Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

Fəzada düz xətlə müstəvinin qarşılıqlı vəziyyəti, düz xətlər və müstəvilər bağlısı. Düz xətt

və müstəvi tənliklərinin məktəb həndəsə məsəllələrinə tətbiqi.

     Plan:1.F

əzada müstəvi ilə düz xəttin qarşılıqlı vəziiyyəti.

              2.F

əzada müstəvi ilə düz xətt arasındakı bucaq.

              3. F

əzada düz xətlər və müstəvilər bağlısı.

              4. Düz x

ətt və müstəvi tənliklərinin məktəb həndəsə məsəllələrinə tətbiqləri.

                  §1.F

əzada müstəvi ilə düz xəttin qarşılıqlı vəziiyyəti.

  F

əzada d=[

,

 ],

 (

(

) düz x

ətti və  müstəvisi  ümumi tənliyi

il

ə Ax+By+Cz+D=0 kimi verilib.Bunların qarşılıqlı vəziyyətini tənliklərinin ortaq həllinin

varl

ığı ilə araşdıraq d-nin tənliyini parametrik şəkildə x =

+

t , y=

 +

t ,  z =

 +

t

, kimi yazaq v

ə bunlari -nın tənliyində nəzərə alaq:

    A(

+

t)+ B(

 +

t)+C(

 +

t)+D=0,

+

 t-y

ə görə tənliyinin həllini araşdıraq:

     1)

+

  

≠ 0. Onda t=

 = -

 olur v

ə tənliyinin yeganə həlli

olur.

    Y

əni dΛ = {

   olur.

      Bu halda

 olarsa, düz x

ətt müstəvi ilə yeganə nöqtədə kəsişir.

    2)

+

     

ω =

  Onda t

ənlik t 0+ ω = 0,

ω=0 şəklinə tüşür və bu halda tənliyin həlli toxdur, yəni  dΛ = .

+

⇒

  dem

əli, bu halda düz xətt müstəviyə paralel olmaqla ortaq

nöqt

əyə malik deyil.

     3

+

  

ω=

  onda t

ənlik 0 t + 0 = 0 şəklinə

dü

şür və bu halda tənliyin sonsuz sayda həlli olur, yəni

 t

R t

ənliyi ödəyir, başqa sözlə

düz x

ətlə müstəvi sonsuz sayda nöqtədə kəsişirlər, və ya d  σ  olur.

  Bel

əliklə düz xətt və müstəvi üç növ qarşılıqlı vəziyətdə olurlar: bir nöqtədə

kəsişirlər, kəsişmirlər və paralel olurlar, üst-üstə düşürlər.

  Misal:x+3y-4z+1=0 müst

əvisi ilə

=

=

  düz x

ətdinin qarşılıqlı vəziyyətini

təyin  edin. X=3t, y=1+4t, z=2+t olduğundan

+

 =1 3 + 3 4 - 4

1≠ 0

oldu

ğundan d

 ={

}  nöqt

əsini tapaq: 3t+3+12t-8-4t+1=0, 11t=  ; t= 4

 (1

 ,2

 , 2

 olar.

                 §2. F

əzada müstəvi ilə düz xətt arasındakı bucaq.

Fəzada düz xətlə müstəvi kəsişdikdə onlar arasında bucaq əmələ gəlir. Həmin

buca

ğı təyin edək: Əgər, d ┴  olarsa, ( ^d)=

 olar. F

ərs edək d ilə

aras

ındakı bucaq düz bucaq deyildir.

·

  (

),

 ,

 (A,B,C)

Düzbucaql

ı kordinant sistemində

=(

^  ) olarsa,

downloaded from KitabYurdu.org

Əgər  üzerinde d-nin proyeksiyası

olarsa v

ə

=0 is

ə

=  –  v

ə ya

-   olar. Bu hallar

iti v

ə ya kor olması ilə alınır. Beləliklə, ya

 ya da

Düz x

ətlə müstəvi arasındakı bucaq d düz xəttilə onun σ üzərindəki

proyeksiyas

ı arasındakı iti bucağa deyilir. Bu bucaq

Düsturu il

ə hesaplanır. Əgər d┴σ olarsa,

λ  olar.

 olar, çünki

,

 al

ınar.

