Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış
§4.İki tərtibli əyrinin toxunması
Yüklə 1,04 Mb. Pdf görüntüsü
|
- Bu səhifədəki naviqasiya:
- §5.İki tərtibli xəttin diameti.
- §6. Diametrin xassələri Xassə1.
- İki diametrin qoşmalıq şərti, baş istiqamətlər. Ü mumi tənliyin kanonik şəklə gətirilməsi.
- §2. Ba ş istiqamət, iki istiqamətin baş istiqamət olması şərti.
|
§4.İki tərtibli əyrinin toxunması.
Düz xətt əyrini iki üst-üstə düşən nöqtədə kəsərsə onda həmin düz xətt əyriyə toxunan düz xətt adlanır. Əyrinin adi nöqtəsində onun yeganə toxunanı olduğunu isbat edək. Fərz edək əyrisi (1) tənliyi ilə x*F 1 (x,y)+y*F 2 (x,y)+F
0 (x,y)=0 tənliyi ilə verilmişdir. M 0
0 ,y 0 ) olsun. Onda F 0 (x
0 ,y 0 )=0. Pt 2 +2Qt+R=0 tənliyində R=F 0 (x 0 ,y 0 ) olduğundan Pt 2 +2Qt=0 alırıq.Buradan t(Pt+2Q)= 0. t 1 =0 Pt+2Q=0, P≠0, t 2 = -
, t 1 =t 2 =0 olması üçün Q=0 olmalıdır. Yuxarıdakı işarələrdən istifadə etsək Q= P 1 *
F 1 (x 0 ,y 0 )+ P 2 *F 2 (x 0 ,y 0 ) =0 alarıq. M 0 adi
nöqtə olduğundan F 1 və F 2 eyni zamanda “0” deyildir. Onda P 1 : P
2 = F 2 (x 0 ,y 0 ): - F 1 (x 0 ,y 0 ) olar.M 0 (x 0 ,y 0 )-dan keçib P-yə // d/x-in tənliyi = və ya
(x-x 0 ) F 1 (x
0 ,y 0 )+(y-y 0 ) F 2 (x 0 ,y 0 )=0=>x*F 1 (x 0 ,y 0 )+y*F 2 (x 0 ,y 0 )-x 0 F 1 (x 0 ,y 0 )- -y 0 F 2 (x 0 ,y 0 )=0-x
0 *F 1 -y 0 *F 2 = +F
0 olduğuna görə x*F 1 +y*F
2 +F 0 =0 tənliyini alırıq.
Misal : 1) Ellipsin M 0 (x 0 ,y 0 ) nöqtəsində toxunmanı: + =1 2) hiberbola üçün : - =1 3) parabola üçün yy 0 = P(x+x 0 )olar.
§5.İki tərtibli xəttin diameti. R=(0,l
1 ,l 2 ) afin koor.sistemində əyrisi
11 x 2 + 2a 12 xy+a 22 y 2 +2a
10 x+2a
20 y+a
00 =F(x,y)=0 şəklində verilib. P = ( P 1 ,P 2 ) ≠ 0
vektorunu seçək və P-yə // olan vətərlərin orta nöqtələri çoxluğunu müəyyən edək. Yuxarıda isbat etmişik ki, M (x,ỹ) nöqtəsi P-yə // olan vətərin orta downloaded from KitabYurdu.org
nöqtəsi olması üçün (a 11 x+a 12 ỹ+a
10 ) P
1 +(a
12 x+a
22 ỹ+a
20 )P 2 =0 şərti ödənməlidir. x və ỹ-ni x və y ilə işarə etmək olar. Onda (a 11 P 1 +a 12 P 2 )x+(a 12 P 1 +a 22 P 2 ) y + a 10 P 1 +a 20 P 2 =0 alarıq.P≠0 olduğundan (a 11
1 +a 12 P 2 ) P 1 + (a
12 P 1 +a 22 P 2 )P 2 ≠ 0 Buradan a 11 P
+a 12 P 2 və a
12 P 1 +a 22 P 2 ədədləri eyni zamanda sıfır deyillər. Deməli yuxardakı tənlikdə x və y –in əmsalları eyni zamanda sıfır deyillər. (t) düz xətt tənliyidir. Beləliklə isbat edirik ki, Teorem. Əyrinin asimptotik istiqamətlərində olmayan P (P 1 ,P 2 ) vektoruna paralel vətərlərin orta nöqtələri çoxluğa düz xətt verir.Həmin düz xəttə əyrinin diametri deyilir. Deməli P-yə // olan vətərlərin orta nöqtələri çoxluğu (a 11 P 1 +a 12 P 2 )x+(a 12 P 1 +a 22 P 2 ) y +a 10 P 1 +a 20 P 2 =0 diametrin tənliyidir. Bu diametr P vektoruna və ya istiqamətinə qoşma diametr adlanır.
