Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

 İki vektorun  vektorial hasili , vektorial hasilin xassələri və tətbiqləri.

Plan:

1.Vektorların vektorial hasilinin tərifi.

2.Vektorial  hasilə aid teoremlər.

3.Vektorial  hasilin koordinatlarda ifadəsi.

4.Vektorial hasilin xassələri.

5.Vektorial hasilin tətbiqləri .

6.Məsələ həlli.

P-1.Tərif . İki vektorun  vektorial  hasili elə

c

 vektoruna deyilir ki, bu vektor

aşağıdakı 3 şərti ödəsin.

1)

c

 vektorunun uzunluğu

a

 və

b

 vektorlarının uzunluqları ilə onlar arasındakı

bucağın sinusu hasilinə bərabərdir.

( )

1

sin

j

×

×

=

b

a

c

2)

c

 vektoru

a

 və

b

 vektorlarının hər birinə perpendikulyar olsun və ya ortoqonal

olsun,yəni,

b

c

a

c

^

^ ,

3)

( )

c

b

a ,

,

 vektorlar üçlüyü

(

)

k

j

i

,

,

üçlüyü ilə eyni oriyentasitalı olsun.

Vektorial hasil

[ ]

b

a

c

,

=

 kimi işarə olunur.

Vektorların vektorial hasili də vektorların skaliar hasili kimi  mexanikada

yaranmışdır.Əgər ,

b

 ,M nöqtəsindəki qüvvədirsə və

a

 vektoru isə O nöqtəsindən

M nöqtəsinə gedərsə , onda

[ ]

b

a

c

,

=

   vektoru O nöqtəsinə nəzərən

b

qüvvəsinin

momenti olur. Deməli mexanikada qüvvənin momenti vektorial hasillə təyin

olunur.

P-2.Teorem 1. İki vektorun kollinear olması üçün zəruri və kafi şərt bu vektorların

vektorial hasilinin  sıfra  bərabər olmasıdır.

Isbatı. (Zərurilik) . Zərurilik vektorların vektorial hasilinin tərifindən alınır.

a

və

b

kolleniar vektorlar olduqda onlar arasındakı bucaq  0

0

-olur və

0

sin

0

=

o

olduğundan (1) bərabərliyi sıfra çevrilir.

 Kafilik . Tutaq ki,

[ ]

b

a,

 vektorial hasili sıfir vektora  bərabərdir

[ ]

0

,

=

b

a

.    İsbat

edək ki,

a

 və

b

vektorları kollineardır. Əvvəlcə trivalını qeyd edək , onda

a

 və

b

vektorlarından biri  sıfır vektor olmalıdır. (sıfır vektorunun istiqaməti təyin

olunmadığından , onu

"

 vektorla kolleniar vektor kimi hesab etmək olar. )Əgər

a

və

b

 vektorlarının hər ikisi sıfırdan fərqlidirsə ,

0

,

0

¹

¹

b

a

 onda

0

,

0

>

>

b

a

    ,

onda

[ ]

0

,

=

b

a

  bərabərliyindən və (1) bərabərliyindən alırıq ki,

0

0

0

sin

=

Þ

=

j

j

.Buradan alınır ki,

a

və

b

 vektorları kollineardırlar. Teorem isbat olundu.

                       Əgər

b

a

^

 onda

1

90

sin

0

=

=

j

Teorem 2  .

[ ]

b

a,

 vektorial hasilin uzunluğu (modulu)

a

 və

b

 vektorları üzərində

qurulmuş paraleloqramın S sahəsinə bərabərdir.

[ ]

paralel

S

b

a

=

,

 belə ki,

a

 və

b

 kollinear olmurlar.

Isbatı. Aydındır ki, paraleloqramın sahəsi  onun oturacağı

downloaded from KitabYurdu.org

 ilə hündürlüyü  hasilinə bərabərdir,yəni,

h

a

S

par

×

=

,

j

sin

×

= b

h

  olduğunu nəzərə

alsaq  onda alarıq ki,

j

sin

b

a

S

par

×

=

 . (1)bərabərliyi ilə müqayisə etsək

[ ]

par

S

b

a

=

,

alınır.

