Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış


§1.Müst əvinin oxşarlıq çevrilməsi



Yüklə 1,04 Mb.
Pdf görüntüsü
səhifə4/14
tarix06.06.2020
ölçüsü1,04 Mb.
#31792
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
[kitabyurdu.org] Analitit hendese (G.Salmanova)

§1.Müst

əvinin oxşarlıq çevrilməsi.

p

p



®

:

f

 müst

əvi çevrilməsini götürək.



o

k

f



,

*

+



ΠR

k

 h



əqiqi ədəd olsun (müsbət həqiqi ədəd).

( )


( )

=



A

=



B

Î

AB



"

f

f

,

,



p

 olduqda


AB

×

=



k



və ya

(

)



(

)

B



A

×

=



,



,

r

k



r

olarsa


f

  çevrilm

əsi

k

  



əmsallı oxşarlıq çevrilməsi adlanır. Tərifindən

görünür ki,

1.

B

=



A

olduqda


(

)

,



,

,

o



k

o

r



=

AB

×



=



=

B

A



yəni

(

)



=



Þ

=



o

r



,

 olur.


2.

B

¹



A

olduqda


¹



Þ

=

AB



×

=



¹

AB



o

k

o



,

 olur, y


əni

k

 əmsallı oxşarlıq



həm inyektiv, həm də süryektiv, deməli biyektiv çevrilmədir.

3.

o



k

f

 olduqda



1

p

p k



o

 olarsa y

əni bu zaman fiqurun ölçüləri qısalır.

4. k=1 olduqda

AB

=



,y

əni bu zaman uyğun parçaların uzunluqları



dəyişmir, deməli hərəkət çevrilməsi k=1 əmsalı oxşarlıq çevrilməsidir.

5. k> 0 olduqda

AB

>

AB



×

=



k

olur, y



əni bu zaman uyğun parçaların

uzunluqlar

ı böyüyür.

 § 2 Homotetiya v

ə xassələri.Müstəvidə    M

0

 nöqt



əsi götürək və elə

p

p ®



:

h

,çevrilm


əsinə baxaq ki

R

M

M

h

M

M

M

M

h

Î

¹



¢

=

¹



"

=

l



l

,

0



,

)

(



,

,

)



(

0

0



həqiqi ədəd olduqda

1

0



M

M

=

l ×



M

M

0

 öd



ənərsə

h

 çevrilm


əsi

0

M

 m

ərkəzli hometetiya çevrilməsi



adlan

ır.


Bu zaman M

0

- homotetiya  m



ərkəzi , λ- homotetiya əmsalı, M və

hometetik uy



ğun cut nöqtələr adlanır.Göstərmək olar ki, homotetiya

ox

şarlıq çevrilməsinin xüsusi halıdır. Doğrudan da əgər



1

0

)



(

,

,



N

N

h

M

N

M

N

=

¹



¹

 olarsa, onda



N

M

N

M

0

1



0

l

=



,

M

M

M

M

h

0

)



(

*

=



¢

=

l



tərəf-tərəfə çıxsaq

N

M

N

M

×

=



l

1

1



 v

ə ya


MN

N

M

×

=



¢

¢

l



olar

l

>0, odur ki, h



ər bir λ  əmsalı homotetiyaya |λ| əmsalı oxşarlıq

çevrilm


əsi uyğun olur.λ=1 olduqda M

0

1



0

1

M



M

M

M

M

=

Þ



=

 y

əni λ=1 əmsalı



homotetiya müst

əvinin nöqtələrini tərpənməz saxlayır.

