Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

İki vektorların  skalyar  hasili.

Tərif: İki vektor skalyar hasili  bu  vektorların  uzunluqları  ilə  onlar arasındakı

bucağın  kəsişmə  hasilinə  bərabərdir.

a

 və

b

 vektorlarının skalyar hasilini

(

)

: b

a

 və ya

b

a

×

 kimi işarə edir. Əgər

a

 və

b

 vektoru arasındakı bucaq

j

olarsa, onda

b

a

×

 =

f

cos

×

× b

a

 (2).

         

Bu tərifə ekvivalent olan   başqa   tərifdə   verə   bilərki bunun üçün

a

vektoru ilə  təyin olunmuş

b

 vektorunu ox üzərində proyeksiyası anlayışından

istifadə olunur.

b

vektorunun

a

 vektorunun üzərindəki proyeksiyasını

Pr

j

cos

b

b

a

=

        Bunu iki bərabərliyində nəzərə alsaq

b

a

b

a

a

Pr

=

×

   yaza  bilər.

Aydındır ki, burada

a

 və

b

 vektorunun sollarını  dəyişə  bilərki və  belə yaza

bilərik:

b

a

×

=

a

b

b

Pr

×

.

Tərif.

        

İki vektor skalyar  hasili  bu  vektordan 1-ci təyin  olunur uzunluğu  ilə

digər  vektorun  bu  vektor  üzərindəki  proyeksiyası  hasilə bərabərdir.

Teorem.

       İki  vektor ornoqonal olması üçün onların  skalyar  hasilinin  0-ra  bərabər

olması zəruri

v

 kafi şərtdir.

İsbatı.

 Zərurilik: Fərz edək ki;

a

 və

b

 vektoru ortoqonaldır. Göstərir ki, bu vektorun

skalyar  0-ra  bərabər

a

 və

b

 arasındakı bucağ

j

 ilə işarə edək, o zaman

a

 ^

b

=

j

2

D

=

cos

,

0

=

j

a

0

=

× b

Kafilik:  Tutaq  ki,

a

0

=

×b

    göstərək    ki,

b

a

^

 əvvəlcə trivial hala baxaq. Fərz

edeh ki,

a

 və

b

 vektorunun biri

0

 vektor. Bilirik ki,

0

vektorunun  istiqaməti

təyin olunmadığından  istənilən  ortoqonal ola bilər. İndi  fərz edək ki,

a

 və

b

vektoru 0-dan  fərqlidir.

.

0

,

0

¹

¹ b

a

a

 > 0,

b

 > 0.

downloaded from KitabYurdu.org

(2) bərabərliyinə baxsaq burdan alınır ki, bu şərtlər  daxilində cos

0

=

j

. Buda

b

a

^

Þ

=

2

p

j

 deməkdir:

Skalyar hasilin aşağıdakı xassəsi var:

1) Yerdəyişmə xassəsi:

a

b

b

a

×

=

×

2) İsbatı:

a

b

a

b

a

cos(

×

=

×

^

b

b

b

b

cos(

)

×

=

^

a

b

a

×

=

)

2)

a

 vektorunun

a

 ilə skalyar  hasili  uzunluğunun kvadratına bərabərdir.

əvəzinə skalyar kvadrat deyilir:

2

2

2

,

,

a

a

a

a

b

a

=

=

×

     

3)  Skalyar  hasildə  vektor  heç  olmasa  biri  sıfır  olduqda  sual  hasil  0-ra

bərabərdir.

     

4)   Skalyar  hasil  ədədi  vuruğa  nəzərən  qruplara  qanununa  malikdir.

)

,

(

)

,

b

a

b

a

l

l

=

6) Skalyar hasildə paylanma qanunu ödənilir.

)

,

(

)

,

(

)

,

(

c

b

c

a

c

b

a

+

=

+

Teorem:

Əgər

a

 və

b

 vektoru koordinatları ilə verilərsə, yəni

a

-nın koodinatları

a

)

,

,

(

)

,

(

2

2

2

1

1

1

z

y

x

b

x

y

x

 verilsə onda onların sual hasilinə uyğun koordinatın hasilləri

cəminə bərabərdir.

