Vektor anlayışı və vektorlar üzərində əməllər. Vektor haqqında ilkin anlayış

P-6.    Məsələ1.

a

və

b

 vektorları

6

p

j =

 bucağı əmələ gətirir.

5

,

6

=

=

b

a

 olduğunu

bilərək.

[ ]

b

a

-ni hesablayın.

Həlli.

[ ]

15

2

1

5

6

30

sin

5

6

sin

0

=

×

×

=

×

×

=

×

×

=

j

b

a

b

a

Məsələ2.

a

 və

b

 vektorları qarşılıqlı perpendikulyardır.

4

,

3

=

=

b

a

 olduğunu

bilərək  hesablayın.

Həlli.

(

) (

)

[

]

[ ] [ ] [ ] [ ]

( )

[

]

[

]

(

) (

)

[

] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

60

4

3

5

90

sin

5

5

2

6

3

2

3

)

2

24

4

3

2

90

sin

2

2

2

)

1

0

0

0

0

0

=

×

×

=

×

×

×

=

=

´

×

-

=

´

+

´

-

´

-

´

=

-

´

-

=

×

×

=

×

×

×

=

´

=

´

×

=

=

´

-

´

+

´

-

´

=

-

+

b

a

b

a

b

b

a

b

b

a

a

a

b

a

b

a

a

b

a

b

a

b

b

b

a

b

b

a

a

a

b

a

b

a

downloaded from KitabYurdu.org

Məsələ 3.

{

}

1

,

2

,

2

-

=

a

 və

{

}

6

,

3

,

2

=

b

 vektorunun əmələ gətirdiyi bucağın sinusunu

hesablayın

[ ]

425

100

100

225

3

2

2

2

2

6

2

1

6

3

1

2

,

2

2

2

=

+

+

=

-

+

+

-

=

b

a

[ ]

21

17

5

,

sin

7

36

9

4

,

3

1

4

4

=

×

=

=

+

+

=

=

+

+

=

b

a

b

a

b

a

j

downloaded from KitabYurdu.org

  Üç vektorun qarışıq hasili və onun xassələri, tətbiqləri.

Plan.

1. Vektorlar üçlüyünün oriyentasiyası.

2. Üç vektorun qarışıq hasili və onun həndəsi mənası.

3. Qarışıq hasilin koordinatlarda ifadəsi.

4. Qarışıq hasilin xassələri.

5. Qarışıq hasilin tətbiqləri.

P-1.Vektorlar üçlüyünün oriyentasiyası anlayışı ilə tanış olaq:

Tutaq ki, müəyyən ardıcıllıqla komplanar olmayan üç vektor verilmişdir.

Belə verilmiş üç vektor heyəti vektor üçlüyü adlanır. Verilən vektorları bir

nöqtəyə köçürdükdə iki vəziyyətdən biri alınır.

a)c  vektorunun  ucundan    a    və  b      vektorlarına  baxdıqda  ,    a    vektorunu          b

vektoru   üzərinə salmaq üçün kiçik bucaq qədər fırlanma saat əqrəbinin

hərəkətinin əksinə olur. Şəkil (a)

b)      c    vektorunun  ucundan      a    və  b    vektorlarına  baxdıqda      a      vektorunu        b

vektorunun üzərinə salmaq üçün kiçik bucaq qədər fırlanma saat əqrəbinin hərəkəti

istiqamətindədir. Şəkil (b)

Aydındır ki, vektorlar üçlüyü verildikdə bu hallardan ancaq biri  ola bilər.

Bu iki vəziyyətin hər biri bu vektorların oriyentasiyası adlanır. a) sağ oriyentasiya

b)sol oriyentasiya adlanır.

Oriyentasiya – məişətdə ,coğrafiyada kortoqrafiyada və müxtəlif elim sahələrində

fizikada , kimyada , həndəsədə və s. istifadə olunsa da  sırf  riyazi termindir.

Oriyentasiya – sözünün mənası yönləndirmə , istiqamətləndirmədir.   Müstəvidə

olduğu kimi fəzada da iki oriyentasiya vardır. Sağ oriyentasiya –müsbət

oriyentasiya , sol oriyentasiya isə mənfi oriyentasiya adlanır.

