Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

§3. 

İki tərtibli əyriləin təsnifi.

Əyrinin təsnifi nə deməkdir? Əyrini təsnif etmək üçün əvvəlcə

koordinat sistemini 

əlverişli qaydada seçməklə tənlik sadə şəklə gətirilir və

sonra onun tipi müy

ən edilir.  İndi

g

   

əyrisini  ümumi şəkildə verildikdə onu

sad

ə  şəklə gətirməyə çalışaq.

g

 

 

 

əyrisi

)

,

,

0

(

j

i

sistemind

ə

0

2

2

2

00

20

10

12

2

11

=

+

+

+

+

a

y

a

x

a

xy

a

x

a

kimi verilib.

)

,

,

0

(

j

i

 sistemini el

ə seçək ki,

yeni sistemd

ə

i ,

¢

dem

əli həm də

¢

j

 ba

ş istiqamətdə olsunlar. Yəni

sistemd

ə tənlik ştriklərlə yazılır.

j

 ba

ş istiqamət olduğundan yuxarıdakı

qo

şmalıq şərtindən

0

12

=

¢

a

al

ınır. Onda tənlik

0

2

2

)

(

)

(

00

20

10

22

2

11

=

+

¢

¢

+

¢

¢

+

¢

¢

+

¢

¢

a

y

a

x

a

y

a

x

a

 olar. Sonra

O¢

ba

şlanğıcı elə seçilir ki

koordinat ba

şlanğıcını

O¢

-ə //   köçürdükdə  tənlik sadələşir. Bu zaman

bel

ə hallar olar.

a)

əyri mərkəzlidir: onda // köçürməklə

)

,

,

0

(

¢

¢

¢

j

i

sistemind

ə  əyri

0

)

(

)

(

00

22

2

11

=

¢

+

¢

¢

+

¢

¢

a

y

a

x

a

       

şəklə  düşər.

0

22

11

¹

¢

×

¢

a

a

   

İki hal olar. 1)

1

0

2

2

00

=

¢

+

¢

Þ

¹

¢

B

y

A

x

a

¢

¢

-

=

¢

¢

-

=

22

00

11

00

,

a

a

B

a

a

A

     

Əmsalların müxtəlif qimətlərində

alar

ıq.

0

³

A

Fərz edək

1a)

-

B

A

0

,

0

f

f

  ellips,

1b)

-

B

A

0

,

0

p

f

hiperbola

1v)

-

B

A

0

,

0

p

p

 x

əyali ellips

2)

0

00

=

¢

a

olarsa t

ənlik

0

2

2

=

+

B

y

A

x

 olar. Hallar.

2a)

0

p

B

tənlik iki kəsişən düz

xətlə verilir.

B

b

A

a

b

y

a

x

b

y

a

x

-

=

=

=

-

+

,

0

)

)(

(

  2b)

0

f

B

 onda iki x

əyali   düz xətt

( )

0

,

0

O

yegan

ə həqiqi   nöqtə olur.

b

y

i

a

x

b

y

i

a

x

0

,

0

=

-

=

+

     

b) 

əyri  çox  mərkəzlidir.  Onda  O  nöqtəsini

O¢

 m

ərkəzlərin birinə

çöçür

ək.Onda

¢

¢

=

=

+

¢

22

00

2

,

0

a

a

c

c

y

kimi i

şarə olunub.

1)

0

p

c

   olarsa

2

a

c

-

=

 i

şarə etsək

0

)

)(

(

=

+

-

a

y

a

y

   iki //    düz x

ətt   alınır.

2)

0

f

c

  iki x

əyali   düz xətt    parçalanır.

3)c=0 Iki h

əqiqi üst-üstə düşən   düz xətt

 v) 

əyrinin mərkəzi yoxdur.

O¢

 Nöqt

əsini  baş diametrin

O¢

     nöqt

əsinə //

köçür

ək. Onda əyri yalnız bir   baş diametrə malik olar. Bu diametr

)

,

,

0

(

¢

¢ i

il

ə eyni olar.