əyrisinin mərkəzləri varsa , onda hər bir mərkəz ixtiyari diametr üzərindədir. Doğrudan da, C (x 0 ,y 0 )- mərkəzdirsə və ixtiyari diametirdisə, onda mərkəzin koordinatları F 1 (x 0 ,y 0 )= F 2 (x 0 ,y 0 )=0 şərtini ödəyirlər. Diametrin tənliyi P 1 *F
+P 2 *F 2 =0
olmayan hər bir düz xətt əyrinin diametridir. Həqiqətən P (P 1 ,P
) və a 11 P 1 2 +2a 12 P 1 P 2 +a 22 P 2 2 ≠0 olarsa, C(x 0 ,y
)- mərkəzdirsə , onda P (a 12 P
+a 22 P 2 ,-a
11 P 1 -a 12 P 2 ) vektoru istiqamətində C dən keçən hər bir = düz xətti diametri müəyyən edər. Xassə3. Mərkəzsiz əyrinin hər bir diametri asimptotik istiqamətə malikdir. d- mərkəzsiz əyrinin diametri olsun. Həmin diametrin tənliyi (D) tənliyidir. Onda d-nin istiqamətverici vektoru q (- a 21 P
-a 22 P 2 , a
11 P 1 +a 12 P 2 ) olar, həm də q asimptotik istiqamətə malikdir. Onda a 11 P 1 +a 12 P 2 = -a 21 P 1 -a 22 P 2 =0=>
P=0 downloaded from KitabYurdu.org İki diametrin qoşmalıq şərti, baş istiqamətlər. Ü mumi tənliyin kanonik şəklə gətirilməsi. Plan:1.
İki diametrin qoşmalıq şərti. 2.Ba ş istiqamət, istiqamətin baş istiqamət olması şərti. 3. İki tərtibli əyrilərin təsnifi. 4. Ümumi t ənliyin kanonik şəklə gətirilməsi. §1. İki diametrin qoşmalıq şərti.
paralel v ətərlərin orta nöqtələri çoxlugudursa, qoşma diametrlər adlanırlar. Fərz edək mərkəzli
əyrisini
d 1 v ə d 2 kimi iki diametri verilmi şdir. d 1 - diametri ) , ( 2 1
p p vektoru il ə
2 diametri is ə ) , ( 2 1 q q q vektoru il ə qo
p d // 2 olarsa, 1 // d q olar. Dem əli, aşağıdakı teorem dogrudur. Teorem: Əgər
d 1 diametri d 2 -y ə paralel olan vətərlərin orta nöqt
ələri çoxluğudursa, onda d 2 diametri d ə d 1 ətərlərin orta nöqt ələri çoxlugu olar. İsbatı:
d 1 qo şmadır p il
ə və d 2 qo şmadır. q Il
ə. Əgər p d // 2 olarsa 1 // d q olar.
p d // 2 Olduqda 1 // d q oldu
ğunu isbat edək. q il
ə qo şma diametrin tənliyi 0 ) ( ) ( 2 20 22 21 1 10 12 11 = + + + + + q a y a x a q a y a x a olar. 2 2
// ) , ( d p p p Oldu
ğu üçün, bu tənlikdən d 2 t ənliyini 0 ) ( ) ( ) ( 2 20 1 10 2 22 1 12 2 22 1 11 = + + + + +
a q a y q a q a x q a q a kimi yazmaq olar. Vektorun düz x əttə paralellik şərtinə əsasən
1 2 22 1 12 2 2 12 1 11 : ) ( : ) ( p q a q a p q a q a + = +
olar.