Burada aşağıdakı təklifləri vermək olar:

1)üçlüyün iki vektorunu sabit saxlayıb , 3-nü ortaq başlanğıc nöqtəsi ətrafında

fırladaq. Bu halda fırlanan vektor digər iki vektor müstəvisindən bir tərəfdə qalarsa

, üçlüyün oriyentasiyası dəyişmir , fırlanaraq müstəvinin digər tərəfinə keçərsə ,

üçlüyün oriyentasiyası dəyişir.

2)Üçlüyə daxil olan vektorların dairəvi yerdəyişməsində oriyentasiya dəyişməz.

–dən              -ya keçmək dairəvi yerdəyişməsi adlanır. Hər iki üçlük eyni

oriyentasiyalı olur.

3)Vektorlar üzərində dairəvi olmayan hər hansı başqa yerdəyişmə üçlüyün

oriyentasiyasını dəyişir. Məsələn ,                 üçlüyündə      və      vektorlarının

yerlərini dəyişsək                 üçlüyünü alırıq, bu yerdəyişmə dairəvi deyil. Bu

üçlüklər müxtəlif oriyentasiyalı olurlar.

4)Üçlüyün müstəvi güzgüdə əksi müxtəlif oriyentasiyalı üçlük olur.

downloaded from KitabYurdu.org

P-2  .Tərif :    Tutaq  ki,

c

b

a ,

,

   vektorları verilmişdir. İki a və b  vektorlarının

vektorial hasilinin üçüncüyə,yəni,c-yə  skalyar hasilinə bu vektorların  qarışıq

hasili deyilir.Nəticədə qarışıq hasil  ədəddir.

Üç vektorun qarışıq hasili simvolik olaraq

[ ]

c

b

a,

  və ya

c

b

a

×

×

ilə işarə olunur.

Burada 3 hal ola bilər:

[ ]

0

,

>

× c

b

a

    olarsa,onda

c

b

a ,

,

  vektor üçlüyü sağ müsbət

oriyentasiyalı ,

[ ]

0

,

<

×c

b

a

  olarsa, sol mənfi oriyentasiyalı ,

[ ]

0

,

=

×c

b

a

olarsa,

c

b

a ,

,

   vektorları komplanar olar

          Indi isə üç vektorun qarışıq hasilinin həndəsi mənasını aydınlaşdıraq.

 Fərz edək ki,

c

b

a ,

,

   vektorlar üçlüyünün oriyentasiyası sağ oriyentasiyalıdır. Bu

vektorlar üzərində qurulan paralelipedin oturacağının sahəsini , yəni  a    və  b

vektorları üzərində qurulan paraleloqramın sahəsini S ilə  , paralelipedin C

təpəsindən oturacaq müstəvisinə endirilən perpendikulyarın uzunluğunu h  ilə  və

paralelipedin həcmini v ilə işarə edək.

Teorem: Fəzada 3 vektorun qarışıq hasilinin mütləq qiyməti bu vektorlar üzərində

qurulmuş paralelipedin həcminə bərabərdir. Yəni,

[ ]

c

b

a

V

×

=

,

Isbatı :

P-3.Qarışıq hasilin koordinatlarda ifadəsi öyrənək : Fərz edək ki, Dekart koordinat

sistemində

c

b

a ,

,

      vektorları koordinatları ilə verilmişdir.

(

)

(

)

(

)

3

2

1

3

2

1

3

2

1

,

,

,

,

,

,

,

,

c

c

c

c

b

b

b

b

a

a

a

a

=

=

=

 .

Vektorial hasilin koordinatlarında ifadəsindən məlumdur ki,

Məlumdur ki, vektorlar koordinatlarla verilərsə , onda skalyar hasdl eyniadlı

koordinaların hasilləri cəminə bərabərdir. Onda :

Bunu 3 tərtibli determinant şəklində yazsaq , alarıq:

Bu bərabərlik üç vektorun qarışıq  hasilinin koordinatlarda ifadəsi  olur.

P-4.Qarışıq  hasilin xassələri ilə tanış olaq.

  Xassə 1.Qarışıq hasildə əgər vektorlardan hər hansı ikisi kolleniear olarsa, onda

qarışıq hasil sıfır  olar.

Xassə 2.Qarışıq hasildə vektorlardan hər hansı biri “0” olarsa onda  qarışıq hasil

sıfra bərabər olar.

