Vektorlar va ular ustida amallar

2-4-§. AFFIN KOORDINATALAR SISTEMASI
Fazoda yoki tekislikda affin koordinatalar sistemasini kiritish uchun birorta bazis va bitta nuqta tanlanadi. Agar bazis va О nuqta berilgan bo'lsa, vektorning bazisdagi koordinatalari M nuqtaning affin koordinatalari deyiladi.
1- tarif. Berilgan basis uchun tengliklar bajarilsa, - ortonormal bazes deyiladi.
2- tarif. Ortonormal bazes yordamida berilgan koordinatalar sistemasi to‘g ‘ri burchakli yoki dekart koordinatalar sistemasi deb ataladi.
Teorema. Dekart koordinatalar sistemasida vektorning berilgan bazisdagi koordinatalari, uning koordinatalar о ‘qlariga tushirilgan proeksiyalari bilan ustma-ust tushadi.

Isbot. Bizga ortonormal bazis berilgan bo'lsa, ularning boshlarini О nuqtaga joylashtirib OXYZ koordintalar sistemasini kiritaylik. Agar

bo‘lsa, vektorning boshini koordinata boshiga joylashtirib, uning oxirini M bilan belgilaymiz. Agar M nuqtaning koordinata o‘qlariga ortogonal proeksiyalarini A , В , С harflari bilan belgilasak , tengliklarni hosil qilamiz. Ikkinchi tomondan kesmalarning kattaliklari mos ravishda x, y, z sonlariga teng bo‘lgani uchun , , munosabatlarni hosil qilamiz.
1-natija.
Isbot. Bizga o‘q berilgan bo‘lsin: shunday OXYZ koordinatalar sistemasi kiritamizki, OX koordinata o‘qi bilan ustma-ust tushsin. Agar
, )

bo‘lsa, teoremaga ko'ra va , tengliklami hosil qilamiz. Lekin vektorlarni qo'shganda ularning koordinatalari mos ravishda qo'shilgani uchun , munosabatni olamiz.

2-5-§. VEKTOR VA ARALASH KO‘PAYTMALAR
1-ta’rif Tartiblangan uchlikda vektor oxiridan vektorlar tekisligiga qaraganimizda dan ga qisqa burilish yo ‘nalishi soat mili yo'nalishiga qarama-qarshi yo'nalgan bo'lsa, bu uchlik o'ng uchlik deb ataladi. Agar bu yo ‘nalish soat mili yo ‘nalishi bilan ustma-ust tushsa, uchlik chap uchlik deyiladi.
Quyida o'ng va chap uchliklar ko'rsatilgan.
Shunda uchliklar o'ng, uchliklar chap uchlik hosil qiladi.

2-ta’rif. Ikkita va vektorlarning vektor ko'paytmasi deb shunday vektorga aytiladiki, bu vector kabi belgilanadi va:

1) ning uzunligi va vektorlarga qurilgan parallelogram yuziga tengdir: │ │=
2) vektor va vektorlarga peфendikulyar bo'lishi kerak:
, ;
3) vektorlar va vektor ko'paytma o'ng uchlik hosil qiladi:
Vektor ko'paytmaning xossalari:
1)
2)
3) ;
4) .
l-tasdiq. (Yordamchi fakt). Berilgan tekislikda vektor va unga perpendikulyar birlik vektor berilgan bo'lsin. Agar vektor tekislikka perpendikulyar va o'ng uchlik bo'lsa, tekislikda yotuvchi har qanday vektor uchun tenglik o'rinlidir.

Isbot. l)Vektorlar tengligini ko'rsatish uchun ulaming yo'nalishlari bir xil va uzunliklari tengligini ko'rsatamiz. Vektor ko‘paytmaning ta’rifiga ko'ra uninig uzunligi va vektorlarga qurilgan parallelogrammning yuziga tengdir: Chap tomondagi vektorning uzunligi esa ga tengdir. Agar parallelogrammning asosi sifatida vektorni olsak, uning yuzasi ga tengdir. Bu yerda h balandlik bo'lib, tenglik o'rinlidir. Demak, vektorlarning uzunligi tengdir. Endi ulaming yo'nalishi bir xil ekanligini ko'rsatamiz. Agar - o'ng uchlik bo'lsa, va vektorlar bir xil yo'nalishga ega. Bu holda va vektorlar vektorning bir tomonida joylashgan va > 0 bo'ladi. Agar -chap uchlik bo'lsa, <0 va vektor vektorga qarama-qarshi yo'nalgandir. Demak, vektor yo'nalishi vektor yo'nalishi bilan bir xil bo'ladi. Natijada tenglikni hosil qildik.