                      §3. F

əzada düz xətlər və müstəvilər bağlısı.

Fəzada əvvəlcə müstəvilər dəstəsinə baxaq.bir düz xətt üzərində kəsişən

müst

əvilər müstəvilər dəstəsi adlanır. Əgər

 olarsa, onda oxu d olan

dəstə

 il

ə işarə olunur.

x+

y+

z+

=0 (i=1,2)

.

          rang

=2    d

  olar.

(

,

) d olarsa

 oldu

ğundan

+

Olarsa

və

 Buradan

=0

D=-(

=

.    A (x-

B(y-

=0

    D

əstə tənliyidir.

λ, - cütü

 müst

əvisini verir.

Eyni müst

əviyə parelel olan müstəvilərə paralel müstəvilər dəstəsi deyilir, onun

tənliyi Ax+By+Cz+

 d

əyişdikcə dəstənin ayrı-ayrı müstəviləri alınır.

 İndi müstəvilər bağlısını izah edək.

nöqt

əsindən keçən müstəvilər çoxluğuna müstəvilər bağlısı deyilir və

Z(

 il

ə işarələnir. Z(

mərkəzinin verilməsi ilə müəyyən olunur.

D= [

,  ] düz x

ətdi verilərsə σ

,

,  ]  Z(

 olur v

ə s. R =

(0,

,

) reperind

ə Z(

(

 σ   Z(

) is

ə

 olar.

,

 =

 düz x

ətdi müəyyən

edir.

Hər bir

  Z(

).  Dem

əli,

 düz x

əttinin müəyyən etdiyi

müst

əvilər dəstəsi   Z(

)-a daxil olur.

R= (0,

,

) reperind

ə

Z(

) üçün

 öd

ənilir.

Tərəf-tərəfə çıxsaq A(x-

)+C (

 olar.

=

,

rang

 normal vektorlar

ı

is

ə

xətdi asılı deyil.

 olar.    El

əcə də

- da yerin

ə yazsaq və sonuncunu nəzərə

alsaq

downloaded from KitabYurdu.org

)+

   olar.

müxt

əlif qiymətli müstəvilər bağlısı alınır.

downloaded from KitabYurdu.org

 Фязада щярякят вя охшарлыг чеврилмяляри, типляри,айрылышы, груру

                         кординатларла ифадяси.

               План:  1. Фязада щярякят чеврилмяси вя мисаллар.

                         2. Щярякят чеврилмясинин яламяти.

                         3. Щярякят чеврилмясинин нювляри вя инвариантлары.

                         4. Щярякят чеврилмясинин тяснифи.

§1. Фязада щярякят чеврилмяси вя мисаллар.

Тяриф.  ф ·

p

p ®

  чеврилмяси  заманы

a

"

нюгтя  арасындакы  мясафя

дяйишмязся бу чеврилмя щярякят чеврилмяси адланыр.

А,Б € Е

3

,  ф(А) = А

'

, ф(Б) =Б

'

,  АБ = А

'

Б

'

 олдугда ф- щярякят чеврилмясидир.

Мисаллар эюстяряк.

1. ф

0

(М) = М ейнилик чеврилмясидир, онда М ≠ Н  ф(Н) = Н оларса, МН =

МН, йяни ф

0

- пярякятдир.

2.ф·

p

p ®

  заман  ф(М)=М

'

, ф(Н) =Н

'

  вя

MN

'

=

NN

'

=

R

  оларса, (

R

≠

O

верилмиш вектор)

R

вектору истигамятиндя паралел кючцрмя адланыр.  ММ

'

Н

'

Н

паралелограм олдуьундан

MN

=

N¢

M¢

олар, йяни

MN

=

N¢

M¢

 щярякятдир.