Isbatı: Tutaq ki , qarışıq hasildə vektorlardan biri məsələn   a=0    Onda qarışıq

hasilin koordinatlarla ifadəsini yazsaq ,bu determinantın 1-ci sətir elıementlərinin

hamısının “0” olduğundan həmin determinant “0”-a bərabər olar. Yəni :

downloaded from KitabYurdu.org

Xassə 3.Qarışıq hasil bircinslilik xassəsinə malikdir: Yəni

Isbatı :

Doğrudan da determinantın məlum xassəsinə görə determinatın sətir və ya sütün

elementləri  müəyyən bir ədədinə vurularsa , onda determinantın özü həmin ədədə

vurulmuş olar, və yaxud determinantın sətir və ya sütunundakı ortaq vuruğu

determinant qarşısına çıxarmaq olar.

 Xassə 4.Qarışıq hasil hər bir vuruğa nəzərən paylama (distiributivlik) xassələrinə

malikdir.

Isbatı: Doğurdan da   determinantın məlum xassələrindən məlumdur ki,

determinantın hər hansı sətir və ya sütunu 2 elementin cəmi şəklində verilərsə ,

onda bu determinantı 2 determinantın cəmi şəklində vermək olar:  Həqiqətən də :

Xassə 5.Qarışıq hasildə

c

b

a ,

,

 vektorları komplanar olarsa , onda

[ ]

0

,

=

×c

b

a

olar.

Doğrudan da, üç vektorun qarışıq hasili      bu  vektorları üzərində qurulmuş

paralelipedin həcminə bərabərdir, əgər

c

b

a ,

,

 vektor üçlüyü  sağ oriyentasiyalıdırsa

onda qarışıq hasil “+”, əgər bu vektorlar üçlüyü sol  oriyentasiyalıdırsa onda

qarışıq hasil “-“ işarəli olur. Əgər bu vektorlar komplanar olarsa , onda qarışıq

hasil sıfır olur.Deməli

[ ]

0

,

=

×c

b

a

    şərti  yalnız  o  zaman  olur  ki,

c

b

a ,

,

vektorları komplanar olsun.

Digər tərəfdən  əgər bu vektorlar komplanar olarsa , onda onlar xətti asılı olar.

Xətti asılı vektorlardan birini digərlərinin vastəsilə ifadə etmək münkün

olduğundan qarışıq hasilin koordinatlarında ifadəsi 3 tərtibli determinantın 2 sətir

və ya sütunu eyni olar, onda determinant “0” olar.

Xassə 6.Qarışıq hasildə vuruqların dairəvi yerdəyişməsində qarışıq hasil dəyişməz.

 İsbatı.

c

b

a ,

,

vektorlar üçlüyündə dairəvi yerdəyişmə etsək: alarıq

Məlumdur ki, bu üçlüklərin oriyentasiyası eyni olur, onda bunların qarışıq

hasillərini də eyni işarəli olur. Digər tərəfdən qarışıq hasillərinin müxtəlif

qiymətləri eyni bir paralelipedin həcmini ifadə edir. Deməli bu qarışıq hasillər həm

işarəcə , həm də mütləq qiymətcə eynidir.

Xassə 7 .Qarışıq hasildə vuruqlarının dairəvi olmayan başqa yerdəyişmələrində

qarışıq hasilin ancaq işarəsi dəyişir.

6-ci  və  7-ci   xassələrini determinantların xassələrinə görə belə aydınlaşdırmaq

olar: çünki determinantın nömrəli sətirlərini eyni nömrəli sütunlarıyla əvəz etdikdə

determinantın qiyməti dəyişmir. O biri xassələrinə görə determinantın  hər hansı 2

sətrinin və 2 sütununun  yerini dəyişdikdə determinant qiymətini əksinə dəyişir.

P-5 .  İndi isə qarışıq hasilin tətbiqlərinə baxaq

downloaded from KitabYurdu.org

Fərz edək ki, təpələri

nöqtələrində olan

ABCD  tetraedri verilir. Bu tetraedrin həcmini hesablayaq .

Məlumdur ki,  tetraedrin həcimi onun tiləri üzərində qurulan paralelipedin

həciminin             bərabərdir.

