Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

§6.Ox

şarlıq çevrilmələrinin alt qrupları.

1.k=1 olduqda ox

şarlıq çevrilməsi hərəkət çevrilməsinə çevrilir. Odur

ki, h

ərəkət çevrilmələri qrupu oxşarlıq çevrilmələri qrupunun alt qrupudur,

yəni

R

Ì

D

.

2.1-ci növ ox

şarlıq çevrilmələri də qrup əmələ gətirdiyini yoxlamaq

olar, dem

əli

R

Ì

R

1

 olar.

3.

0

M

 m

ərkəzli homotetiya çevrilmələri çoxluğu

( )

0

M

R

 il

ə işarə edək.

Əgər

0

M

nöqt

əsini düzbucaqlı koordinat sisteminin koordinat başlanğıcı kimi

götürs

ək onda

M

¹

M

0

 nöqt

əsi üçün homotetiya koordinatlarla

0

,

,

¹

=

¢

=

¢

l

l

l

y

y

x

x

 kimi ifad

ə olunar. Əgər

(

)

(

)

2

2

2

1

1

1

,

,

,

y

x

y

x

M

M

  olarsa

( )

1

1

2

1

1

1

,

M¢

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

¢

¢

M

=

M

M

h

h

olduqda

(

)

(

)

,

,

,

,

1

0

1

2

1

0

1

2

1

0

2

0

0

1

0

2

1

0

1

0

1

1

0

M

M

=

M

M

×

=

M¢

M

×

=

M ¢¢

M

M¢

M

×

=

²

M

M

M

M

=

M¢

M

l

l

l

l

l

l

l

(

)

(

)

.

0

0

,

0

,

2

1

1

0

1

0

1

2

1

0

¹

Þ

¹

¹

M

M

×

=

M

M

=

M ¢¢

M

l

l

l

l

l

l

Yəni,

( )

0

2

1

,

M

R

Î

h

h

olduqda

( )

( )

( )

0

1

0

0

1

2

,

M

R

Î

M

R

Î

M

R

Î

×

-

h

h

h

h

 olar.

k

h

1

,

1

-

 əmsallı

0

M

  m

ərkəzli

homotetiyad

ır. Deməli,

( )

0

M

R

  homotetiyalar çoxlu

ğu qrupu əmələ gətirir və

( )

R

Ì

M

R

0

 olar.

4. F

ərz edək H bütün paralel köçürmə və homotetiyalar çoxluğudur.

H

f

H

f

Î

Î

2

1

1

,

              olduqda

H

f

f

Î

×

1

2

,

 olar. Çünki,

-

1

f

1-ci növ,

2

f

 -2-ci

növ ox

şarlıq çevrilmə tiplidir. Belə çevrilmələr qrup əmələ gətirdiyini

göst

ərmək çətin deyil. Həqiqətən,

H

f

H

f

Î

Î

2

1

,

 oldu

ğu üçün hər biri 1-ci

növ ox

şarlıq çevrilməsidir.

2

1

, f

f

 m

ərkəzi- dönmə oxşarlıq çevrilməsi

deyildir, bel

ə ki, mərkəzi- dönmə oxşarlıq çevrilməsində hər bir a düz xətti

el

ə

a¢

 düz x

əttinə çevrilir ki,      düz xəttinə paralel olur və ya üst-üstə düşür.

Dem

əli,

-

×

1

2

f

f

  homotetiya, ya da paralel köçürm

ə çevrilməsidir, yəni

H

f

f

Î

×

1

2

. H

əm də

H

f

Î

2

  olduqda

H

f

Î

-1

. Odur ki, H qrup 

əmələ gətirir.

R

Ì

H

 alt qrupdur. Bu qrupun invariant

ı düz xətin müstəvidə

yön

əldicisidir.İndi fiqurların oxşarlıq münasibətini izah edək.

downloaded from KitabYurdu.org

Tərif: F və

F ¢

 fiqurlar

ı o zaman oxşar fiqurlar adlanırlar ki, oxşarlıq

çevrilm

əsi ilə biri digərinə çevrilmiş olsun, yəni

( )

F

F

F

F

p

p

¢

»

Þ

¢

=

R

Π,

adlan

ır.