P-3.İndi vektorial hasilin dekart koordinatlarda ifadəsinə baxaq.

Teorem. Əgər

a

  və

b

 vektorları öz düzbucaqlı dekart koordinatları ilə verilərsə,

{

}

1

1

1

,

,

z

y

x

a

=

,

{

}

2

2

2

,

,

z

y

x

b

=

 onda onların vektorial hasili koordinatlarda aşağıdakı

şəkildə  yazılır.

[ ]

( )

2

,

,

,

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

þ

ý

ü

î

í

ì

=

y

x

y

x

x

z

x

z

z

y

z

y

b

a

(2)–ni belə də yaza bilərik.

[ ]

( )

¢

=

2

,

2

2

2

1

1

1

z

y

x

z

y

x

k

j

i

b

a

Isbatı :Fərz edək ki,

{

}

1

1

1

,

,

z

y

x

a

=

   və

{

}

2

2

2

,

,

z

y

x

b

=

  vektorları verilmişdir.

a

və

b

 vektorlarının

(

)

k

j

i ,

,

 bazis vektorları üzrə ayrılışı aşağıdakı kimi olar.

k

z

j

y

i

x

b

k

z

j

y

i

x

a

2

2

2

1

1

,

1

+

+

=

+

+

=

İndi vektorial hasili hesablayaq:

[ ]

(

)(

)

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

k

k

z

z

k

j

z

y

k

i

z

x

j

k

y

z

j

j

y

y

j

i

y

x

i

k

x

z

i

j

x

y

i

i

x

x

k

z

j

y

i

x

k

z

j

y

i

x

b

a

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

1

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

=

k

j

i ,

,

 bazis vektorlarının vektorial hasili üçün vektorlar cütü hesab edək.Məlumdur

ki,bu bazis vektorları qarşılıqlı ortoqonaldırlar. Onların uzunluqları 1-ə bərabərdir,

onlar sağ üçlük əmələ gətirir.

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

( )

3

0

,

,

,

0

,

,

,

0

ï

þ

ï

ý

ü

=

=

-

=

-

=

=

=

=

-

=

=

k

k

i

k

j

j

k

i

i

j

k

j

j

k

j

i

j

i

k

k

i

j

i

i

Bunları nəzərə alsaq:

[ ]

(

) (

) (

)

k

y

x

y

x

j

x

z

x

z

i

z

y

z

y

b

a

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

,

-

+

-

+

-

=

alarıq.Bu isə (2) və ya (2) ifadəsinin açılışıdır.

Nəticə. Əgər

{

}

1

1

1

,

,

z

y

x

a

=

,

{

}

2

2

2

,

,

z

y

x

b

=

  vektorları kolleniardırsa , onda onların

koordinatları mütənasib olmalıdır.

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

=

=

Isbatı. Əgər

[ ]

0

,

=

b

a

 onda

downloaded from KitabYurdu.org

[ ]

[ ]

[ ]

2

1

2

1

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

0

0

)

3

0

0

)

2

0

0

)

1

y

y

x

x

y

x

y

x

b

a

z

z

x

x

z

z

y

y

z

x

z

x

b

a

z

y

z

y

b

a

z

y

x

=

=

-

=

=

=

=

-

Þ

=

=

-

Þ

=

Buradan alarıq

2

1

2

1

2

1

z

z

y

y

x

x

=

=

 - yəni  vektorlar kolleanardırlar.

P-4.Vektorial hasilin aşağıdakı xassələri vardır.