                                                                   vektorunun koordinatlarını tapaq:

Bunu    (1) –də nəzərə alıb ,bu bərabərliyi koordinatlarda yazsaq , qarışıq hasilin

koordinatlarında 3 tərtibli determinant  olduğunu nəzərə alsaq , onda:

Bu bərabərlik təpə nöqtələrini ilə verildikdə tetraedrin həcminin hesablanması

düsturudur. Burada biz paralelipedin həcmi  düsturunu da yaza bilərik:

downloaded from KitabYurdu.org

Fəzada düz xəttin müxtəlif tənlikləri.Düz xəttlərin qarşılıqlı vəziyyəti və iki

düz xətt arasındakı bucaq.

                   Plan:1.Fəzada düz xəttin müxtəlif tənlikləri.

                           2.Düz xəttlərin qarşılıqlı vəziyyəti.

   3.Fəzada iki düz xətt arasındakı bucaq düsturu.

4.Fəzada düz xəttə aid metrik və afin məsələlər.

&1.Fəzada düz xəttin müxtəlif tənlikləri.

3

E

d

Ì

fəzada hər hansı düz xəttir.

0

¹

"a

 vektoru a ⁄⁄ dolarsa,istiqamətverici və ya

yönəldici vektor adlanır.Əgər a ⁄⁄

a

d

l

l

,

0

¹

Þ

⁄⁄d olar,yəni a  ilə kollinear olan vektorların

hansı d-nin yönəldici vektoru kimi götürmək olar.Bu vektorlar birölçülü alt vektor fəza əmələ

gətirirlər.L( a  ).

        d-düz xətti bir nöqtəsi və yönəldici vektoru ilə tamamilə təyin oluna bilir.

[ ]

p

M

d

,

0

=

.

Aşağıdakı hallarda düz xəttin tənliyini yazaq.

1

0

.Düz xəttin kanonik tənliyi.

        Fəzada

)

,

,

,

(

3

2

1

e

e

e

O

R

=

ümumi afin reperində

d

z

y

x

M

Î

)

,

,

(

0

0

0

0

və

)

,

,

(

3

2

1

P

P

P

P

⁄⁄d

götürək.

P

M

M

d

M

l

=

Û

Î

0

 olsun.

)

,

,

(

z

y

x

M

olarsa,

)

,

,

(

0

0

0

0

z

z

y

y

x

x

M

M

-

-

-

=

⁄⁄ P ,onda

)

1

(

3

0

2

0

1

0

P

z

z

P

y

y

P

x

x

-

=

-

=

-

Düz xəttin tənliyidir.Məs.

1

3

4

2

3

1

-

=

+

=

-

z

y

x

Xüsusi hallara baxaq:

a)P

1

=0,P

2

≠0,P

3

≠0,onda

3

0

2

0

0

,

0

P

z

z

P

y

y

x

x

-

=

-

=

-

0

,

0

,

0

,

0

)

0

,

0

,

0

,

0

)

0

2

0

1

0

2

1

3

0

3

0

1

0

3

1

2

=

-

-

=

-

Þ

¹

¹

=

=

-

-

=

-

Þ

¹

¹

=

z

z

P

y

y

P

x

x

P

P

P

y

y

P

z

z

P

x

x

P

P

P

b

u

2

0

.İki nöqtədən keçən düz xətt tənliyi.

Fəzada afin koordinat sistemində M

1

≠M

2

,M

1

(x

1

,y

1

,z

1

),M

2

(x

2

,y

2

,z

2

) nöqtələri verilmişdir.Onda

2

1

M

M

⁄⁄d olar.Belə düz xətt bəzən (M

1

M

2

) kimi işarə

olunur:

[

] [

]

).

,

,

(

.

,

,

,

1

2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

2

1

1

z

z

y

y

x

x

M

M

M

M

M

M

M

M

d

-

-

-

=

=

=

Fərz edək

0

,

0

,

0

1

2

1

2

1

2

¹

-

¹

-

¹

-

z

z

y

y

x

x

.Onda (1) tənliyinə əsasən

1

2

1

1

2

1

1

2

1

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

-

-

=

-

-

=

-

-

və ya

1

2

2

1

2

2

1

2

2

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

-

-

=

-

-

=

-

-

(2) olar.İki nöqtədən keçən düz xətt

tənliyidir.