¢

i

asimptotik istiqam

ət olduğundan

0

0

20

11

=

¢

=

¢

a

a

   olar çünki

downloaded from KitabYurdu.org

absis oxu   ba

ş diametrdir. Onda tənlik

)

,

,

0

(

¢

¢

¢

j

i

   sistemind

ə

0

2

00

10

2

22

=

+

¢

¢

+

¢

¢

a

x

a

y

a

    h

əm də

a

0

11

¹

¢

 olar.

0

=

¢

y

 olduqda

a

a

x

,

2

10

00

¢

¢

-

=

  v

ə

kəsişmə  nöqtəsi

a

a

)

0

,

2

(

10

00

¢

¢

-

olar.

O¢

 h

əmin nöqtəyə köçürsək tənlik

0

2

00

10

2

22

=

¢

¢

+

¢

¢

x

a

y

a

¢

¢

-

=

¢

=

¢

22

10

2

,

2

a

a

p

x

p

y

   

əyrinintipləri belə olar.

§4.

İki tərtibli əyri tənliyinin kanonik şəklə gətirilməsi.

Əyri tənliyinin   kanonik şəklə gətirilməsi aşağıdakı sxem üzrə aparılır.

1) 

Xarakteristik 

t

ənliyin 

kökl

əri

tap

ılır

(

)

0

0

2

12

22

11

2

22

12

12

11

=

-

+

-

Þ

=

-

-

a

a

a

a

a

a

a

l

l

l

l

2)

(

)

a

a

sin

,

cos

i

¢

(

)

a

a cos

,

sin

j

-

¢

a

a

a

2

1

sin

tg

tg

+

=

12

11

1

2

,

1

1

cos

a

a

tt

tg

-

=

+

=

l

a

a

a

     3) düsturundan istifad

ə edərək

a

a

a

a

cos

sin

,

sin

cos

20

10

20

20

10

10

¢

+

-

=

¢

+

=

¢

a

a

a

a

a

a

20

20

a

a

=

¢

     hesabnlan

ır.

4) Koordinat ba

şlanğıcı

O¢

-ə

köçürülür

0

2

2

00

20

10

2

2

12

1

=

¢

+

¢

¢

+

¢

¢

+

¢

+

a

y

a

x

a

y

x

l

l

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

¢

-

¢

-

O¢

2

20

1

10

,

l

l

a

a

 -y

ə // köçürülür.

5)

)

,

,

0

(

j

i

,

)

,

,

0

(

¢

¢

¢

j

i

  sisteml

əri qurulur və  əyrinin sonuncu  sistemdə

kqnonik t

ənliyi  və qrafiki qurulur.

Misal 1.

0

8

2

2

8

5

5

2

2

=

-

+

-

+

+

y

x

xy

y

x

  t

ənliyini sadələşdirməli.

Həlli:1) Xarakteristik tənliyini yazaq:

9

,

1

,

0

16

5

*

5

)

5

5

(

2

1

2

=

=

=

-

+

+

-

l

l

l

l

2)

¢

¢

j

i ,

koordinantlar

ını hesablayaq.

2

2

cos

2

2

sin

,

1

4

5

1

=

-

=

-

=

-

=

a

a

a

tg

0

45

=

a

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

¢

2

2

,

2

2

i

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

¢

2

2

,

2

2

j

3)

0

cos

sin

,

1

sin

cos

20

10

20

20

10

10

=

+

-

=

¢

-

=

+

=

¢

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

Tənlik

0

8

2

9

2

2

=

-

¢

-

¢

+

¢

x

y

x

  

şəklinə düşər.

4)

 oldu

ğundan mərkəzli əyridir.

O¢

(1,0) // köçürm

ə

düsturu

Y

y

X

x

=

¢

+

=

¢

,

1

odur ki,

1

1

9

0

9

9

2

2

2

2

=

+

Þ

=

-

+

y

x

y

x

downloaded from KitabYurdu.org

Misal 2

0

9

8

4

2

2

=

+

-

+

y

x

y

      t

ənliyini sadələşdirməli.

0

12

=

a

oldu

ğundan

¢

¢

j

i

  ba

ş istiqamətlərdilər.