3.  О€Е

3

  вя    ф ·

p

p ®

    заманы  О≠  М→М

'

  вя

OM

=  -

M¢

O

оларса  О-йа

нязярян  симетрийа  чеврилмяси  адланыр. Онда  Н ≠  М  оларса,

ON

 =-

N¢

O

  вя

ΔОМН  вя ΔОМ

''

Н

'

-дян   М

'

Н = Н

'

адланар. Демяли О-йа  нязярян симетрийа

чеврилмяси щярякят чеврилмясидир.

4. О€Е

3

 мцстявисини эютцряк. Еля ф ׃

p

p ®

чеврилмясиня бахаг ки, ф(М)=

М

'

  олдугда (ММ

'

) перпендикулйар σ ρ(Мσ)=ρ(М

'

σ) юдянсин. Бу  чеврилмя σ

мцстявисиня  нязярян  симметрийа  чеврилмяси  адланыр. Эюстяряк  ки, бу

чеврилмя щярякятдир. Яэяр Н ≠ М оларса ф(Н) = Н

'

онда ММ

0

 = М

0

М

'

, НН

0

= Н

0

Н

'

, М

0

 Н

0

=МЛ= М

'

 Л

'

 олдуьу цчцн ΔМНЛ вя Δ М

'

Н

'

Л

'

-дян МН = М

'

Н

'

 алынар.

Буну башга йоллада исбат етмяк оларды. (0,и,ж,к) –ни еля сечяк ки, и (паралел) σ

,ж(паралел) σ олсун. Онда М(х,й,з) ися  М

'

 (х

1

,й

1

,з

'

1

), з

'

1

= -з

1

олар.  Н

'

 (х

2

,й

2

,-з

2

)

олар вя

МН =

2

1

2

2

1

2

2

1

2

)

(

)

(

)

(

Z

Z

y

y

+

-

+

-

+

-

c

c

=

2

1

2

2

1

2

2

1

2

)

(

)

(

)

(

Z

Z

y

y

+

-

+

-

+

-

c

c

Демяли, МН = М

''

Н

'

  алыныр, мцстявиййя  нязярян  симметрийа  щярякят

чеврилмясидир.

downloaded from KitabYurdu.org

Fəzada müstəvi tənlikləri.

Plan:

1.Müstəvinin müxtəlif tənlikləri.

2.Müstəvinin ümumi tənliyi və araşdırılması.

3.Vektorun müstəviyə paralellik şərti.

4.Nöqtədən müstəviyə qədər məsafə.

5.İki müstəvi arasında bucaq.

6.Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti.

1.Fəzada əsas həndəsi obyektlər dedikdə  nöqtə,düz  xətt,müstəvi,səth  və

fiqurlar başa düşülür.Müstəvi ilə tanış olaq.

Hələ Evklid müstəviyə belə bir tərif vermişdir.

T ə  r  i  f-Müstəvi elədir ki,onun yalnız  eni  və uzunluğu vardır    və ya

müstəvi,üzərindəki bütün düz xətlərə nəzərən eyni uzunluqdadır.

Müasir nöqteyi nəzərdən müstəviyə belə tərif verilir.

T ə  r  i  f-Müstəvi,bir nöqtəsi  və ikiölçülü alt vektor fəzası ilə  təyin olunan

fiqurdur.

Müstəvini

s

  ilə işarə edəcəyik.

Fərz edək ki,fəzada hər hansı bir müstəvi verilib.Bu müstəviyə paralel olan

vektorlar çoxluğunu

L

    ilə  işarə edək.Aşkardır ki,bu çoxluq komplanar

vektorlar çoxluğudur və bu çoxluq ikiölçülü  fəza  müəyyən edir.Bilirik ki,bu

ç

oxluğa daxil olan müəyyən nizamla götürülən kollinear olmayan istənilən

iki

a

r

    və

b

r

 vektorlar

ı

L

b

a

Î

r

v

,

  bu fəzanın bazisi olacaq.Ona görə bunu

)

,

(

b

a

L

r

r

  ilə işarə edək.