)

,

,

(

);

,

(

3

3

3

3

2

1

3

z

y

x

M

M

M

M

Î

olarsa (2)-yə əsasən

1

2

1

3

1

2

1

3

1

2

1

3

z

z

z

z

y

y

y

y

x

x

x

x

-

-

=

-

-

=

-

-

 (3)

şərti üç nöqtənin bir düz xətt üzərində yerləşmə şərtidir.

3

0

.Düz xəttin parametrik tənliyi.

        Ümumi afin koordinat sistemində

)

,

,

(

),

,

,

(

];

,

[

3

2

1

0

0

0

0

0

P

P

P

P

z

y

x

M

P

M

d

=

=

olsun.

P

M

M

d

M

M

l

=

Û

Î

0

0

 olsun.

downloaded from KitabYurdu.org

)

,

,

(

),

,

,

(

3

2

1

0

0

0

0

P

P

P

P

z

z

y

y

x

x

M

M

-

-

-

=

 olarsa,

ï

î

ï

í

ì

+

=

+

=

+

=

Þ

ï

î

ï

í

ì

=

-

=

-

=

-

3

0

2

0

1

0

3

0

2

0

1

0

,

,

,

,

P

z

z

P

y

y

P

x

x

P

z

z

P

y

y

P

x

x

l

l

l

l

l

l

  (3)

R

Î

l

-parametr adlanır.(3)-düz xəttin parametrik tənliyi adlanır.

4

0

.Düz xəttin iki müstəvinin kəsişmə xətti kimi verilməsi.

        Fərz edək

0

:

,

0

:

.

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

2

1

=

+

+

+

=

+

+

+

Ç

=

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

d

s

s

s

s

olsun.

2

1

s

s Ç

 olduğundan

.

2

2

2

2

1

1

1

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

C

B

A

C

B

A

rang

Fərz edək, P ⁄⁄d.

)

,

,

(

3

2

1

P

P

P

P

olsun.

ê

ë

é

II

Þ

Ì

II

Þ

Ì

2

2

1

1

s

s

s

s

d

d

d

d

olar.

Vektorun müstəviyə paralellik şərtinə əsasən

î

í

ì

=

+

+

=

+

+

0

0

3

2

2

2

1

2

3

1

2

1

1

1

P

C

P

B

P

A

P

C

P

B

P

A

olar.Buradan

2

2

1

1

3

2

2

1

1

2

2

2

1

1

1

3

3

2

2

1

1

,

,

,

B

A

B

A

A

C

A

C

C

B

C

B

P

P

P

=

D

=

D

=

D

D

=

D

=

D

.Odur

ki,

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

2

2

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

,

,

B

A

B

A

A

C

A

C

C

B

C

B

P

olar.Əgər

d

z

y

x

M

Î

)

,

,

(

0

0

0

0

 olarsa

î

í

ì

=

+

+

+

=

+

+

+

0

0

2

0

2

0

2

2

2

1

0

1

0

1

0

1

D

z

C

y

B

x

A

D

z

C

y

B

x

A

 sistemini ödəyər.Onda d-nin tənliyi

2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

2

2

1

1

0

B

A

B

A

z

z

A

C

A

C

y

y

C

B

C

B

x

x

-

=

-

=

-

  (4) kimi yazılar.

Misal.

î

í

ì

=

+

-

+

=

-

+

-

0

6

2

0

3

2

z

y

x

z

y

x

 sistemi ilə təyin olunan d düz xəttinin kanonik tənliyini yazmalı.

Həlli.

0

,

0

1

1

2

1

2

1

=

=

Ç

Þ

-

-

¹

x

s

s

 deyərək

î

í

ì

=

+

-

=

-

+

-

0

6

0

3

2

z

y

z

y

tənliyindən z=-3,y=-9

tapılır.M

0

(0,-9,-3) olur.

A

1

=1,B

1

=-1,C

1

=2,A

2

=2,B

2

=1,C

2

=-1 olduğundan

(

)

3

,

5

,

1

1

2

1

1

,

2

1

1

2

,

1

1

2

1

-

=

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

-

-

-

-

=

P

 olur

və tənlik

3

3

5

9

1

+

=

+

=

-

z

y

x

 şəklində yazılır.

&2.Düz xəttlərin qarşılıqlı vəziyyəti.

        Fəzada

[ ]

P

M

d

,

1

1

=

 və

[ ]

q

M

d

,

2

2

=

 kimi iki düz xətt götürək.

q

P

M

M

,

,

2

1

 vektorları

komplanar ola və olmaya bilərlər.