î

í

ì

=

+

+

=

+

+

0

0

20

22

21

10

12

11

a

y

a

x

a

a

y

a

x

a

sisteminin

î

í

ì

=

-

-

×

=

-

×

+

×

0

4

2

0

0

4

0

0

y

x

y

x

həlli yoxdur.   Baş diametr

i

¢

il

ə

qo

şmadır. Onun tənliyi 2y-4=0  və ya  y=2 olduqda

x

,

4

1

-

=

)

2

,

4

1

(

-

parabolan

ın təpəsidir. O-nun köçürmə

düsturu

2

,

4

1

+

=

-

=

Y

y

X

x

       olar. N

əticədə

0

2

2

=

+ x

y

    alar

ıq.

Misal 3.

0

15

4

4

2

2

=

-

+

-

y

xy

x

1)

5

,

0

,

0

5

2

1

2

=

=

=

-

l

l

l

l

2)

5

1

cos

,

5

2

sin

,

2

0

2

4

=

=

=

-

=

a

a

a

tg

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

-

¢

÷÷

ø

ö

çç

è

æ¢

j

i

5

1

,

5

2

,

5

1

,

5

2

3)

0

0

sin

cos

20

20

10

10

=

¢

=

+

=

¢

a

a

a

a

a

a

)

,

,

0

(

¢

¢

¢

j

i

    Sistemind

ə  əyrinin

tənliyi

15

5

2

-

¢

y

      v

ə ya

0

3

,

0

3

0

3

2

=

+

¢

=

-

¢

=

-

¢

y

y

y

   

əgər əyri iki

düz x

əttə parçalanmışsa onu  sadəcə vuruqlarına ayırıb tənlikləri

yaz

ırlar.

Misal 4.

0

5

5

2

2

2

=

-

+

-

-

y

x

y

xy

x

l

 Bu t

ənliyi belə çevirək:

(

) (

)

(

) (

)

(

)(

)

Þ

=

-

+

+

Þ

=

+

+

-

+

+

Þ

=

+

+

-

+

+

0

5

2

0

5

2

5

2

0

5

2

5

2

2

2

y

x

y

x

y

x

y

y

x

x

y

y

y

x

xy

x

l

0

5

2

:

,

0

:

2

1

=

+

+

=

-

y

x

d

y

x

d

       

əyri iki düz xəttə parçalanır.

downloaded from KitabYurdu.org

Fəzada afin və düzbucaqlı koordinat sistemləri nöqtənin və vektorun

koordinantlar

ı. Parçanın bölünmə düsturları. İki nöqtə arasındakı

məsafə və metrik dusturlar.

Plan:

1. Fəzada afin  koordinat sistemı,nöqtənin və    vektorun

koordinantlar

ı.

2. Parçan

ın bölünmə düsturları.

3.Düzbucaql

ı koordinat sistemi və burada metrik məsələlər( məsafə,

skaliyar hasil v

ə vektorlar arasındakı bucaq).

1. Fəzada afin  koordinat sistemi.nöqtənin və    vektorun

koordinantlar

ı.

Fəzada koordinat sisteminə,mustəvidə öyrəndiyimiz koordinat sisteminə

analoji olaraq baxilir.Qeyd edək ki, fəzada  koordinat sistemi anlayişını

verərkən  3 ölçülü vektor fəzanin bəzi  elementlərindən istifadə  olunur.

Fərz edək ki,fəzada hər hansi O nöqtəsi qeyd olunub və e

1

,e

2

,e

3

 vektorlari

bu fəzanin 3 ölçülü vektorlar fəzasinin bazisidir. O nöqtəsi və e

1

,e

2

,e

3

vektorlarından ibarət olan 4-lüyə fəzada ümumi afin koordinat

sistemi v

ə ya afin reper deyilir. Bəzən, fəzada ümumi

 afin koordinat sistemi bir müst

əvi üzərində olmayan nizamlı

(

)

3

2

1

,

,

,

E

E

E

O

   kimi dörd nöqt

ənin vasitəsilə də verilir,belə ki,bu nöqtələrdən

heç bir üçü bir düz x

ətt üzərində yerləşmir.

