя ямялляр

Lemma 1. determinantında hər hansı bir sütunun bütün elementlərinin başqa bir sütunun uyğun elementinin cəbri tamamlayıcısına hasilinin cəmi sıfıra bərabərdir.
İsbatı. determinantını hər hansı bir -ci sütunu üzrə ayıraq:
.
Bu ayrılışda -ci sütunun elementləri əvəzinə hər hansı -ci sütunun elementlərini yazaq:
. (10)
Aydındır ki, (10) ayrılışı aşağıdakı determinantın -ci sütun üzrə ayrılışıdır:



.


determinantında iki sütun – -ci və -ci sütun eyni olduğundan determinantın xassəsinə görə olar. Bu isə o deməkdir ki, . ž
Lemma 1-dən asanlıqla isbat oluna bilən aşağıdakı nəticə alınır
Nəticə 1. determinantında hər hansı bir sətrin bütün ele­mentlərinin başqa bir sətrin uyğun elementinin cəbri tamamlayıcısına hasilinin cəmi sıfıra bərabərdir.
2. Laplas teoremi. Laplas teoremi -tərtibli determinantı bir neçə sətir və ya sütun üzrə ayırmaq haqqındadır. Belə ayrılış -tərtibli determinantın sətir və ya sütun elementləri üzrə ayrılışının ümumiləşməsidir. Laplas teoremi aşağıdakı kimi şərh olunur:
Teorem 3. Tutaq ki, -tərtibli determinantında ixtiyari olaraq sayda sətir (və ya sayda sütun), götürül­müşdür. Onda bu sətirlərdə (sütunlarda) mümkün olan bütün -tərtib minorların onların uyğun cəbri tamamlayıcılarına hasilinin cəmi determinantına bərabərdir.
1-ci isbatı. Tutaq ki, determinantında nömrəli sə­tirlər götürülmüşdür. Məlum olduğu kimi bu sətirlərdə yerləşən istənilən -tərtib minorunun onun cəbri tamamlayıcısına hasilinin hədləri determinantının hədləridir və bu hədlər həm də adı çəkilən hasildə və həm də determinantda eyni bir işarəyə malikdirlər. Göstərək ki, minoru sətirlərində mümkün olan bütün minorlar arasında gəzdikdə onun cəbri tamamlayıcısına hasilindən alınan hədlər determinantının bütün hədlərini verir və determinantının istənilən bir həddi iki dəfə rast gəlinmir.
Tutaq ki,
(9)
determinantının ixtiyari bir həddidir. Bu həddin sətirlərinə aid olan elementlərinin ayrılıqda hasilinə baxaq. Bu hasil
(10)
hasilidir. Bu hasilin vuruqları sayda müxtəlif sütunlarda yerləşir və həm də bu sütunların nömrələri -dır. Sütunların bu nömrələri (9) həddinin verilməsi ilə uyğun olaraq təyin olunur. Əgər bu sütunları ilə sətirlərinin kəsişməsində yerləşən elementlərin -tərtibli minorunu ilə işarə etsək, onda (10) hasili minorunun hədlərindən biri olacaq, (9) həddinin (10) hasilinə daxil olmayan elementlərinin hasili isə minorunun tamamlayıcı minorunun həddi olacaq. Beləliklə, determinantın hər bir həddi verilən sətirlərində yerləşən tamamilə müəyyən bir minorun həddi ilə onun tamamlayıcısının həddinin hasilinə bərabər olur. Determinantın baxılan həddinin işarəsi isə uyğun minorla onun cəbri tamamlayıcısının hasilində uyğun həddin işarəsi ilə üst-üstə düşür.
2-ci isbatı. Baxılan sətirlərdə yerləşən - tərtibli minorun onun
cəbri tamamlayıcısına hasili sayda həddə malikdir, belə ki, – tərtibli minor , – tərtibli cəbri tamamlayıcı isə sayda həddən ibarətdir. Digər tərəfdən, baxılan sətirlə-rində mümkün olan minorların sayı

qədərdir. Bu sayı minorla onun cəbri tamamlayıcısının hasilindən alınan hədlərin sayına vursaq alarıq. Bu ədədi isə -tərtibli determinantların hədlərinin sayıdır. 

Laplas teoremi -tərtibli determinantların hesablanmasını və - tərtibli bir neçə determinantların hesablanmasına gətirir. və -tərtibli determinantların sayı həddən çox ola bilər. Ona görə də Laplas teoremindən o halda istifadə etmək səmərəlidir ki, sətir və sütun elə seçilsin ki, -tərtibli minorların çoxu sıfıra bərabər olsun.

Misal 1. Aşağıdakı -tərtibli determinanta baxaq:
.
Bu o deməkdir ki, birinci sətir və sonuncu sütunun kəsişməsində yerləşən elementlər sıfıra bərabərdir.
Laplas teoremindən istifadə etməklə asanlıqla isbat etmək olar ki,
.
determinantını Laplas teoremi əsasında hesablayın