Viviani’s theorem and related problems

3. Regular polygons 
The extension of Viviani’s theorem in regular polygons states that: 
The most common method to prove the extensions related to Viviani’s theorem is to use the method of 
area sum.
Let S denote area. It holds: 
(
)
(
)
... 
(
)
× ×(∑
)
Noted that:
∑
= area of the polygon 
And is the length of sides of the polygon 
Thus:
∑
=
The converse of Viviani’s extended theorem for regular polygon, however, is not true. The converse of this 
Viviani’s theorem is stated as: “If the sum of distance of an arbitrary interior point P of a given polygon is 
a constant and independent of the location of that point, the given polygon is regular.” The statement can 
be proved to be invalid by the counterexample of CVS property of parallelogram, which is not a regular 
polygon, in Lit.rev 2.1. 
4. Equiangular polygons 
Theorem 4. In every regular polygon, the sum of distances from an arbitrary point 
inside the polygon to its sides is constant and is independent of the point’s position. 

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
7 
The Viviani’s theorem holds not only for regular polygons but also for equiangular polygons. The 
extension, when reducing the condition of the polygon from “regular” to “equiangular” becomes more 
relaxed compared to the previous results. It states: 
In “On Viviani’s Theorem and its Extensions” (p11, Example 4.6), Elias Abboud describes a proof for the 
extension above by locating inside the equiangular polygon a regular n-gon using parallel lines constructed. 
Here, the proof is represented. 
Proof 1 (Elias Abboud. 2009) 
Let equiangular n-gon ABCDE be 
ℋ. 
Locate inside 
ℋ a regular n-gon, ℱ. Rotate ℱ 
around its centroid until one of its sides is parallel 
to one side of 
ℋ. As both polygons have the same 
number of sides, the included angle in-between any 
two adjacent sides in each polygon is fixed. Hence, 
when one side of 
ℱ is parallel to one side of ℋ, all 
corresponding sides of both polygons are parallel. 
Let 
ℋ
  be the function of the sum of distance from 
point O to sides of polygon 
ℋ and 
ℱ
be the function 
of the sum of distance from point 
ℱ to sides of 
polygon 
ℱ: 
ℋ
 
= 
ℱ

+ FH
1
 + GH
2
 + IH
3
 
Because the area and lengths of the two polygons are fixed by condition, distances between its 
corresponding sides FH
1
, GH
2
, IH
3 
are constant. Thus, for any point O inside 
ℱ we have,
ℋ 
= 
ℱ 
+ c, 
where c represents the sum of distances between the parallel sides of 
ℋ and ℱ. 
By Viviani’s theorem for regular polygon, 
ℱ 
 
is constant. Hence, 
ℋ
 is constant. (Q.E.D) 
However, the converse does not hold true, and a counterexample is the parallelogram, which has CVS 
property though its angles are not equal.
The proof is creative as it tries to reduce the problem to existed problem by construction of perpendicular 
and parallel lines. However, the drawback of it is that the construction may take time if done manually.
Beside Elias Abboud, another mathematician, Michel Cabart has attempted to prove this theorem using 
another way. With vector approach, his solution was without words, simply by constructing vectors of Hans 
Samelson (Literature Review 1)
Theorem 5. The sum of distances from a point to the side lines of an equiangular 
polygon does not depend on the point and is that polygon's invariant
.
 

---

2020 Singapore Mathematics Project Festival Viviani’s Theorem and its Related Problems 
8