İsbatı:

a

 və

b

 vektorunun (

)

,

,

k

j

i

 bazisində ayrılışları aşağıdakı kimidir.

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

z

z

y

y

x

x

b

a

k

z

j

y

i

x

b

k

z

j

y

i

x

a

+

+

=

+

+

=

+

+

=

b

a

k

z

J

y

i

x

k

z

j

y

i

x

2

2

2

1

1

1

(

)

(

+

+

×

+

+

=

1

=

×i

i

0

=

×i

j

=

×i

k

0

0

=

× j

i

1

=

× j

j

=

× j

k

0            (3)

0

=

× k

i

0

=

× k

j

1

=

× k

k

  (3) bərabər nəzərə alsaq  onda

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

b

a

+

+

=

×

a

 və

b

 vektorunun arasındakı bucaq aşağıdakı  kimi hesab.

  (2) düsturuna  görə yazarıq

b

a

b

a

×

×

=

j

cos

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

cos

z

y

z

y

x

z

z

y

y

x

x

+

+

+

+

+

+

=

g

j

   (4)

(4) bərabər

a

 və

b

 vektorunun arasındakından  bucağın hesab  düsturu.

downloaded from KitabYurdu.org

    Müstəvidə affin və düz bucaqlı koordinat sistemi.Parçanın müəyyən

                      nisbətdə  bölünməsi.  Polyar  koordinat  sistemi.

Plan.

1) Müstəvidə affin koordinat sistemi nöqtənin  və vektorun  koordinatları.

2) Parçanın müəyyən nisbətdə bölünməsi:

3) Müstəvidə düzbucaqlı koordinat  sistemi və metrik məsələlər.

4) Polyar koordinat sistemi haqqında anlayış.

5) Polyar və dekart koordinat sistemi arasında əlaqə.

Üçü bir düz xətt üzərində  olmayan o

2

,

1

1

E

E

 nöqtələrini götürək

1

1

e

OE

=

2

2

e

OE

=

  işarə  edək.  Alınan  (  0

)

,

,

2

1

e

e

 sisteminə müstəvidə ümumi  affin

koordinatının    sistem  (reper)    deyilir  və  R    (  0

)

,

,

2

1

e

e

 işarə olunur. Burada O

koordinatı başlanğıcı,

1

e

 və

2

e

  isə bazis vektorları adlanır.  Reper verildikdə.

 Reper verildikdə müstəvidə vaxtyarı vektor fiqurun istiqaməti

müəyyənləşdirmək olur. Müstəvidən ixtiyari M nöqtəsini götürək

OM

vektoruna M nöqtəsinin  radiusu  vektoru  deyilir.

M M

2

//

E

O

x

1

// OE

MM

g

2

1

e

y

OM

e

x

OM

g

x

×

=

×

=

     (1)    Kollenearlıq şərti.

OM

x

g

MM

   paraleloqramında

g

x

OM

OM

OM

+

=

(1) ifadəsini nəzərə alsaq

2

1

l

y

e

x

OM

+

=

(2) bərabərliyindən  x və y  ədədlərinə M nöqtəsinin və ya

OM

 vektorlarının R

reperindəki koordinatları  deyilir və M ( x, y).

OM

 = (x,y) kimi  işarə olunur.  Burada x-ə absis y-ə  ordinat  deyilir.  x oxuna

absis oxu, y oxuna  isə  ordinat oxu deyilir .  Göstərmək olar ki, (2) ifadəsi iştirak

edən  x və y  ədədləri  yeganədir.

Fərz  edək  ki,

OM

 = x

2

1

e

y

e

+

2

1

1

1

l

y

e

x

OM

+

=

0

)

(

)

(

2

1

1

1

=

-

+

-

e

y

y

e

x

x

downloaded from KitabYurdu.org

x-x

0

1

=

      y-y

1

=0       x=x

1

          y=y

1

yəni verilmiş reperdə nöqtənin və vektorun  koordinatı yeganədir. Bu koordinantı

tapmaq üçün  nöqtədən oxlara paralellər çəkilərək  M

x

 və

y

M

  nöqtələri təyin

edilir.