=

R

(

)

3

2

1

,

,

,

E

E

E

O

.Dem

əli,

(

)

3

,

2

,

1

=

=

a

a

a

e

E

O

r

r

 olarsa yuxar

ıdakı sistem və

tərsinə alına bilər.Burada,  O nöqtəsi koordinant başlanğıcı,

3

2

1

,

,

e

e

e

vektorlar

ı bazis vektorları,

(

)

3

2

1

,

,

E

E

E

 nöqt

ələri isə bazis nöqtələri

adlanirlar.

1

e

 vektoru  istiqamətində olan OE

1

 oxu absis oxu və yaxud OX

oxu,

2

e

 vektoru istiqamətində olan OE

2

 oxu ordinat oxu va ya OY oxu,

3

e

vektoru istiqamətində olan OE

3

 oxu aplikat oxu və ya OZ oxu adlanır.

( )

( )

,

,

1

x

e

o

=

O

( )

( )

,

,

2

oy

e

=

O

( )

( )

oz

e

O

=

3

,

 -koordinat oxlar

ı adlanır.

(

)

( )

oxy

e

e

O

=

2

1

,

,

,

(

)

( )

oxz

e

e

O

=

3

1

,

,

,

(

)

( )

oyz

e

e

O

=

3

2

,

,

  müst

əviləri koordinant

müst

əviləri adlanır. Bu qayda ilə təyin olunan koordinat  sistemini   Oxyz və

ya R=

3

2

1

,

,

,

0

(

e

e

e

)  kimi i

şarə edirlər.

Fərz edək ki,fəzada

3

2

1

,

,

,

0

(

e

e

e

) afin koordinat   sistemi verilmi

şdir. Bu

sistemd

ə

M

"

  nöqt

əsi ğötürək.

-

OM

 vektoruna M nöqt

əsininin radius

vektoru deyilir.Bilirik  ki,

 e

1

,e

2

,e

3

 vektorlar

ı fəzanın bazis vektorlarıdır,deməli

)

,

,

,

(

3

2

1

e

e

e

OM

  vektorlar sistemi x

ətti asılıdır, odur ki, OM vektorunun bazis

vektorlar

ı üzrə ayırmaq mümkündür və bu ayrılış yeğanədir.

3

2

1

e

z

e

y

e

x

OM

+

+

=

  (1)

(1) ayr

ılışında iştirak edən . x, y, z  əmsallarına M nöqtəsinin koordinantları

deyilir v

ə  M(x,y,z)   kimi işarə olunur. Burada x,M nöqtəsininin 1-ci

downloaded from KitabYurdu.org

koordinatı və ya absisi;y, 2-ci koordinatı və ya ordinatı;z, 3-cü koordinatı və

ya aplikatı adlanır.Bu dediklərimizdən  aydin olur ki,fəzada nöqtənin

koordinatları nizamlanmiş x,y,z ədədlər üçlüyündən ibarətdir,yəni,fəzada

3

2

1

,

,

,

0

(

e

e

e

)   afin koordinant sistemi verildikd

ə

( )

3

E

  f

əzasının nöqtələtinə

qar

şı

3

R

R

R

R

=

´

´

       h

əqiqi ədədlərin dekart kubunun elementləri

aras

ında biektiv inikas yaranır, yəni,

R

R

R

E

f

´

´

®

3

:

  inikas

ı biektivdir,

f

1

-

-d

ə hər həqiqi nizamlı üçlüyə qarşı yeganə nöqtə müəyyənləşdirir. M(x,y,z)-

olarsa,

3

2

1

e

z

e

y

e

x

OM

+

+

=

olur.

( )

oxy

M

e

y

e

x

OM

z

Î

Þ

+

=

Þ

=

2

1

0

,

( )

oxz

M

e

z

e

x

M

O

y

Î

Þ

+

=

Þ

=

3

1

0

r

,

( )

oyz

e

z

e

y

OM

x

Î

M

Þ

+

+

=

Þ

=

3

2

0

( )

,

0

3

oz

e

z

OM

y

x

Î

M

Þ

=

Þ

=

=

( )

,

0

2

oy

e

y

OM

z

x

Î

M

Þ

=

Þ

=

=

( )

,

0

1

ox

e

x

OM

z

y

Î

M

Þ

=

Þ

=

=

(

)

0

,

0

,

0

,

0

0

M

=

M

Þ

O

=

Þ

=

=

=

OM

z

y

x

 olar.