λ=-1 olduqda

M

M

M

M

0

1



0

=

, y



əni λ=-1 əmsalı homotetiya

0

M

 m

ərkəzli


simmetriya çevrilm

əsidir. λ≠1, λ≠-1 olduqda homotetiya iki nöqtə arasındakı

məsafəni dəyişir və hərəkətdən  fərqli oxşarlıq çevrilməsidir. Müstəvidə

(

)



2

1

1



E

E

O

 reperind

ə O nöqtəsini homotetiya mərkəzi götürsək

( )


g

c,

M



O

M

¹

nöqt



əsi

(

)



g

c

l



,

,

¢



¢

×

=



¢

M

OM

M

O

nöqt


əsinə çevrilər. Onda

downloaded from KitabYurdu.org



( )

(

)



g

c

g



c

¢

¢



=

¢

=



,

,

,



M

O

OM

 olarsa,


lg

g

lc



c

=

¢



=

¢

,



  O m

ərkəzli homotetiyanın

koordinatlarla ifad

əsi olar.

 İndi homotetiyanın xassələrini verək

1

.



1

0

¹



l

 əmsallı homotetiya  homotetiya mərkəzindən keçən düz xətti

özün

ə, homotetiya mərkəzindən keçməyən  düz xətti özünə paralel düz



xəttə çevirir.

Fəzz edək

0

:

=



+

+

C



By

Ax

d

 düz x


ətti

h

 homotetiya il

ə çevrilir. Onda

tənlikdə


l

l

y



y

x

x

¢

=



¢

=

,



 qiym

ətlərini yerinə yassaq

o

l

=



+

¢

B



+

¢

A



C

y

x

 alar


ıq.

Əgər


o

=

Þ



Î

O

C



d

 v

ə



( )

o

o



¹

Þ

Î



O

¢

=



=

¢

B



+

¢

A



¢

C

d

d

d

y

x

d

,

:



 v

ə

d



//

¢

olar.



.

2

0



Hometetiya bir düz x

əttin üç nöqtəsinin sadə nisbətini dəyişmir.

(

) (


) ( )

(

)



(

)

l



m

=

B



A

B

A



AB

¢

Î



¢



Î

B

A



C

y

x

C

y

x

y

x

C

d

C

d

C

,

,



,

,

,



,

,

,



,

,

,



,

,

2



,

2

1



1

olarsa,


(

) (


)

(

)



(

)

C



C

C

h

C

y

y

y

x

x

x

¢



=

¢



B

A

=



¢



B

A

+



+

=

+



+

=

,



,

,

,



,

,

,



1

,

1



2

1

2



1

m

m



l

l

l



l

olsun.


C

C

C

C

B

×



=

¢



AB

×

=



¢



×

=



B



×

=

AB



l

l

m



m

,

,



(

) (


)

¢



=

B



A

¢

=



Þ

,

,



C

C

m

m



1

d

A¢

B¢

C¢

D

A



B

C

downloaded from KitabYurdu.org



.

3

0



 Homotetiya  buca

ğı özünə bərabər bucağa çevirir.



C

h

C

¢



Ð

AB



Ð

(

)



( ) (

)

( )



[

]

C



C

C

C

B

¢



AB



Þ

B



×

=

¢



AB

×



=



//

,

//



)

,

(



l

l

,



yəni bucağın tərəfləri cüt-cüt paraleldirlər, yəni

C

C

¢



Ð

=



AB

Ð



                                                                                                               A

O                                                  B

C

C¢



.

4

0



Hometetiya müst

əvinin oriyentasiyasını saxlayır.

(

)

C



R

,

,



B

A

=



ixtiyar

ı

reperdir.



(

) (


)

C

C

C

C

h

R

R

h

¢



×

=

A



×



=

AB

¢



®



B

A

¢



®

=

l



l

o

l



,

,

,



,

,

:



,

:

,



 R-

dən


-

¢

R

ə keçid

o

l



l

o

o



l

>

=



2

determinant

ı ilə aparılır.

o

l



>

2

R



R

¢

w



olar.

§3. Ox

şarlıq çevrilməsinin ayrılışı. 

Ox

şarlıq  çevrilməsinin  iki



çevrilm

ənin, yəni homotetiya ilə hərəkətin hasilinə ayırmaq olduğunu

göst

ərək.