)

,

(

b

a

L

r

r

 alt fəzasına

s

 m

üstəvisinin istiqamətverici alt

fəzası deyilir.Fərz edək ki,istiqamətverici alt vektor fəzası

)

,

(

b

a

L

r

r

 olan

s

m

üstəvisi üzərində

s

Î

0

M

    n

öqtəsi qeyd olunub və

b

a

r

r

,

 vektorlar

ı

)

,

(

b

a

L

r

r

alt  fəzasının bazis vektorlarıdır.Bu vektorları

0

M

  n

öqtəsindən

ayıraq.

s

m

üstəvisi üzərində

s

Î

"M

  n

öqtəsi  götürək,onda

b

a

M

M

o

r

r

,

,

vektorlar

ı komplanar vektorlar adlanır.Onda elə

v

u,

ədədləri var ki,

b

v

a

u

M

M

r

r +

=

0

                         (1)

olur.Burada

v

u,

-parametrlərdir. İstiqamətverici alt vektor fəzası

)

,

(

b

a

L

r

r

 olan

və

0

M

    n

öqtəsindən keçən

s

    m

üstəvisi üzərində olan istənilən

s

Î

M

n

öqtəsi üçün  (1) münasibəti ödənilir.Aşkardır  ki,  bu  müstəvi üzərində

olmayan heç bir nöqtə (1) münasibətini ödəmir.(1) tənliyi

s

  m

üstəvisinin

vektor-parametrik tənliyi adlanır  və

[

]

b

a

M

o

r

r

,

,

=

s

   kimi i

şarə olunur.

Tutaq ki,fəzada hər hansı

3

2

1

,

,

,

e

e

e

O

r

r

r

  koordinat sistemi verilib.Bu

sistemdə

)

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

3

2

1

3

2

1

0

0

0

b

b

b

b

a

a

a

a

z

y

x

M

o

=

=

r

r

 olsun.

s

Î

"M

  n

öqtəsinin

koordinatlarını (x,y,z) kimi işarə edək.Onda yaza bilərik:

{

}

0

0

0

0

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

-

-

-

=

Həmçinin (1) münasibətini koordinatlarda yaza bilərik:

downloaded from KitabYurdu.org

ï

î

ï

í

ì

+

+

=

+

+

=

+

+

=

Þ

ï

î

ï

í

ì

+

=

-

+

=

-

+

=

-

0

3

3

0

2

2

0

1

1

3

3

0

2

2

0

1

1

0

z

vb

ua

z

y

vb

ua

y

x

vb

ua

x

vb

ua

z

z

vb

ua

y

y

vb

ua

x

x

                  (2)

Deməli aldıq ki,

[

]

b

a

M

o

r

r

,

,

=

s

 m

üstəvisi üzərində olan hər bir  M  nöqtəsinin

x,y,z  koordinatları    (2)    tənliyini ödəyir.(2) tənliyi müstəvinin parametrik

tənliyi adlanır.Burada,

v

u,

-parametrlər,

0

0

0

,

,

z

y

x

-m

üstəvi üzərində qeyd

olunmuş  nöqtənin koordinatları,

)

,

,

(

),

,

,

(

3

2

1

3

2

1

b

b

b

a

a

a

    isə uyğun olaraq

b

a

r

r

,

vektorlar

ının koordinatlarıdır.x,y,z -isə  müstəvi üzərində  götürülən ixtiyari

nöqtənin koordinatlarıdır.

Biz qeyd etdik ki.əgər

)

,

,

(

0

0

0

z

y

x

M

o

  n

öqtəsindən keçən  və

s

m

üstəvisinə paralel olan

)

,

,

(

3

2

1

a

a

a

a

=

r

və

)

,

,

(

3

2

1

b

b

b

b

=

r

 vektorlar

ı verilərsə,

onda

s

Î

"

)

,

,

(

z

y

x

M

  n

öqtəsi üçün

b

a

M

M

o

r

r

,

,

  vektorlar

ı komplanar olur.Əgər

koordinatları ilə verilən vektorların komplanarlıq şərtindən istifadə etsək

alarıq:

0

3

2

1

3

2

1

0

0

0

=

-

-

-

b

b

b

a

a

a

z

z

y

y

x

x

                            (3)

Ald

ıq ki,

[

]

b

a

M

o

r

r

,

,

=

s

  m

üstəvisi üzərində  olan  hər  bir    M    nöqtəsinin  x,y,z

koordinatları    (3)    tənliyini ödəyir.(3) tənliyi müstəvinin parametrsiz tənliyi

adlanır.