F

~

F

F ,

~

F

F

¢

Þ

¢

~

F

F

(

,

~

F

F

¢

¢,

~

F

F

=

¢¢)

~

F ¢¢

  Bu  göst

ərir  ki,  oxşarlıq

münasib

əti ekvivalentlik münasibətidir.

İki fiqurun oxşarlığını müəyyən etmək üçün onların birini digərinə

çevir

ən oxşarlıq çevrilməsinin varlığını göstərmək lazımdır.

Təklif 1.

İki

Δ

C

AB

~

Δ

÷

ø

ö

ç

è

æ

¢

A¢

A

=

¢

B¢

B

=

B¢

A¢

AB

¢

=

B¢

=

B

A¢

=

A

®

¢

B¢

A¢

C

C

C

C

C

C

C

,

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

,

ˆ

ˆ

Orta m

əktəbdə bucaqların bərabərliyi oxşarlığın tərifi kimi götürülür.

Təklif 2. Eksentrisitetləri bərabər iki ellips oxşardırlar.

İsbatı:

(

)

÷

ø

ö

ç

è

æ

¢

E

¢

E

¢

E

E

2

1

2

1

,

,

,

,

,

O

O

 reperind

ə

1

,

1

12

12

12

12

2

2

2

2

=

+

=

+

b

y

a

x

b

y

a

x

 ellips

götür

ək.

-

-

=

-

=

2

2

1

1

1

2

1

;

1

,

1

f

a

b

a

b

e

e

homotetiyas

ı ,

O¢

 m

ərkəzli

a

a¢

  

əmsallı

homotetiyada

y

a

a

y

x

a

a

x

¢

=

¢

¢

=

¢

,

və ya

.

1

1

,

,

12

12

12

12

2

2

2

2

=

+

=

+

¢

¢

=

¢

¢

=

b

y

a

x

f

b

y

a

x

y

b

b

y

x

a

a

x

Təklif 3. İki hiperbolanın eksentrisitetləri bərabərdirsə, oxşardırlar.

Məlumdur ki, iki bərabərtərəfli hiperbolanın eksentrisitetləti eynidir. Deməli,

bərabərtərəfli

"

  iki hiperbola ox

şardırlar.

Təklif4. İki parabola həmişə oxşardırlar.

(

) (

)

2

1

2

1

,

,

,

,

,

E ¢¢

E¢

O¢

E

E

O

ortonormal reperl

ərində

px

y

2

2

=

 v

ə

x

p

y

¢

¢

= 2

12

  parabolalar

ı verilir.

g

~

g

¢

oldu

ğunu isbat edək.

(

) (

)

-

¢

-

Þ

E¢

E¢

O¢

®

E

E

R

g

O

g

1

1

2

1

2

1

,

,

,

,

,

:

g

g

g

də

px

y

2

2

=

 t

ənliyinə malikdir.

(

) (

)

2

1

2

1

,

,

,

,

:

E¢

E¢

O¢

®

E

E

O

h

  homotetiyas

ı,

-

O¢

mərkəzli,

y

p

p

y

x

p

p

x

p

p

¢

=

¢

¢

=

¢

¢

=

,

,

l

 olar.

g

g

¢

®

:

hg

 olar. Dem

əli, həqiqətən

"

iki parabola ox

şardırlar.

downloaded from KitabYurdu.org

Müstəvidə afin çevrilmə və onun analitik ifadəsi. Müstəvinin afin çevrilmələr

qrupu və onun alt qrupları. Həndəsi çevrilmələrin məktəb həndəsə

məsələlərinə tətbiqləri.

Plan:  1.Müstəvinin afin çevrilməsi.

2.Afin çevrilmənin koordinatlarla ifadəsi.

3.Müstəvinin afin çevrilmələr qrupu.

4.Afin çevrilmələrin alt qrupları.

         5.Həndəsi çevrilmələrin məktəb həndəsə məsələlərinə tətbiqləri.

. §1..Müstəvinin afin çevrilməsi .

Tərif:

p

p

®

:

f

   çevrilməsi zamanı bir düz xətt üzərindəki üç nöqtə bir düz xətt

üzərindəki üç nöqtəyə çevrilərsə və bu zaman üç nöqtənin sadə nisbəti dəyişməsə

belə çevrilmə müstəvinin afin çevrilməsi adlanır.