Çevirs ək 0 ) ( ) ( 2 2 12 1 12 1 2 12 1 11 = + + + p q a q a p q a q a 0 ) ( 2 2 22 1 2 2 1 12 1 1 11 = + + + q p a q p q p a q p a v
ə ya 0 ) ( ) ( 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 = + + +
p a p a q p a p a Buradan
2 2 22 1 11 1 2 22 1 21 ) ( q p a p a q p a p a + = + - ( ) * Əgər
d 1 qo şma diametrin tənliyi 0 ) ( ) ( 2 20 22 21 1 10 12 11 = + + + + +
a y a x a q a y a x a və ya
0 ) ( ) ( ) ( 2 20 1 10 22 12 2 22 1 11 = + + + + +
a p a y y a x a x qp a p a kimi yaz ılsa, onda ( )
* münasib
əti göstərir ki, 1 // d q y
əni teorem isbat olunur. Bu teoremin tərsi də doğrudur, yəni əgər 1 // d q Þ
d // 2 al ınar. Ikisini birləşdirsək p d 1 qo şma və q d 2 qo şmadırsa, 1 // d q Û
d // 2 z əruri və kafi şərti olar. Bel
əliklə alarıq ki, mərkəzli əyrinin iki diamerindən biri o birinə paralel olan vətərlərin orta nöqtələrindən keçirsə, onlar qoşma diametirlərdir. Təklif: Göstərmək olar ki, iki diametrin qoşmalığı həndəsi məna da şıyır, yəni koordinat sisteminin seçilməsindən asılı deyildir. a) əyri mərkəzlidirsə, onda qoşmalıq şərti 0 )
2 2 22 1 2 2 1 12 1 1 11 = + + + q p a q p q p a q p a və ya
0 ) ( ) ( 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 = + + + q p a p a q p a p a şərtini ödəyir. Yəni, nin p p - ) , ( 2 1 verilm
əsi ilə ) , ( 2 1 q q yegan ə qaydada təyin edilə bilər. downloaded from KitabYurdu.org b) ) , ( 2 1 p p p asimptotik istiqam ət olarsa, yəni 0 2 2 2 22 2 1 12 2 1 11 = + + p a p p a p a tənliyi
öd ənirsə
olduqda 0 ) ( ) ( 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 = + + +
p a p a p p a p a
şərtinə gör
ə 2 22 1 21 2 12 1 11 , p a p a p a p a + + ədədləri eyni zamanda sıfir olmazlar, çünçi 0 ¹
odur ki, qo şmalıq şərtini ödəyən bütün ) ,
2 1
q q vektorlar ı cüt-cüt kollineard ırlar və bir ölçülü alt vektor alt fəza əmələ gətirilir. Həmin alt fəza
vektoruna // olan vektorlard ır.
Il
ə qoşma olan və q f ərqli istiqamət olmaz. Əgər
olarsa 0 , 0 2 22 1 21 2 12 1 11 = + = + p a p a p a p a
ədədləri eyni zamanda s ıfır olarlar. Onda 0 0 0 2 1 = × + × q q qo şmalıq şərti kimi olar və q " vektoru qo şmalıq şərtini ödəyir. Bu zamanda da p v ə q qo
şma olarlar. §2. Ba ş istiqamət, iki istiqamətin baş istiqamət olması şərti. Əgər ikitərtibli əyriyə nəzərən hər hansı istiqamət özünə perependikulyar olan istiqam ətlə qoşma olarsa, baş istiqamət adlanır. Ba şqa sözlə öz qoşma istiqamətinə perependikulyar istiqamət baş istiqam ətdir.
Qo şmalıq qarşılıqlı olduğundan baş istiqamət perependikulyar olan istiqam ətin
özü d ə baş istiqamətdir. ) ,
0 (
i Sistemind ə )
( 2 1 p p p ba ş istiqamət vekorudur. Onda p ^
v ə
qo şma
q olmal
ıdır. Yəni, 1) 0 2 2 1 1 = +
p q p 2) 0 )
2 2 22 1 2 2 1 12 1 1 11 = + + + q p a q p q p a q p a öd ənməlidir.(1)-i nəzərə alsaq 0 ) ( 1 2 22 2 2 1 1 12 2 1 11 = + - + p p a p p p p a p p a buradan da 0 )
) ( 1 2 11 22 2 2 2 1 11 = - + - p p a a p p a al
ınır. Bu tənlik baş istiqamətlərin müəyyən edilm
əsinə imkan yaradır. Aşağıdakı hallara baxaq: 1) 0 , 0 1 12 ¹ ¹
a olarsa
1 2 0 p p k p = ¹ işarə etsək 1 , 2 4 ) ( , 0 ) ( 2 1 12 2 12 2 11 22 11 22 2 , 1 12 22 11 12 2 - = × + - ± - = = - - +
k a a a a a a k a k a a a k Buradan al ınır ki, g
əyrisinə nəzərən yalnız iki baş istiqamət vardır. 2)
0 , 0 11 22 12 ¹ - = a a a onda t ənlik belə olar. , 0 , 0 ) ( 2 1 1 2 11 22 = × = -
p p p a a , 0 1 =
0 ,
, 0 2 1 2 ¹ ¹ =
p p Bu halda da g
əyrisinə nəzərən yalnız 2 baş istiqam
ət var. 3) 0 , 0 11 22 12 = - =
a a onda
0 ) , ( 2 1 ¹ "
p p vektorunun istiqam əti baş istiqam
ət olar. Bu halda əyri çevrə olar. (həqiqi , xəyali və ya 0 radiuslu) İsbat etdik ki, teorem doğrudur. Hər bir iki tərtibli əyriyə nəzərən yalnız iki ba ş istiqamət vardır. Çevrəyə nəzərən isə müstəvinin hər bir istiqaməti baş istiqam ət olar.
downloaded from KitabYurdu.org Tərif: Baş istiqamət qoşma olan dimetri baş dimatri adlanır və ya dimaetr özü il ə qoşma olan istiqamətə ^ olarsa ba ş dimatri adlanır. Yüklə 1,04 Mb. Dostları ilə paylaş:
|