İndi isə üç nöqtədən keçən müstəvi tənliyini nəzərdən keçirək.

Tutaq ki,fəzada

3

2

1

,

,

,

e

e

e

O

r

r

r

  koordinat sistemi verilib.Bu sistemdə bir

düz  xətt üzərində olmayan

)

,

,

(

),

,

,

(

),

,

,

(

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

z

y

x

M

z

y

x

M

z

y

x

M

  n

öqtələrini

götürək.Bu  nöqtələrdən keçən  müstəvini tənliyini tapaq.Aşkardır ki,

[

]

3

1

2

1

1

,

,

M

M

M

M

M

=

s

        olur  və

3

1

2

1

1

,

,

M

M

M

M

M

M

        vektorlar

ı

komplanard

ır.Əgər    M    nöqtəsinin koordinatlarını    x,y,z    kimi  işarə

etsək,onda alarıq:

{

}

{

}

{

}

1

3

1

3

1

3

3

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

1

1

1

,

,

,

,

,

,

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

z

z

y

y

x

x

M

M

z

z

y

y

x

x

M

M

-

-

-

=

-

-

-

=

-

-

-

=

Bunlar komplanar vektorlar olduğuna görə

0

1

3

1

3

1

3

1

2

1

2

1

2

1

1

1

=

-

-

-

-

-

-

-

-

-

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

z

z

y

y

x

x

                    (4)

(4)tənliyi koordinatları ilə verilən üç nöqtədən keçən müstəvinin tənliyidir.

Xüsusi halda əgər

3

2

1

,

,

M

M

M

  n

öqtələri

s

  m

üstəvisinin uyğun olaraq

Ox,Oy,Oz oxlarını  kəsdiyi nöqtələr olarsa,

)

,

0

,

0

(

),

0

,

,

0

(

),

0

,

0

,

(

3

2

1

c

M

b

M

a

M

olur.(4) tənliyindən istifadı etsək alarıq.

downloaded from KitabYurdu.org

(

)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

=

+

+

-

Þ

=

-

-

+

-

-

+

-

Þ

=

-

-

-

Þ

=

-

-

-

-

-

-

-

-

-

abz

acy

abc

bcx

a

b

a

z

a

c

a

y

c

b

a

x

c

a

b

a

z

y

a

x

c

a

b

a

z

y

a

x

Buradan da al

ırıq ki,

1

=

+

+

c

z

b

y

a

x

                         (5)

(5) tənliyi müstəvinin parçalarla tənliyi adlanır.Burada,a,b,c-müstəvinin

uyğun olaraq  Ox,Oy,Oz  oxlarından ayırdığı parçalardır.Bu  tənlikdən

müstəvilərin qurulmasında geniş istifadə olunur.

2.Bilirik ki,müstəvinin parametrsiz tənliyi (3) şəklindədir.

0

3

2

1

3

2

1

0

0

0

=

-

-

-

b

b

b

a

a

a

z

z

y

y

x

x

Bu determinant

ı birinci sətir elementlərinə nəzərən açaq,onda alarıq:

(

)

(

)

(

)

0

0

2

1

2

1

0

1

3

1

3

0

3

2

3

2

=

-

+

-

+

-

z

z

b

b

a

a

y

y

b

b

a

a

x

x

b

b

a

a

                 (6)

A

şağıdakı kimi işarələr qəbul edək:

)

(

,

,

,

0

0

0

2

1

2

1

1

3

1

3

3

2

3

2

Cz

By

Ax

D

b

b

a

a

C

b

b

a

a

B

b

b

a

a

A

+

+

-

=

=

=

=

                (7)

Onda (6)-nı aşağıdakı kimi yaza bilərik:

0

=

+

+

+

D

Cz

By

Ax

                       (8)

Deməli aldıq ki.

s

  m

üstəvisi    (8)  tənliyi ilə  müəyyən olunur.Qeyd edək

ki.işarələmələrdən aydındır ki,A,B,C

əmsallarından heç olmazsa biri

sıfırdan fərqlidir.Çünki,

av

  və

b

r

 vektorlar

ı koolinear deyil.