.(1) ayr

ılışından istifadə edərək nöqtəni fəzada asanlıqla qurmaq olar.

        F

ərz  edək  ki,

3

2

1

,

,

,

0

(

e

e

e

 ) afin koordinat sistemind

ə koordinatları ilə

verilmi

ş M

0

(x

0

,y

0

,z

0

) nöqt

əsini qurmaq lazımdır.

Əvvəlcə  Ox oxu üzərində

1

0

e

x

OM

=

  

şərti ilə təyin

olunan M

1

 nöqt

əsini qeyd edirik.M

1

 nöqt

əsindən

2

0

2

1

e

y

M

M

=

  

şərti ilə təyin olunan M

2

 nöqt

əsini quraq.

Sonra

3

0

0

2

e

z

M

M

=

 şərti ilə təyin olunan M

0

 nöqt

əsini

quraq.Hökm edirik ki,M

0

 nöqt

əsi tələb edilən nöqtədir.Doğrudan da

asanl

ıqla ğörmək olar ki,

3

0

2

0

1

0

0

0

2

2

1

1

0

e

z

e

y

e

x

M

O

M

M

M

M

M

O

M

O

+

+

=

+

+

=

Bu o dem

əkdir ki,qurulan M

0

 nöqt

əsinin koordinatları (x

0

,y

0

,z

0

)-

dır.OM

1

M

2

M

0

 s

ınıq xətti M

0

 nöqt

əsi üçün koordinat sınıq xətti

adlan

ır.Nöqtələrin qurulmasında koordinat sınıq xəttindən istifadə etmək

əlverişlidir.

 Misal: A(3,4,2), B(-1,3,4), nöqt

ələrini

)

,

,

,

0

(

3

2

1

e

e

e

    sistemind

ə qurmalı.

 A-n

ı qurmaq üçün

3

2

2

2

1

1

1

2

,

4

,

3

e

A

A

e

A

A

e

A

O

=

=

=

  vektorlar

ını, yəni,

A

A

OA

2

1

 s

ınıq xəttini quraq. B-ni qurmaq üçün

3

2

2

2

1

1

1

4

,

3

,

e

B

B

e

B

B

e

B

O

=

=

-

=

vektorlar

ını,

yəni,

B

B

OB

2

1

  s

ınıq xəttini quraq,

      

İndi isə fəzada

3

2

1

,

,

,

0

(

e

e

e

) afin koordinat sistemind

ə verilən M(x

1

 ,y

1

 .z

1

 )

və N(x

2

 ,y

2

 ,z

2

 ) nöqt

ələrinin müəyyən etdiyi

MN

  vektorunun

koordinantlar

ını müəyyən edək.

e

z

e

y

e

x

OM

3

1

2

1

1

1

+

+

=

e

z

e

y

e

x

ON

3

2

2

2

1

2

+

+

=

OM

ON

ON

MO

MN

OMN

-

=

+

=

®

D

downloaded from KitabYurdu.org

e

z

e

y

e

x

e

z

e

y

e

x

MN

3

1

2

1

1

1

3

2

2

2

1

2

-

-

-

+

+

=

(

)

(

)

(

)

e

z

z

e

y

y

e

x

x

MN

3

1

2

2

1

2

1

1

2

-

+

-

+

-

=

     Y

əni,

(

)

1

2

1

2

1

2

,

,

z

z

y

y

x

x

N

M

-

-

-

=

          (2)  olar.

Deməli,uc nöqtələrinin koordinatları verilmiş vektorun koordinatları, uc

nöqtələrinin uygun koordinatları  fərqinə bərabərdir.

Misal:

)

0

,

5

,

1

(

),

4

,

2

,

3

(

Q

P

-

  olarsa,

(

)

)

4

,

7

,

2

(

4

0

,

2

5

,

3

1

-

-

=

-

+

-

=

-

=

PQ

OP

OQ

PQ