1)

q

P

M

M

,

,

2

1

-komplanar deyillər.Onda d

1

və d

2

 çarpaz düz xəttlər adlanırlar,şərti

0

)

,

,

(

2

1

¹

q

P

M

M

 olmasıdır.

2)

q

P

M

M

,

,

2

1

 vektorları komplanar,yəni bir müstəvi üzərində yerləşirlər,onda d

1

və d

2

 düz

xəttləri,eyni bir σ müstəvisi üzərində olarlar.

s

Ì

2

1

, d

d

.Müstəvidə iki düz xətt üç növ qarşılıqlı

vəziyyətdə olarlar.

downloaded from KitabYurdu.org

a)Düz xətlər bir müstəvi üzərindədirlər,yəni

0

)

,

,

(

2

1

=

q

P

M

M

 və

q

P

l

¹

şərti var.Onda

0

2

1

M

d

d

=

Ç

olar.

b) Düz xətlər bir müstəvi üzərindədirlər,lakin

P

t

M

M

q

P

¹

=

2

1

,

l

 onda d

1

 ⁄⁄  d

2

,

f

=

Ç

2

1

d

d

olar.

v) Düz xətlər bir müstəvi üzərindədirlər,həm də

P

t

M

M

q

P

¹

=

2

1

,

l

,onda düz xəttlər üst-üstə

düşürlər,

2

1

d

d

º

olur.

Misal 1.

( )

2

4

3

1

1

2

1

-

=

+

=

-

z

y

x

d

 və

( )

1

3

2

2

1

1

2

-

+

=

-

=

-

+

z

y

x

d

 düz xəttlərinin qarşılıqlı

vəziyyətini müəyyən etməli.

(

)

0

12

3

21

14

6

9

1

2

7

2

3

3

1

1

3

,

,

).

7

,

3

,

3

(

)

1

,

2

,

1

(

),

2

,

3

,

1

(

),

3

,

2

,

1

(

),

4

,

1

,

2

(

2

1

2

1

2

1

¹

+

+

-

-

-

=

-

-

-

-

=

-

-

=

-

-

-

-

-

q

P

M

M

M

M

q

P

M

M

Deməli düz xəttlər çarpazdırlar.

Misal 2.

( )

3

1

2

1

1

2

1

-

=

+

=

-

z

y

x

d

 və

( )

4

8

1

2

2

5

2

-

=

-

=

-

z

y

x

d

(

)

)

4

,

1

,

2

(

)

3

,

2

,

1

(

0

12

9

28

7

18

24

4

3

7

1

2

3

2

1

3

,

,

).

7

,

3

,

3

(

)

4

,

1

,

2

(

),

3

,

2

,

1

(

),

8

,

2

,

5

(

),

1

,

1

,

2

(

2

1

2

1

2

1

q

P

q

P

M

M

M

M

q

P

M

M

l

¹

=

-

-

-

+

+

=

=

=

-

-

Deməli

0

2

1

M

d

d

=

Ç

olar.M

0

(3,1,4) olar.

&3.Fəzada iki düz xətt arasındakı bucaq düsturunun çıxarılması və tətbiqi.

        Düzbucaqlı koordinat sistemində paralel olmayan

[ ] [ ]

q

M

d

P

M

d

,

,

,

2

2

1

1

=

=

  kimi iki düz

xətt götürək.Fəzanın hər hansı A nöqtəsindən d

1

 və d

2

-yə paralel d

1

’ və d

2

’ düz xəttlərini götürək.

d

1

’ və d

2

’ kəsişərək 1,2,3,4 bucaqlarını əmələ gətirirlər.Bu bucaqların hər biri d

1

 və d

2

arasındakı

bucaq adlanır.Bunların biri məlumdursa,obirilərini təyin etmək

mümkündür,çünki,

p

2

4

1

3

2

2

1

4

3

,

4

2

,

3

1

=

Ð

+

Ð

=

Ð

+

Ð

=

Ð

+

Ð

=

Ð

+

Ð

Ð

=

Ð

Ð

=

Ð

.

Bu bucaqların biri

P  və q  arasındakı bucaqdır,onda

1

,

cos

Ð

=

=

j

j

q

P

q

P

 olar.