Əksinə,göstərə bilərik ki,x,y,z  dəyişənlərindən asılı    (8) şəklində

birdərəcəli bir tənlıik verilibsə,onda bu tənlik,fəzada bir müstəvi  təyin

edir.(8) tənliyinə müstəvinin ümumi tənliyi deyilir.

Fərz edək ki, fəzada

3

2

1

,

,

,

e

e

e

O

r

r

r

  koordinat sistemində (8) ümumi tənliyi

ilə  müəyyən olunan

s

    m

üstəvisi verilmişdir.Bu tənliyin köməyi ilə

s

m

üstəvisinin verilən koordinat sisteminə  nəzərən (yəni, koordinat

başlanğıcına,koordinat oxlarına  və koordinat müstəvilərinə)  vəziyyətini

təyin edə bilərik.Bu zaman aşağıdakı hallar ola bilər.

Tutaq ki,(8) tənliyində

1)D=0,yəni  Ax+By+Cz=0

)

1

( ¢

Bu halda m

üstəvi koordinat başlanğıcından keçir,çünki,koordinat

başlanğıcının koordinatları

)

1

( ¢

 tənliyini ödəyir:

0

0

0

0

0

=

Þ

=

+

×

+

×

+

×

D

D

C

B

A

2)A=0,yəni, By+Cz+D=0

)

2

( ¢

 .         Bu halda

IIOx

s

.

X

üsusi halda  A=D=0 olarsa,Bx+Cz=0

)

3

( ¢

 . Bu halda

s

Î

Ox

  olur.

3)B=0,yəni,Ax+Cz+D=0

)

4

( ¢

 .Bu halda

IIOy

s

downloaded from KitabYurdu.org

X

üsusi halda  B=D=0  olarsa,  Ax+Cz=0

)

5

( ¢

  olur.Bu halda

s

Î

Oy

  olur.

4)C=0,yəni,Ax+By+D=0

)

6

( ¢

.Bu halda

IIOz

s

X

üsusi halda  C=D=0 olarsa,  Ax+By=0

)

7

( ¢

 olur.Bu halda

s

Î

Oz

olur.

Bu dediklərimizdən istifadə edərək  (8)  tənliyi ilə verilən

s

m

üstəvisinin koordinat müstəvilərinə  nəzərən  vəziyyətini  müəyyən edə

bilərik.

1)A=B=0 olarsa    Cz+D=0

)

8

( ¢

   Bu halda

IIOxy

s

X

üsusi halda   A=B=D=0   olarsa,   z=0

)

9

( ¢

 olur.Bu halda

Oxy

º

s

2)A=C=0  olarsa,   By+D=0

)

0

1

(

¢

  olur.Bu halda

IIOxz

s

X

üsusi halda   A=C=D=0  olarsa,   y=0

)

1

1

( ¢

 olur.Bu halda

Oxz

º

s

3)B=C=0   olarsa,  Ax+D=0

)

2

1

(

¢

 olur.Bu halda

IIOyz

s

X

üsusi halda   B=C=D=0 olarsa,     x=0

)

3

1

( ¢

 olur.Bu halda

Oyz

º

s

)

1

( ¢

-

)

3

1

( ¢

  tənliklərinə  müstəvinin natamam tənlikləri deyilir.

3.Fərz edək ki,fəzada

3

2

1

,

,

,

e

e

e

O

r

r

r

  koordinat sistemində

0

=

+

+

+

D

Cz

By

Ax

         (1)

tənliyi ilə müəyyən olunan

s

  m

üstəvisi verilmişdir.