Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

L e m m a:

{

}

3

2

1

,

,

p

p

p

p

=

r

  vektorunun  (1)  tənliyi ilə verilən

s

  m

üstəvisinə

paralel olması üçün zəruri və kafi şərt

0

3

2

1

=

+

+

Cp

Bp

Ap

                        (2)

Şərtinin ödənilməsidir.

İ s b a t ı:Tutaq ki,

s

II

p

r

,(2) şərtinin doğruluğunu göstərək.Müstəvi üzərində

hər hansı bir

)

,

,

(

1

1

1

1

z

y

x

M

 nöqtəsi götürək.

p

r

 vektorunu

1

M

  nöqtəsindən

ayıraq.

s

s

Î

$

Þ

)

,

,

(

2

2

2

2

z

y

x

M

II

p

r

  nöqtəsi var ki,

p

M

M

r

=

2

1

  olar.

s

Î

2

1

M

M

olmasından çıxır ki,

0

0

2

2

2

1

1

1

=

+

+

+

=

+

+

+

D

Cz

By

Ax

D

Cz

By

Ax

Tərəf-tərəfə çıxaq:

0

)

(

)

(

)

(

1

2

1

2

1

2

=

-

+

-

+

-

z

z

C

y

y

B

x

x

A

1

2

3

1

2

2

1

2

1

,

,

z

z

p

y

y

p

x

x

p

-

=

-

=

-

=

  olmasından alırıq ki,(2) şərti ödənir.

Əksinə,göstərə bilərik ki.əgər (2) şərti ödənirsə,

s

II

p

r

 olur.

s

m

üstəvisi

ü

zərində  hər hansı bir

)

,

,

(

1

1

1

1

z

y

x

M

  nöqtəsi  götürək.

p

r

 vektorunu

1

M

nöqtəsindən ayıraq.

)

,

,

(

2

2

2

2

z

y

x

M

  alarıq ki,

ï

î

ï

í

ì

-

=

-

=

-

=

Þ

ï

þ

ï

ý

ü

-

=

-

=

-

=

3

2

1

2

2

1

1

2

1

1

2

3

1

2

2

1

2

1

p

z

z

p

y

y

p

x

x

z

z

p

y

y

p

x

x

p

Alırıq ki,

D

Cp

Bp

Ap

Cz

By

Ax

D

Cz

By

Ax

+

+

+

-

+

+

=

+

+

+

=

)

(

0

3

2

1

2

2

2

1

1

1

Buradan al

ırıq ki,

0

2

2

2

=

+

+

+

D

Cz

By

Ax

  ,yəni,

s

Î

2

M

 olur.Deməli,

s

II

p

r

olar.

4.T ə r i f-Verilmiş müstəviyə perpendikulyar olan sıfırdan fərqli olan hər bir

vektora müstəvinin normal vektoru deyilir.

s

^

¹ n

n

r

r

r

,

0

downloaded from KitabYurdu.org

Ayd

ındır ki,sonsuz sayda normal vektor var,buvektorlar bir-birindən

müəyyən bir uzunluq ilə fərqlənir.Tutaq ki,fəzada hər hansı

k

j

i

O

r

r

r

 ortonormal

koordinat sistemi verilib.

)

,

,

(

0

0

0

0

z

y

x

M

 n

öqtəsindən keçən və normal vektoru

)

,

,

(

C

B

A

n

=

r

 olan

s

 m

üstəvisinin tənliyini yazaq.

Əgər  ixtiyari

s

Î

)

,

,

(

z

y

x

M

    n

öqtəsi  götürsək,onda    aşkardır ki,

{

}

0

0

0

0

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

-

-

-

=

  vektoru

n

r

  vektoruna perpendikulyar olur,yəni,

0

)

(

)

(

)

(

0

0

0

0

0

=

-

+

-

+

-

Þ

=

×

z

z

C

y

y

B

x

x

A

M

M

n

r

Bu tənlik, bir nöqtəsinə və normal vektoruna görə müstəvi tənliyi olur.Əgər

düzbucaqlı dekart koordinat sistemində

0

=

+

+

+

D

Cz

By

Ax

  (1)    tənliyi ilə

müəyyən olunan

s

  m

üstəvisi verilərsə,onda göstərə bilərik ki,

)

,

,

(

C

B

A

n

=

r

vektoru bu m

üstəvinin normal vektorudur.

