Vektorlar va ular ustida amallar

2- BOB. VEKTORLAR ALGEBRASI
2-1-§. CHIZIQLI ERKLI VA CHIZIQLI BOG‘LANISHLI VEKTORLAR OILASI
Bizga vektorlar oilasi va sonlar berilgan bo'lsa,
vektor vektorlarning chiziqli kombinatsiyasi deb ataladi. Chiziqli kombinatsiyada qatnashayotgan sonlaming birortasi noldan farqli boisa, u notrivial chiziqli kombinatsiya deb ataladi.
Ta’rif. Berilgan vektorlar oilasi uchun kamida bittasi noldan farqli bo'lgan , sonlar mavjud bo'lib,
=0
tenglik o'rinli bo'lsa, vektorlar oilasi chiziqli bog'Ianishli deyiladi.
Izoh. Vektorlar oilasi chiziqli bog'Ianishli bo'lsa, uning birorta notrivial chiziqli kombinasiyasi nol vektor bo'ladi.
1-teorema. Ikkita vektordan iborat oila chiziqli bog'Ianishli bo'lishi uchun bu oila vektorlarining kollinear bo ‘lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. Oilaga tegishli ikkita va vektorlar chiziqli bog'Ianishli bo'lsa, kamida bittasi noldan farqli sonlari mavjud bo'lib, tenglik bajariladi. Agar bo'lsa, tenglikni hosil qilamiz. Bu esa birinchi tasdiqqa ko'ra va vektorlarning kollinear ekanligini ko'rsatadi.
Va aksincha, va vektorlar kollinear boisin. Ularning boshlarini bitta nuqtaga joylashtirsak, ular bitta to'g'ri chiziqda yotadi. Bu to’g’ri chiziqda vektorlar boshi joylashgan nuqtani koordinata boshi sifatida olib, koordinatalar sistemasini kiritamiz. Vektorlarning oxirlarini A va B harflar bilan belgilaymiz Vektorlardan bittasi, misol uchun noldan farqli vektor bo’lsin. Demak, va O nuqta A B kesmani biror λ nisbatda bo'ladi: BO OA=λ Endi tenglikni ko'rsatamiz. Agar vektorlar yo'nalishi bir xil bo'lsa, О nuqta A B kesmaga tegishli emas va λ <0. Agar vektorlar yo'nalishi qarama-qarshi bo'lsa, λ >0 bo'ladi. Shuning uchun va -λ vektorlarning yo'nalishlari bir xil. Ularning uzunliklari ham teng:
│ │= │ │= │λ││ │= │λ││ │= │-λ │.
Demak, bu vektorlar tengdir. Endi = tenglikdan tenglik kelib chiqadi. Demak, va vektorlar chiziqli bog'Ianishli oilani tashkil qiladi.
2 -teorema. 1) Vektorlar ollasiga nol vektor tegishli bo‘Isa, bu oila chiziqli bog'lanishlidar.
2) Vektorlar oilasi birorta chiziqli bog'Ianishli vektorlar oilasini o ‘z ichiga olsa, bu oila ham chiziqli bog'Ianishlidir.
Isbot.
1) Berilgan oilada bo'lsa, = 0 , sonlar uchun
tenglik o'rinli bo'ladi.
2) Berilgan oilada bir nechta k= 1,2,…m, m < n vektorlar chiziqli bog'Ianishli oilani tashkil qilsa, ulaming birorta notrivial chiziqli kombinatsiyasi nol vektor boiadi:

Biz agar va tengliklar bilan n ta sonlarni aniqlasak

tenglikni hosii qilamiz.
3-teorema. Uchta vektordan iborat oila chiziqli bog'Ianishli bo'lishi
uchun ularning komplanar bo ‘lishi zarur va etarlidir.
Jsbot. Oilaga tegishli uchta va vektorlar chiziqli bog'Ianishli
bo‘lsa, ularning komplanarligini isbotlaymiz. Chiziqli bog'lanishlikning
ta’rifiga asosan, kamida bittasi noldan farqli sonlar uchun

tenglik o'rinli bo'ladi. Aniqlik uchun noldan farqli boisin, unda

awalgi tenglikdan

tenglik kelib chiqadi. Bu tenglikda λ = , μ = belgilashlarni kiritib

tenglikni hosil qilamiz. Agar va vektorlarning
boshi bitta umumiy О nuqtaga joylashtirilgan bo'lsa, oxirgi tenglikdan
vektor λ va μ vektorlarga qurilgan parallelogramm diagonaliga tengligi kelib chiqadi. Bu esa ular bitta tekislikda yotadi deganidir, demak, ular komplanar vektorlardir.
Va aksincha, va vektorlar komplanar bo'lsin. Ular chiziqli bog'liqligini isbotlaymiz.
Berilgan uchta vektorlar orasida kollinear vektorlar bo'lgan holni chiqarib tashlaymiz. 1-teoremaga asosan, ushbu vektorlar jufti chiziqli bog'lik bo‘lar edi va berilagan uchta vektor ham chiziqli bog'liqligi kelib chiqar edi. Shuning uchun va vektorlar orasida hech bir jufti kollinear bo'lmagan holni ko'rib chiqamiz (xususan, ular orasida nol vektor ham yo'q). Vektorlarni bitta tekislikka ko'chirib, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtiramiz (6-chizmaga qarang). Keyin vektorning С uchi orqali va vektorlarga parallel to'g'ri chiziqlar o'tkazamiz, vektor yotgan to'g'ri chiziqning vektorga parallel to'g'ri chiziq bilan kesishish nuqtasini A deb belgilaymiz va vektor yotgan to'g'ri chiziqning vektorga parallel to'g'ri chiziq bilan kesishish nuqtasini В deb belgilaymiz. (Ushbu nuqtalarning mavjudligi, va vektorlar kollinear emasligidan kelib chiqadi). Vektorlarni qo'shishning parallelogramm qoidasiga ko'ra vektor va vektorlar yig'indisiga teng, ya’ni
tenglik o'rinlidir.
vektor noldan farqli vektorga kollinear (u bilan bir to'g'ri chiziqda yotuvchi), demak, shunday λ haqiqiy son topiladiki,

tenglik o'rinli bo'ladi. Xuddi shunga o'xshash, tenglik ham o'rinli. Bu tengliklardan

tenglik kelib chiqadi. Oxirgi tenglikni +(-1) = ko'rinishda yozib olish mumkin. Bu tenglikdagi λ , μ sonlaming kamida bittasi noldan farqli bo'lganligi sababli, oxirgi tenglik va vektorlarning chiziqli bog'lanishligini ifodalaydi. Teorema isbotlandi.
1-natija. Agar va vektorlar komplanar bo ‘Imasa, ular chiziqli erkli bo'ladilar.
2-natija. Ixtiyoriy uchta komplanar bo ‘Imagan vektorlar orasida ikkita kollinear vektorlar bo ‘la olmaydi. Shuningdek ular orasida nol vector ham bo ‘Imaydi.