( )

d

d

f

d

f

d

¢

=

¢

Î

M¢

=

M

Î

M

M

M

,

)

(

,

,

,

,

3

2

1

a

a

 

 

 

 

 

 

 

olmaqla

(

) (

)

3

2

1

3

2

1

,

,

,

,

M¢

M¢

M¢

=

M

M

M

  ödənərsə f-afin çevrilmə olur. Aydındır ki,

( )

a

a

M

=

M

f

  olduqda eyniyyət çevrilməsi və oxşarlıq çevrilməsi, həm də hərəkət

çevrilməsi zamanı düz xətt düz xəttə çevrilir və kollinear üç nöqtənin sadə nisbəti

dəyişmir, deməli eyniyyət, oxşarlıq və hərəkət çevrilmələri afin çevrilməyə misal

ola bilər. Afin çevrilmələrin bir xassəsini verək.

Lemma: Əgər

1

f

 və

2

f

  afin çevrilmələri A və B nöqtələrini uyğun olaraq

A¢

və

B¢

  kimi iki eyni nöqtəyə çevrilərsə, onda (AB)-nin ixtiyarı M nöqtəsini də

eyni nöqtəyə çevirər.

Yəni,

( )

( )

A

=

A

2

1

f

f

 və

( )

( )

B

=

B

2

1

f

f

 olarsa,

( )

AB

Î

M

"

  olduqda

( )

( )

M

=

M

2

1

f

f

 

 

 

 

 

olar.

 Doğurdan

 da

 A,B

( )

d

=

AB

Î

  olsun.

( )

( )

( ) (

)

( )

( )

( ) (

)

d

d

d

f

f

f

d

d

f

f

f

Î

M

"

¢

=

B¢

A¢

=

B¢

=

B

A¢

=

A

¢

=

B¢

A¢

=

B¢

=

B

A¢

=

A

.

,

,

,

,

,

2

2

2

1

1

1

olarsa, əgər

( )

( )

M ¢¢

=

M

M¢

=

M

2

1

, f

f

    olarsa,  onda

1

f

 afin çevrilmə olduğundan

(

) (

)

M

B

A

M

AB

¢

¢

¢

=

,

,

   və

2

f

afin çevrilmə olduğundan

(

) (

)

M ¢¢

B¢

A¢

=

M

AB

,

,

 olar. Onda

hər iki bərabərlikdən

(

) (

)

M ¢¢

B¢

A¢

=

M¢

B¢

A¢

,

,

  alarıq. Bundan da

M ¢¢

=

M

1

    yəni

( )

( )

M

=

M

2

1

f

f

  olar.

Teorem: (Afin çevrilmənin əlaməti)  Müstəvidə hər hansı iki

(

)

C

R

,

,

B

A

=

və

(

)

C

R

¢

B¢

A¢

=

¢

,

,

      afin  reper  verildikdə  bu  reperlərin  birini  digərinə  çevirən  elə

yeganə f  afin çevrilməsi vardır ki, bu çevrilmə zamanı müstəvinin ixtiyari M

nöqtəsinin R reperindəki koordinatları,

( )

M¢

=

M

f

  nöqtəsinin

R¢

  reperindəki

uyğun koordinatlarına bərabər olur.

İsbatı: Əvvəlcə R reperini

R¢

-ə çevirən afin çevrilmənin olduğunu isbat

edək. Müstəvinin ixtiyari M nöqtəsini götürək. M-in R-dəki koordinatları

( )

y

x

R

,

M

olsun. x və y ədədlərinə görə

R¢

-də müəyyən edilən nöqtəni

( )

y

x

R

,

¢

M¢

      kimi

işarə edək. Deməli, bununla müstəvinin

M¢

M

"

f

 nöqtəsi müəyyən edilir. Bu

inikas qarşılıqlı birqiymətlidir. Həm də

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

1

,

0

1

,

0

,

0

,

1

0

,

1

,

0

,

0

0

,

0

C

f

C

f

f

¢

B¢

B

A¢

A

   yəni,

R

f

R

¢

  olur.

İndi göstərək ki, yaradılan f  çevrilməsi afin çevrilmədir. R reperində bir düz

xətt üzərində

(

)

(

)

(

)

3

3

3

2

2

2

1

1

1

,

,

,

,

,

y

x

y

x

y

x

M

M

M

   üç nöqtə götürək. f  inikasında

bunların obrazları

(

) (

)

3

,

2

,

1

,

=

M

a

a

a

a

y

x

    olar.