3-ta’rif. Uchta vektorlarning aralash ko'paytmasi deb, miqdorga aytiladi va quyidagi ko'rinishda belgilanadi:
2-tasdiq. Berilgan nokomplanar (chiziqli erkli) vektorlar o'ng uchlikni tashkil qilsa, ularning aralash ko'paytmasi ularga qurilgan parallelipipedning hajmiga, aks holda esa hajmning manfiy ishora bilan olinganiga tengdir.
Isbot: Biz vektorlarga qurilgan parallelipipedning hajmini V bilan belgilaymiz. Agar S bilan va vektorlarga qurilgan parallelogrammning yuzasini belgilasak, tenglik o'rinli bo'ladi.
Bu yerda vektor ko'paytma bilan bir xil yo'nalgan birlik vektordir. Skalyar ko'paytmani proeksiya yordamida yozsak, tenglikni hosil qilamiz.

Bu yerda absolyut qiymati bo'yicha vektorlarga qurilgan va asosi vektorlarga yasalgan parallelogrammdan iborat parallelipipedning balandligiga tengdir. Agar o'ng uchlikni tashkil qilsa, agar chap uchlikni tashkil qilsa, tenglik o'rinli bo'ladi. Bu yerda qaralayotgan parallelipipedning balandligidir. Shuning uchun formulani hisobga olsak biz bevosita tasdiq isbotini olamiz.

Endi biz vektor ko'paytma xossalarini isbotlashga kirishamiz.
1-xossa isboti va uchliklarningorientatsiyalari har xil ekanligidan kelib chiqadi: birinchi uchlik o‘ng orientatsiyaga, ikkinchi uchlik chap orientatsiyaga egadir.
2 -xossani isbotlash uchun ikkita holni ko‘ramiz λ > 0 va λ < 0.
Birinchi holda va λ vektorlar bir xil yo'nalishga ega va shuning uchun va vektorlar bir hil orientatsiyaga ega. Demak, va vektorlar uzunliklari teng va bir xil yo'nalishga ega.
Ikkinchi holda va λ vektorlar yo'nalishlari qarama-qarshi va va vektorlar uchliklari har xil orientatsiyaga ega boladi. Bundan esa va vektorlar qarama qarshi yo'nalishga ega ekanligi kelib chiqadi. Demak, va vektorlar bir xil yo'nalishga ega va uzunliklari tengdir.
3-xossa isbotini keltiramiz.

a) va komplanar vektorlar, o'ng uchlik bo'lib, vektorlar 1-tasdiq shartlarini qanoatlantiruvchi vektorlar bo'lsa, ikkita vektor ko'paytmani quyidagi ko'rinishda yozish mumkin.

Endi proyeksiya xossasidan foydalanib ,

tenglikni hosil qilamiz.
b) va komplanar vektorlar emas;
Bu holda vektorlarning barchasi vektorga perpendikulyar bo‘lganligi uchun ular komplanar oilani tashkil etadi. Demak, ular chiziqli bog‘lanishli bo'ladi, ya’ni kamida bittasi noldan farqli sonlari mavjud bo'lib

tenglik o'rinli bo'ladi.Bu tenglikdan

tenglikni hosil qilib, uning ikkala tomonini ga skalyar ko'paytiramiz va

tenglikni hosil qilamiz. Yuqoridagi aralash ko'paytma haqidagi tasdiqqa ko'ra

va
aralash ko'paytmalarning absolyut qiymatlari mos ravish , parallelipiped hajmlariga tengdir.
Bu parallelipipedlaming asoslari sifatida mos ravishda va , vektorlarga qurilgan parallelogrammlarni olsak, ularning balandligi tengligini ko'ramiz. Shuning uchun va tengliklardan va ularning asoslari yuzalari ham tengligidan bu hajmlaming tengligi kelib chiqadi.
Endi va aralash ko'paytmalar bir xil ishoralarga
ega bo'lishi, uchlik orientatsiyasi uchlik orientatsiyasi bilan ustma-ust tushishidan kelib chiqadi. Demak, Bundan esa munosobatni hosil qilamiz. Xuddi shunday usul bilan tenglikni isbotlaymiz.
Demak

tenglik o’rinlidir .

4-xossaning isboti va vektorlar parallel bo'lganda ular orasidagi burchakning sinusi nolga tengligidan kelib chiqadi.