Misal:  P (3:-2)

Qeyd edək ki, (2) bəbabər x və y ədədləri x

0

,

0

¹

¹ y

 olduqda nöqtə. 1-ci, 2-

ci, 3-cü, 4-cü  rüblərin birində olur.

X=0, y=0  M=0 olanda  nöqtə koordinatın başlanğıcı ilə üst-üstə olur.

X=0, y

¹

0  M

oy

Î

 olanda  nöqtə  ox  oxunun  üzərində  olur.

Fərz  edək  ki,  R  (  0:  e

)

2

A  (  x

)

;

2

1

x

  B  (x

2

2

; y

) nöqtələri  verilmişdir.

AB

vektorunun koordinatlarını  tapaq. Bilirih ki,

)

;

(

)

,

(

)

,

(

)

;

(

)

;

(

2

1

2

1

1

2

2

2

2

1

1

y

y

x

x

y

x

y

x

OA

OB

AB

bOAB

y

x

OB

y

x

OA

-

-

=

-

=

-

=

Þ

=

=

)

;

(

1

2

1

2

y

y

x

x

AB

-

-

=

 

Vektorunun koordinatı 2-cidən  başlayaraq  onun üç nöqtənin koordinatları

fərqinə bərabərdi.

Fərz edək ki, R reperində [MN] parçası  verilmişdir. Burada M

N

¹

K

[ ]

MN

Î

 K  nöqtəsi  götürək M (x

),

;

1

1

y

)

(xy

K

 olsun.

 

Verilənlərə  görə K  nöqtəsi MN parçasının

l

  nisbətində bölür. Tələb

edilir ki, M  və N-nin  koordinatları   verilir və

c

 ədədi  verildikdə K nöqtəsinin

koordinatlarını  tapın.

ON

OM

OM

,

,

  vektorunu  çəkək.

2

1

r

ON

r

OK

r

OM

=

=

=

ilə işarə edək. Burada

1

r

r

MK

-

=

r

r

KN

-

=

2

MK

 və

KN

 vektorunun

kollineardır. Onda

KN

MK

=

  yazmaq  olar.

r

r

r

r

-

=

-

2

1

(

),

r

r

r

r

l

l -

=

-

2

1

  (3)

2

1

)

1

(

r

r

r

l

l

+

=

+

downloaded from KitabYurdu.org

Burada 1+

0

¹

l

 əks halda əgər 1+

0

®=

 onda

1

-

®¹

onda

KN

MK

-

=

0

=

+ KN

MK

N

m

MN

=

Þ

= 0

 bu isə bizim şərtimizə ziddir.

(3) ifadəsi bölən  nöqtənin radius vektorlarını üç nöqtələrin radiusu  vektorları  ilə

riyazi ifadəsi. (3) ifadəsini  ordinatlarda yazsaq    x

x

x

x

+

®

+

=

1

2

1

    y=

®

+

®

+

1

2

1

y

y

  (4)

(4) düsturuna parçanın

®

 nisbətində bölən nöqtənin koordinatlarının

hesablanması düsturu deyilir. (4) düsturunda

1

®=

 olarsa,

KN

MK

=

 K nöqtəsi

MN parçasına orta nöqtəsi olur və orta nöqtənin  koordinatlarının  hesablanması

düsturu olar.

2

2

1

x

x

x

+

=

             y=

2

2

1

y

y

+

     (5)

 3.Ümumi affin koordinat sistemində

1

e

 və

2

e

  vektorun  ortoqonal və orta (vahid

uzunluqlu) vektorlar olarsa belə koordinat sistemə düzbucaqlı dekart  koordinat

sistemi deyilir.  R (o

)

,

1

j

i

 kimi işarə olunur. Burada  i+j

1

=

= j

i

Ordonormal noar sistemi  hesablama məsələlərini sadələr. Fərz edək ki.

Bizə iki A və B  nöqtələri verilmişdir. A ( x

)

;

1

1

y

  B  (x

)

;

2

2

y

  A  və  B    nöqtələri

arasındakı məsafəni tapaq.