Xassə 1.Vektorial hasildə vuruqların yerini dəyişsək, vektorial hasil yalnız

işarəsini dəyişər,yəni,

[ ] [ ]

a

b

b

a

-

=

,

İsbatı. Fərz edək ki,

(

)

(

)

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

,

,

,

,

1

z

y

x

b

k

z

j

y

i

x

b

z

y

x

a

k

z

j

y

i

x

a

=

+

+

=

=

+

+

=

vektorları verilmişdir.Bilirik ki,

[ ]

z

y

x

z

y

x

k

j

i

b

a

2

2

1

1

1

,

=

.Determinantın xassəsinə görə

iki sütunun (2 sətirin) yerini dəyişdikdə  determinant yalnız işarəsini dəyişər,yəni,

[ ]

[ ]

a

b

z

y

x

z

y

x

k

j

i

z

y

x

z

y

x

k

j

i

b

a

,

,

1

1

1

2

2

2

2

2

1

1

1

=

=

=

.Bu da 1  xassəsinin doğruluğunu göstərir.

Xassə 2.Vektorial hasil ədədi vuruğa  nəzərən bircinslilik xassəsinə malikdir.

( )

[

] [ ]

b

a

b

a

a

a

=

İsbatı.

( )

[

]

[ ]

j

a

a

j

a

j

a

a

sin

sin

sin

×

×

×

=

×

×

=

×

=

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

,

buradan alınır ki,

( )

[

] [ ]

b

a

b

a

a

a

=

Xassə 3.Vektorial hasil paylanma xassəsinə malikdir,yəni,

[

]

[ ] [ ]

bc

ac

c

b

a

+

=

+ ,

Xassə 4.

[

] [ ]

[ ]

c

a

b

a

c

b

a

,

,

,

+

=

+

P-5.İndi vektorial hasilin tətbiqləri ilə tanış olaq.

Vektorial hasil ən çox sahələrin hesablanmasında  yəni

D

-ğın və paraleloqramın

sahələrinin hesablanmasında tətbiq olunur.Fərz edək ki,ABC üçbucağının təpə

nöqtələri

(

) (

)

(

)

3

3

3

2

2

2

1

1

1

,

,

,

,

,

,

,

,

z

y

x

C

z

y

x

B

z

y

x

A

öz koordinatları ilə verilmişdir.

(düzbucaqlı Dekart koordinat  sistemində).ABC üçbucağının sahəsini hesablayaq.

downloaded from KitabYurdu.org

Vektorial hasilin tərifində I şərtdən məlumdur ki,

[

]

C

A

B

A ,

 vektorunun uzunluğu

ədədi qiymətcə bu vektorlar üzərində qurulmuş ABDC paraleloqramının sahəsinə

bərabərdir və deməli,

[

]

C

A

B

A

S

ABC

,

2

1

=

D

                     (4)

AB

və

C

A

vektorlarının koordinatlarını hesablayaq.

{

}

{

}

1

3

1

3

1

3

1

2

1

2

1

2

,

,

,

,

z

z

y

y

x

x

AC

z

z

y

y

x

x

AB

-

-

-

=

-

-

-

=

Onda bu vektorların vektorial hasilini aşağıdakı kimi yaza bilərik:

[

]

k

y

y

y

y

x

x

x

x

j

x

x

x

x

z

z

z

z

i

z

z

z

z

y

y

y

y

AC

AB

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

,

-

-

-

-

+

-

-

-

-

+

-

-

-

-

=

Bu qiymətləri (4) –də nəzərə alsaq.

1

3

1

2

1

3

1

2

2

1

3

1

2

1

3

1

2

2

1

3

1

2

1

3

1

2

2

1

y

y

y

y

x

x

x

x

x

x

x

x

z

z

z

z

z

z

z

z

y

y

y

y

S

ABC

-

-

-

-

+

-

-

-

-

+

-

-

-

-

=

D

(6)

(6) düsturu təpələrinin koordinatları ilə verilmiş üçbucağın sahəsinin hesablanması

düsturudur.

Xüsusi halda, əgər

(

)

XOY

Î

D

 olarsa,onda

1

1

1

3

3

2

2

2

1

y

x

y

x

y

x

S

ABC

=

D

(

)

XOZ

Î

D

 olarsa,onda

1

1

1

3

3

2

2

2

1

z

x

z

x

z

x

S

ABC

=

D

(

)

YOZ

Î

D

olarsa, onda

1

1

1

3

3

2

2

2

1

z

x

z

x

z

x

S

ABC

=

D

 olar.