Teorem: p çevrilm

əsi k əmsallı oxşarlıq, h isə k əmsallı

0

M

   m


ərkəzli

homotetiya olduqda el

ə yeganə g hərəkət çevrilməsi var ki, oxşarlıq

çevrilm


əsi homotetiya ilə hərəkətin hasilinə bərabər olur: p=hg.

İsbatı: p çevrilməsi k əmsallı oxşarlıq olduğundan



N

,

"

        nöqt



ələri

üçün


( )

( )


MN

×

=



¢

¢



=

¢

=



k

M

N

N

p

M

M

p

,

,



 olar.

h çevrilm

əsi k əmsallı    mərkəzli homotetiyadır, onda

k

h

1

,



1

-

 əmsallı



homotetiya olar, y

əni


( )

( )


N ¢¢

=



¢

M ¢¢


=

-



h

h

,

1



onda

N ¢¢


M ¢¢

×

=



MN

k

 olar.



Müqayis

ə etsək


N ¢¢

M ¢¢


=

MN

alar



ıq. Bu isə o deməkdir ki,

( )


( )

N ¢¢


=

N

M ¢¢



=

M

g



g

,

hərəkət çevrilməsidir. Beləliklə, alarıq



( )

( )


(

)

( )



(

)

N



N

p

h

M

h

M

M

p

¢¢

=



Þ

¢¢

=



¢

=



-

-

1



1

,

 v



ə

g

p

h

N

M

MN

=

¢¢



¢¢

=

-1



.

və ya


.

hg

p

=

Teorem isbat olundu.



Göst

ərmək olar ki,  p=hg –ni ödəyən g hərəkət çevrilməsi yeganədir.

Əgər p=hg olardısa

p

h

g

g

1

1



-

=

=



 olard

ı.

  §4. Ox



şarlıq çevrilməsinin koordinatlarla ifadəsi.  Yuxarıda gördük

ki, homotetiya h

ərəkət çevrilməsinin bütün xassələrini ödəyir. İndi isbat

etdik ki, ox

şarlıq hərəkətlə homotetiyanın hasilinə bərabərdir.

Dem


əli, oxşarlıq çevrilməsi

-düz x


ətti düz xəttə çevirir,

-paralel düz x

ətləri paralel düz xətlərə çevirir,

-yar


ımmüstəvini yarımmüstəviye çevirir,

-düz x


ətt üzərindəki üç nöqtənin sadə nisbətini dəyişmir,

downloaded from KitabYurdu.org



-parçan

ı parçaya çevirir,

-şüanı şüaya çevirir,

-buca


ğı özünə bərabər bucağa çevirir,

-perependikulyar düz x

ətləri perependikulyar düz xətlərə çevirir,

-müst


əvinin oriyentasiyasını ya saxlayır(əgər g 1-ci növ hərəkətdirsə)

ya da d


əyişir (g 2-ci növ hərəkət çevrilməsidirsə) 1-ci halda 1-ci növ

ox

şarlıq, 2-ci halda 2-ci növ oxşarlıq çevrilməsi adlanır.



İndi oxşarlıq çevrilməsinin koordinatlarla ifadəsini yazaq:

(

)



j

i

r

r



,

,

O



koordinat sistemini götür

ək. H-homotetiyası

0

>

k



  

əmsallı, O-mərkəzli

olarsa

( )


( )

(

)



y

x

y

x

h

~

,



~

~

,



,

,

~



M

M

M



=

M

  olsun. Onda



ky

y

kx

x

=

=



~

,

~



 olar. g h

ərəkət


çevrilm

əsi


( )

(

)



y

x

g

¢

¢



=



M

=

,



,

~

  olduqda



î

í

ì



+

+

=



¢

+

-



=

¢

0



0

cos


~

sin


~

sin


~

cos


~

y

y

x

y

x

y

x

x

j

e



j

j

e



j

onda


(

)

(



)

0

0



cos

sin


sin

cos


y

y

x

k

y

x

y

x

k

x

+

+



=

¢

+



-

=

¢



j

h

j



j

e

j



 alar

ıq.