AB

B

A

P

=

)

(

1

( ) (

) (

)

2

1

2

2

1

2

1

y

y

x

x

B

A

P

-

+

-

=

   (6)

(6) düsturu müstəvidə iki  nöqtə arasındakı məsafə düsturu deyilir.

 4.Müstəvi  üzərində müəyyən  məsələlərin  həllində dekart  koordinat sistemi ilə

yanaşı  polyar  koordinat sistemi adlanan sistemdən istifadə etmək əlverişli  olur.

Fərz edək ki,  müstəvi üzərində  hər hansı  bir  nöqtə qeyd olunub  və bu

nöqtədən

i

 vektoru ayrılmışdır.

i

 vektoru vahid vektordur.

1

=

i

.

O nöqtəsi  və

i

 vektorundan ibarət  cütlüyə müstəvi üzərində polyar koordinat

sistemi deyilir. (0,

i

)  və

oi

   kimi işarə olunur. O nöqtəsinə polyus  nöqtəsi, o

nöqtəsindən  keçən  və üzərində  müsbət  istiqamət

i

  vektoru  ilə təyin olunan

OP düz xəttinə  polyar ox deyilir. Fərz edək ki,  müstəvi  üzərində

OI

 polyar

koordinatları sistemi və M nöqtəsi  verilmişdir verilmişdir.

OM

 vektorunun

uzunluğunun M nöqtəsinin polyar  radiusu   və ya  1-ci polyar koordinatı deyilir

və r ilə işarə olunur. OM radius  vektorunun  OP polyar oxla əmələ gətirdiyi

j

downloaded from KitabYurdu.org

bucağına M nöqtəsinin  polyar bucağı və ya 2-ci polyar koordinatı deyilir. r,

j

cütlüyü  M nöqtəsinin  polyar  koordinatları  adlanır  və  M (r;

j

) kimi  işarə

olunur. Əgər M  nöqtəsi  polyar ox üzərində olarsa, onda onun  polyar bucağı 0-

ra bərabər olar. Xüsusi  halda M nöqtəsi  0 polyas  nöqtəsi ilə üst-üstə düşərsə,

onda bu  nöqtənin  polyası  radiusu  0-ra bərabər olur, polyar qeyri-müəyyən olur.

Qeyd edək ki,  hər bir  nöqtə  üçün polyar radius yeganə  şəkildə təyin olunur,

polyar bucağı isə çoxqiymətli  təyin olunur.

 5. Nöqtənin polyar  və dekart koordinatları  arasındakı  münasibətə  baxaq.

Fərz edək ki, müstəvi üzərində

Oi

 polyar koordinat  sistemi  verilmişdir. Bu

polyar  koordinat sisteminə  düzbucaqlı  dekart  koordinat sistemini  aşağıdakı

şəkildə  yerləşdirmək  elə edək ki,  düzbucaqlı  koordinat sisteminin  koordinat

başlanğıcı    O    polyar    nöqtəsi    ilə,    absis    oxu  isə    polyar    oxu  ilə    üst-üstə

düşsün.

Hər hansı M nöqtəsi  götürək M nöqtəsinin düzbucaqlı koordinat

sistemindəki  M (x;y) , polyar  koordinat sistemindəki  koordinatları  M  (r;

j

).

B O M M

x

 düzbucaqlı  üçbucağına  görə       x= r cos

j

  y= r sin

j

      (1)

(1) düsturlarına  görə M nöqtəsinin  polyar  koordinatları  məlum olarsa

onun  dekart koordinatlarını  təyin edə bilərik.

(1)  düsturlarından  aşağıdakını  almaq olar.   x

2

+y

2

=r

2

(cos

2

j

+sin

2

)

j

r=

2

2

y

x

+

           tg

j

 =

x

y

x

y

arctg

=

j

            (2)

(2) düsturlarına əsasən  alırıq ki,  nöqtənin  dekart  koordinatları məlum

olarsa onun polyar koordinatlarını almaq olar.

downloaded from KitabYurdu.org