(

)

3

2

1

,

,

M

M

M

=

l

  olarsa, bu nöqtələr

downloaded from KitabYurdu.org

bir düz xəttə aid olduqları üçün

l

l

l

l

+

+

=

+

+

=

1

,

1

2

1

3

2

1

3

y

y

y

x

x

x

   olar.

R¢

–də

a

M¢

 -in

koordinatları da bu münasibətləri ödədiyi üçün, alarıq ki,

3

M¢

   nöqtəsi

[

]

2

1

,

M¢

M¢

parçasını

l

  nisbətində bölür, yəni

(

)

l

=

M¢

M¢

M¢

3

2

1

,

.  Beləliklə  nöqtələri də bir düz

xəttə aiddirlər və

(

)

=

M

M

M

3

2

1

,

(

)

3

2

1

,

M¢

M¢

M¢

.           yəni, f-afin çevrilmədir.

İndi f-in yeganəliyini isbat edək. Fərz edək f-dən başqa

f ¢

 afin çevrilməsi

də var ki,

( )

( )

( )

( )

C

C

f

B

B

f

A

A

f

R

R

f

¢

=

¢

¢

=

¢

¢

=

¢

¢

=

¢

,

,

,

   olur.

f

f

¢

¹

  olduğundan elə

M nöqtəsi var ki,

( )

( )

M¢

¹

M ¢¢

M ¢¢

=

M

¢

M¢

=

M

f

f

,

,

  olur. M  nöqtəsindən elə düz xətt

keçirək  ki,  (AB)  və  (AC)-ni  müxtəlif    N  və  M    nöqtələrində  kəssin.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

N

¢

=

N

Þ

ú

û

ù

N¢

=

¢

¢

=

¢

¢

=

A

¢

N¢

=

N

B¢

=

B

¢

=

f

f

N

f

B

B

f

A

f

f

f

A

A

f

,

,

,

,

 

 

 

olar.

 

 Həm

 də

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

P

f

P

f

P

P

f

P

P

f

C

C

f

A

A

f

C

C

f

A

A

f

¢

=

Þ

ú

û

ù

¢¢

=

¢

¢

=

Þ

ú

û

ù

¢

=

¢

¢

=

¢

¢

=

¢

=

,

,

olar. Deməli,

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

M

¢

=

M

Þ

ú

û

ù

M ¢¢

=

M

¢

¢

=

¢

N¢

=

N

¢

M¢

=

M

R¢

=

R

N¢

=

N

f

f

f

P

P

f

f

f

f

f

,

,

,

,

  olar. Bununlada alarıq ki,

( )

( )

f

f

f

f

¢

=

Þ

M

¢

=

M

 olar. Teorem tamamilə isbat olunur. Bu teoremdən istifadə

edərək göstərmək olar ki,

-afin çevrilmə reperi reperə çevirir,

-afin çevrilmə düz xətti düz xəttə, paralel düz xətləri paralel düz xətlərə,

yarımmüstəvini yarımmüstəviyə, şüanı  şüaya, parçanı parçaya və bucağı bucağa

çevirir.

-hər bir afin çevrilmə müstəvidə oriyentasiyanı ya saxlayır, ya da tərsinə dəyişir.

Doğurdan da

)

,

,

0

(

2

1

e

e

R

=

   və

(

)

2

1

,

,

0

e

e

R

¢

¢

¢

=

¢

  kimi iki afin reper götürək.

R¢

–in

bazis vektorları R-də

(

)

(

)

22

12

2

21

11

1

,

,

,

c

c

e

c

c

e

=

¢

=

¢

      olarsa    R-dən

R¢

    -ə  keçid

Δ=

,

0

22

21

12

11

¹

c

c

c

c

  Δ>0

,

R

R

¢

Þ

w

 Δ<0

R

R

¢

Þ

v

Afin çevrilmə müstəvi oriyentasiyasını dəyişmirsə 1-ci növ, dəyişirsə 2-ci növ

adlanır.  Δ>0         olduqda 1-ci növ Δ<0 olduqda 2-ci növ afin çevrilmə olur.