Viviani’s theorem and related problems

III. 
Carnot’s Theorem 
As we were doing research, we encountered this theorem that features a figure similar to that of Viviani’s 
Theorem and it also deals with constant sums in a triangle. Therefore, we took an insight into the theorem 
and consider if we can somehow link it to Viviani’s Theorem. Carnot’s Theorem, established by Lazare 
Carnot, states that: 
Proof 
By Pythagoras’ Theorem: 
CD
2 
– CG
2 
= GD
2
 
AD
2 
– AG
2 
= GD
2 
CD
2 
– CG
2
 = AD
2 
– AG
2
 
 
CD
2 
– AD
2
 = CG
2 
– AG
2 
(a) 
Similarly, we have: 
AD
2 
– BD
2
 = AF
2 
– BF
2 
(b) 
BD
2 
– CD
2
 = BE
2 
– CE
2 
(c) 
(a)+(b)+(c): 
CD
2 
– AD
2 
+ AD
2 
– BD
2
 + BD
2 
– CD
2 
= CG
2 
– AG
2 
+ AF
2 
– BF
2 
+ BE
2 
– CE
2
 
CG
2 
– AG
2 
+ AF
2 
– BF
2 
+ BE
2 
– CE
2
 = 0 
CG
2 
+ AF
2 
+ BE
2 
= AG
2 
+ BF
2 
+ CE
2
 (Q.E.D) 
The converse of Carnot’s theorem states that
: 
To prove the converse theorem, we would first prove two lemmas: 
Theorem 7.1. For a triangle ABC, take interior point D from which we construct three 
perpendiculars to three sides. If E,F,G are points lying on those three perpendiculars on 
the sides, the following equation holds: 
CG
2 
+ AF
2 
+ BE
2 
= AG
2 
+ FB
2 
+ EC
2
 
Theorem 7.2. For a triangle ABC, if E,F,G are the pedal points of three perpendiculars on 
the sides such that the following equation holds: 
CG
2 
+ AF
2 
+ BE
2 
= AG
2 
+ FB
2 
+ EC
2
 
Then the three perpendiculars must converge at a point.

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
11 
Lemma 1:  
Let E be the midpoint of AB. 
HA
2
 - HB
2
 = k 
 - 
 = k 
(
 - 
)(
 + 
) = k 
 (
 + 
) = k 
 (
 +
 +
+
) = k 
. 2
 = k 
∴
 = 
 
k is constant, 
is constant, so 
is constant 
∴ There exists only one and only one point H satisfying the 
equation since
 is a directed segment with given magnitude. (Q.E.D) 
 
Lemma 2:
 
 
 
Let H and H’ be the foot of the perpendicular from C and D to 
AB, respectively. It is given: 
CA
2
 - CB
2 
= DA
2
 - DB
2 
By Pythagoras’ Theorem:
(HA
2
 + HB
2
) - 
 
(HB
2
 + HC
2
) = (H’A
2
 + H’D
2
) - 
 
(H’B
2
 + H’D
2
) 
HA
2
 - HB
2 
= H’A
2
 – H’B
2 
By Lemma 1: 
 
H
≡H’ 
 CH 
≡ DH’ 
∴ CD 

 AB (Q.E.D) 
 
 
 
 
Given point A and B and a constant k. There exists one and only one point 
H on segment AB such that: 
HA
2
 - HB
2
 = k 
 
Given segment AB and line CD. CD is perpendicular to AB if and only if: 
CA
2
 - CB
2 
= DA
2
 - DB
2
 

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
12 
Proof of converse of Carnot’s Theorem 
By condition, a and b are respectively 
perpendicular to BC and CA. Since BC, CA 
intersect at C, a and b intersect. 
Let O be the intersection of a and b. By 
Lemma 2: 
a, b, c converge

 O 

 c 

 PO ≡ c 

 PO 

 AB 

 PA
2
 - PB
2 
= OA
2
 – OB
2 

 (OB
2
 - OA
2
) + 
 
(PA
2
 -PB
2
) = 0 

 (MB
2
 - MC
2
) + 
 
(NC
2
 – NA
2
) + (PA
2
 – PB
2
) = 0 (Q.E.D) 
INSPIRATION
From our research of existing work, we noted that the general method to approach Viviani’s theorem and 
its extension is the application of the sum of area of triangles. So far, from the investigation on other studies 
that we have been referred to, there has been only 3 studies researching on Viviani’s theorem using vectors. 
Those include: Zhibo Chen & Tiang Lian (2012), Hans Samelson (2003) and Michel Cabart. The study of 
Zhibo Chen & Tiang Lian (2012) is indeed to prove the converse of Viviani’s theorem in triangles using 
the same method as Hans Samelson that working on unit vectors with trigonometry involved. The converse 
of Viviani’s theorem in triangles indeed has been developed and extended to polygons, suggesting the 
conditions for a polygon to possess CVS property (Elias Abboud, 2009); however, the approach to the 
extension of the theorem in the broader context did not remain the same: linear programming was involved. 
For Secondary school students, additional work and study is required before a complete understanding on 
this way of approach. Therefore, we were inspired to follow closely the approach using vectors, which are 
believed to be more appropriate to give an insightful understanding to Secondary School students. With a 
powerful geometrical tool as vectors, it is confidently believed that gaps in the previous work would be 
clearly clarified and explained.
Besides, there have been attempts to further investigate problems related to Viviani’s theorem such as loci 
of points, deduction of eclipse, Miquel triangles, etc. However, it has been observed that there is no attempt 
to establish a link between Viviani’s theorem with another geometrical theorem in the same field. Therefore, 
to show theorems in Mathematics are thoroughly coherent, we decided to introduce a relationship between 
theorems in the same Geometry field.