Fərz edək ki,fəzada

k

j

i

O

r

r

r

 ortonormal koordinat sistemində ümumi

tənliyi ilə

0

:

=

+

+

+

D

Cz

By

Ax

s

        m

üstəvisi və koordinatları ilə

)

,

,

(

1

1

1

1

z

y

x

M

n

öqtəsi verilib.Bu nöqtədən

s

  m

üstəvisinə  qədər olan

)

,

(

1

s

M

d

məsafəsini

hesablayaq.Aşkardır ki,bu məsafə ,yəni,

1

M

-dən

1

0

M

M

 perpendikulyar

ının

boyuna bərabərdir,yəni,

1

0

M

M

vektorunun uzunlu

ğuna bərabərdir.Yuxarıda

ö

yrəndik ki,(1) tənliyi ilə verilən

s

 m

üstəvisinin normal vektoru

)

,

,

(

C

B

A

n

=

r

-

dur.

0

M

 n

öqtəsinin koordinatları da

)

,

,

(

0

0

0

z

y

x

-dir.Onda

0

0

0

0

=

+

+

+

D

Cz

By

Ax

                (2)

Bu halda

{

}

0

1

0

1

0

1

1

0

,

,

z

z

y

y

x

x

M

M

-

-

-

=

 vektoru ilə

n

r

 vektoru kollinear olur.

(

)

n

M

M

n

M

M

n

M

M

n

M

M

r

r

r

r

1

0

1

0

1

0

1

0

cos

=

Ù

=

×

Buradan al

ırıq ki,

n

n

M

M

M

M

M

d

r

r

×

=

=

1

0

1

0

)

,

(

s

                      (3)

(3)m

ünasibətinin sağ tərəfinə daxil olan skalyar hasili hesablayaq.

D

Cz

By

Ax

Cz

By

Ax

Cz

By

Ax

z

z

C

y

y

B

x

x

A

n

M

M

+

+

+

=

=

+

+

-

+

+

=

-

+

-

+

-

=

×

1

1

1

0

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

)

(

)

(

)

(

)

(

r

Nəticədə alırıq ki,

2

2

2

1

1

1

1

)

,

(

C

B

A

D

Cz

By

Ax

M

d

+

+

+

+

+

=

s

                        (4)

5.Fərz edək ki,fəzada

k

j

i

O

r

r

r

 ortonormal koordinat sistemində tənlikləri ilə

0

:

0

:

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

=

+

+

+

=

+

+

+

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

s

s

müstəviləri verilmişdir.Bu mstəvilər müəyyən bir düz xətt boyunca kəsişirlər

və  bu  kəsişmədən iki üzlü bucaqlar alınır.

2

1

,

s

s

    m

üstəvilərinin əmələ

gətirdiyi ikiüzlü bucağın  xətti bucağına bu müstəvilər arasındakı bucaq

deyilir.

{

}

{

}

2

2

2

2

1

1

1

1

,

,

,

,

,

C

B

A

n

C

B

A

n

=

=

r

r

  vektorlar

ı uyğun olaraq

2

1

,

s

s

m

üstəvilərinin normal vektorlarıdır.Onda

)

(

2

1

n

n

r

r Ù

  buca

ğı

j

-yə  bərabər

olur.(1) və (2) tənlikləri ilə verilən  müstəvilər arasındakı bucağı  aşağıdakı

kimi hesablaya bilərik.

downloaded from KitabYurdu.org

2

1

2

1

2

1

)

cos(

cos

n

n

n

n

n

n

r

r

r

r

r

r

×

=

Ù

=

j

            (3)

(3)d

üsturunu koordinatlarda yazsaq,alarıq:

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

cos

C

B

A

C

B

A

C

C

B

B

A

A

+

+

+

+

+

+

=

j

(4)d

üsturu tənlikləri ilə verilən iki müstəvi arasındakı bucağın hesablanması

düsturudur.

Xüsusi halda

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

+

+

=0  olarsa ,onda

2

p

j

=

   olur.

downloaded from KitabYurdu.org