0

0

cos

90

0

2

1

=

Þ

=

Þ

=

Þ

^

q

P

d

d

j

j

.

        İstiqamətverici vektoru ortoqonal olan çarpaz düz xəttlər də ortoqonal adlanırlar.

Misal.

)

(

2

2

1

1

2

3

),

(

2

3

4

1

3

1

2

1

d

z

y

x

d

z

y

x

-

=

-

=

+

-

=

+

=

-

(

)

29

3

14

9

29

14

2

2

1

2

4

3

2

2

1

4

2

3

cos

)

2

,

1

,

2

(

),

2

,

4

,

3

(

,

2

2

2

2

2

2

.

.

.

2

1

=

=

+

+

+

+

+

+

=

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

=

Ù

Ù

j

j

q

P

q

P

d

d

downloaded from KitabYurdu.org

)

2

,

1

,

2

(

),

2

,

4

,

3

(

),

1

,

2

,

4

(

2

1

=

-

-

=

q

P

M

M

olduqda,

0

12

8

8

3

8

32

2

2

1

1

4

2

2

3

4

¹

-

+

+

-

+

-

=

-

-

.Deməli d

1

 və d

2

 çarpaz düz xəttlərdir.Çarpaz düz xəttlər

arasındakı bucaq

-

=

29

3

14

cos

j

dur.

&4.Fəzada düz xəttə aid metrik və afin məsələlər.

        Məsələlərə baxaq.Bu məsələlər metrik və ya afin xarakterlidirlər.

Məsələ 1.

)

,

,

(

0

0

0

0

z

y

x

M

nöqtəsindən verilmiş iki çarpaz düz xəttə perpendikulyar olan düz xətt

tənliyini yazmalı.

3

1

2

1

1

1

1

:

)

(

a

z

z

a

y

y

a

x

x

d

-

=

-

=

-

3

2

2

2

1

2

2

:

)

(

,

b

z

z

b

y

y

b

x

x

d

-

=

-

=

-

Verilən çarpaz düz xətlərdir.

)

,

,

(

3

2

1

a

a

a

a

⁄⁄d

1

,

)

,

,

(

3

2

1

b

b

b

b

⁄⁄d

2

.

[ ]

÷÷

ø

ö

çç

è

æ

=

=

2

2

1

1

1

1

3

3

3

3

2

2

,

,

,

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

P

vektoru d

1

 və d

2

-yə

^

 olar və axtarılan d düz xəttinin

yönəldicisidir.

Onda

2

2

1

1

0

1

1

3

3

0

3

3

2

2

0

:

)

(

b

a

b

a

z

z

b

a

b

a

y

y

b

a

b

a

x

x

d

-

=

-

=

-

olar.

Məsələ 2. M nöqtəsindən

[ ]

P

M

d

,

0

=

düz xəttinə qədər məsafəni təyin etməli.

P

M

M

=

1

0

ayırsaq,

)

,

(

d

M

r

məsafəsi

1

0

MM

M

D

-in hündürlüyü olar.Onda

[

]

(

)

[

]

;

,

,

2

1

,

2

1

0

1

0

0

1

0

P

P

M

M

d

M

h

M

M

h

P

M

M

S

MM

M

=

=

=

=

D

r

Məsələ 3.İki çarpaz düz xətt arasındakı məsafəni təyin etməli.

1

s  müstəvisi d

1

-dən keçir və d

2

-yə paraleldir,

2

s -müstəvisi d

2

-dən keçir d

1

-ə paraleldir.Onda

aydındır ki,

)

,

(

)

,

(

2

1

2

1

s

s

r

r

=

d

d

olar.Bu məsafəni hesablamaq üçün M

1

 N

1

 P

1

 Q

1

 M

2

 N

2

 P

2

 Q

2

paralelopipedini quraq.Onda həcm

(

)

q

P

M

M

V

par

,

,

2

1

=

olar.

[ ]

q

P

S

S

S

d

d

S

V

otr

Q

P

N

M

otr

otr

par

,

)

,

(

1

1

1

1

2

1

=

=

=

r

.Deməli,

(

)

[ ]

q

P

d

d

q

P

M

M

,

)

,

(

,

,

2

1

2

1

r

=

[

]

[ ]

.

,

,

,

)

,

(

2

1

2

1

q

P

q

P

M

M

d

d

=

r

downloaded from KitabYurdu.org