1

+

=



e

 olduqda p-1-ci növ,

1

-

=



e

olduqda p-

2-ci növ ox

şarlıq çevrilməsi olar.



Teorem:

  İsbat etmək olar ki, hər bir fərqli hərəkətdən oxşarlıq

çevrilm

əsinin bir tərpənməz nöqtəsi vardır.



İsbatı:

(

)



(

)

î



í

ì

+



-

+

+



-

-

0



0

1

cos



sin

sin


1

cos


y

y

x

x

y

x

j

ek



j

k

j



ek

j

k



  sisteminin determinant

ı

1



=

e

olarsa



(

)

1



,

cos


cos

2

2



-

=

+



-

=

e



j

j

k



d

 olarsa


1

,

1



2

¹

-



=

k

k



d

 onda


.

0

¹



d

Teorem isbat olunur.

Nəticə: Birdən çox tərpənməz nöqtəsi olan və ya heç tərpənməz

nöqt


əsi olmayan oxşarlıq çevrilməsi hərəkət çevrilməsidir. Bu

teoremd


ən istifadə edərək oxşarlıq çevrilməsini təsnif etmək olar.

1-ci növ ox

şarlıq çevrilmələri:

           1.Homotetiya

            2.M

ərkəzi oxşar dönmələr

            3.Paralel köçürm

ə

2-ci növ ox



şarlıq çevrilmələri:

1.  Ox simmetriyas

ı

2. M


ərkəzi-oxşar simmetriya

3.  Sürü


şməli simmetriya.

§5. Müst

əvinin oxşarlıq çevrilmələri qrupu.

Fərz edək

{

}

,...



,

,...,


,

2

1



2

1

p



p

f

f

=

R



  ox

şarlıq çevrilmələri çoxluğudur. Əvvəlcə

göst

ərək ki,  P-də əməl təyin edilib.



R

Î

2



1

f



f

  Iki ox


şarlıq çevrilməsidir.

1

1



k

-

f

əmsallı

2

2



1

,

0



k

k

-



>

f

əmsallıdır

( )

( )


( )

( )


f

f

f

M

f

.

,



,

.

,



,

2

2



2

1

1



1



=

=

N ¢¢



M ¢¢

N ¢¢


=

M ¢¢



=



×

=





=

N

¢



=

M

k



k

downloaded from KitabYurdu.org



( )

(

)



( )

(

)



N ¢¢

=

N



M ¢¢

=

M



1

2

1



2

,

f



f

f

f

.

(



)

MN

=



×



=

N ¢¢


M ¢¢

MN

×



=



1

2

2



1

,

k



k

k

k

,

(



)

,

2



1

MN

×



=

N ¢¢


M ¢¢

k

k



0

1

2



>

×

k



k

.

Dem



əli,

1

2



f

f

×

-ox



şarlıq çevrilməsidir.

R

Î



×

1

2



k

k

 y



əni,  P-də cəbri əməl

təyin olunub.



k

p

P

p

-

Π,



  

əmsallıdırsa

0

1

,



0

>

>



k

k

,



k

1

  



əmsallı  oxşarlıq p-nin

1

-



p

tərsi olan oxşarlıq çevrilməsidir, yəni

0

P

p

Î

   olduqda



1

,

1



=

Î

-



k

P

p

olduqda


1

0

-



p

     


əmsallı oxşarlıq olur, yəni

P

p

Î

0



.  Dem

əli, P çoxluğu qrup

əmələ gətirir. Bu qrupa oxşarlıq çevrilmələri qrupu deyilir.

Ox

şarlıq çevrilməsi bucağı özünə bərabər bucağa çevirir, bucaq



ölçüsü ox

şarlıq çevrilmələri qrupunun əsas invariyantlarıdır. Oxşarlıq

çevrilm

ələri qrupunun alt qruplarına baxaq.




Yüklə 1,04 Mb.

Dostları ilə paylaş:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin