Xususiy hosilali differensial tanglamalar va ularni yechish usullari

3. Xususiy hosilali differensial tenglamalar va ularni yechish usullari
Agar differensial tenglamadagi noma’lum funksiya ikki va undan ortiq ko’p argumentlarga bog’liq bo’lsa, u xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi. Bunday tenglamalarning nomidan ko’rinib turubdiki, ularda funksiyaning erkli argumentlari bo’yicha xususiy hosilalari qatnashadi.
Oddiy differensial tenglamalardagi kabi xususiy hosilali differensial tenglamalar ham cheksiz ko’p yechimlarga ega. Bu yechimlarga umumiy yechimlar deyiladi. Xususiy yechimlar umumiy yechimlardan ma’lum shartlar asosida ajratiladi. Bu qo’shimcha shartlar tenglama qaralayotgan sohaning odatda chegarasida beriladi.
Xususiy hosiladagi erkli o’zgaruvchilardan biri vaqt bo’lishi ham mumkin. Bunday fizik va texnik masalalar amalda ko’p uchraydi. Qo’shimcha shartlar sifatida bunday tenglamalar uchun vaqtning biror belgilangan qiymatida izlanuvchi funksiyaning qiymatlari ishlatiladi. Masalan,shart boshlang’ich vaqt t=0 da (yoki umuman t= , =const) berilishi mumkin. Bunday shartga biz boshlang’ich shart deymiz.
Qo’shimcha shartlar soha chegarasida berilsa, bunday masalaga chegaraviy masala deyiladi.
Agar chegaraviy shartlar berilmasdan faqat boshlang’ich shart berilsa,bunday masalaga xususiy hosilali differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi deyiladi. Bunda masala cheksiz sohada qaraladi.
Masalada ham boshlang’ich, ham chegaraviy shartlar qatnashsa,bunday masalaga aralash masalalar deyiladi.
Bu yerda xususiy hosilali differensial tenglamalarning xususiy holi bo’lgan chiziqli tenglamalarni qaraymiz. Umumiy ko’rinishda ikkinchi tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli tenglama
+ + + + + = (3.1)
kabi yoziladi.Bunda = ( , ) izlanuvchi funksiya, erkli o’zgaruvchilar,indeksdagi x va y lar u funksiyaning x vay bo’yicha hosilalarini anglatadi. a,b,c,d,e,f,g koeffitsientlar umuman x,y va u ga bog’liq funksiyalar bo’lishi mumkin. Agar ular o’zgarmas sonlardan iborat bo’lsa, (3.1) tenglama o’zgarmas koeffisiyentli, va ga bog`liq funksiyalar bo`lsa – o`zgaruvchi koeffisiyentli va, nihoyat, , va ga bog`liq funksiyalar bo`lsa – kvazichiziqli deyiladi.
(3.1) tenglamaning tipi (turi) diskriminantning ishorasi bilan aniqlanadi. Agar bo`lsa, tenglama giperbolik, bo`lsa parabolik va bo`lsa, elliptik tipga tegishli bo`ladi.
Tenglamaning tipini aniqlash muhim ahamiyatga ega, chunki bir xil tipdagi har xil tenglamalar juda ko`p umumiy xususiyatlarga ega bo`ladi. Har xil tipga tegishli tenglamalarning xususiyatlari bir-biridan keskin farq qiladi. Tenglama o`zgaruvchi koeffisiyentli bo`lsa, qaralayotgan sohada uning tipi o`zgarishi mumkin. Masalan, sohaning bir bo`lagida parabolik tipga ega bo`lgan tenglama uning ikkinchi bo`lagida giperbolik tipga aylanadi. Bunday tenglamalarga o`zgaruvchi tipli tenglamalar deyiladi. Matematik masalalarning qo`yilishi ham har xil tipdagi tenglamalar uchun har xil bo`ladi.
Giperbolik tipga tegishli eng soda tenglama to`lqin tenglamasidir. U
(3.2)
ko`rinishga ega. Bunda izlanuvchi funksiya, u har xil masalalarda har xil fizik ma’noga ega, vaqt, chiziqli koordinata, -o`zgarmas koeffisiyent. Bu tenglama yordamida ingichga torlar, har xil materiallardan ishlangan tayoqlar va boshqa xildagi narsalarning ko`ndalang va bo`lama tebranishlari jarayonlarini o`rganish mumkin.
Quvurlarda qovushqoq suyuqliklarning nostatsionar harakati suyuqlik zichligi o`zgarmas bo`lganda

(3.3)
tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi. Bunda quvur ko`ndalang kesimi bo`yicha o`rtacha suyuqlik tezligi, -bosim, -vaqt, quvur o`qi bo`yicha yo`nalgan koordinata, suyuqlikda tovush tarqalishi tezligi, suyuqlik qovushiqligi, quvur diametri, .
(3.3) sistemadan ni istisno qilib (yo`qotib)
(3.4)
tenglamaga kelamiz.
Agar (3.3) sistemadan bosim istisno qilinsa, (3.4) tenglamaga o`xshash
(3.5)
tenglamani hosil qilamiz.
Ma’lumki, issiqlik tarqalish hodisasi Fur’ye qonuni asosida o`rganiladi. Agar jism sirtiga o`tkaziladigan issiqlik ta’siri vaqt bo`yicha juda tez o`zgarsa va jism har xil materiallar aralashmasidan iborat bo`lib, bu materiallar turli issiqlik xossalariga ega bo`lsa, Fur’ye qonunidan chetlanish yuz beradi. Issiqlik oqimi temperatura gradiyenti ma’lum darajada o`zgarganda o`zining statsionar holatiga darhol emas, ma’lum vaqt o`tgach erishadi. Bu o`tish vaqtining davomiyligi relaksatsiya vaqti deb ataluvchi kattalik bilan aniqlanadi. Umumlashgan Fur’ye qonuni


(3.6)
ko`rinishda bo`ladi. Bunda issiqlik oqimining relaksatsiya vaqti, issiqlik o`tkazuvchanlik koeffisiyenti, temperatura.
(3.6) qonun asosida
(3.7)
issiqlik uzatish tenglamasi keltirib chiqariladi. Bunda ga chiziqli bog`liq bo`ladi, temperatura o`tkazuvchanlik koeffisiyenti.
(3.4), (3.5), (3.7) tenglamalar giperbolik tipga tegishlidir, chunki .
(3.2), (3.4), (3.5), (3.7) ko`rinishdagi tenglamalar uchun odatda ikkita boshlang`ich va ikkita chegaraviy shart beriladi. Masalan, qaralayotgan soha [a, b] kesmadan iborat bo`lsa, funksiya


shartlarni qanoatlantirishi kerak. Bunda , , , funksiyalar ma’lum shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyalardir.
Umuman olganda shartlar boshqacha ham qo`yilishi mumkin.
Parabolik tipga tegishli tenglamalar ham juda ko`p fizik jarayonlarni tahlil qilishda ishlatiladi. Ularning asosiy vakili issiqlik uzatish tenglamasidir. Uni
(3.8)
ko`rinishda yozamiz. Bunda jismning solishtirma issiqlik sig`imi, -zichlik, -issiqlik manbaining kuchlanishi, boshqa belgilashlar (3.6), (3.7) dagi kabi, Laplas operatori. Bu operator har xil koordinatalar sistemasida har xil ko`rinishga ega.
Masalan: to`g`ri burchakli Dekart koordinatalar sistemasida:

silindrik koordinatalar sistemasida:
;
( silindrik koordinatalar);
sferik koordinatalar sistemasida:

( sferik koordinatalar).
(3.8) tenglamada bo`lsa,
(3.9)
tenglamani hosil qilamiz.
(3.8) yoki (3.9) tenglamalarni yechish uchun bitta boshlang`ich shart va chegaraviy shartlar berilishi kerak.
Boshlang`ich shart odatda bo`lganda jismning barcha nuqtalaridagi temperaturasi sifatida beriladi:
(3.10)
Chegaraviy shartlar esa bir necha turda beriladi:

1. 
   Birinchi tur chegaraviy shartlarda jismning sirtidagi temperatura ma’lum funksiyadan iborat deb qaraladi:
   

(3.11)

2. 
   Ikkinchi tur chegaraviy shartlarda jism sirtida issiqlik oqimi beriladi: (3.12)
   

jism sirti normalining birlik vektori. Fur’ye qonuniga binoan , shuning uchun yuqoridagi shart
(3.13)
shartga teng kuchlidir.

3. 
   Uchinchi tur chegaraviy shartlar
   

(3.14)
ko`rinishda beriladi. Bunda o’zgarmas son, - berilgan funksiya.
Elliptik tipdagi tenglama (3.8) tenglamadan statsionar holda hosil bo`ladi:
(3.15)
Bu tenglamaga Puasson tenglamasi deyiladi.
Agar issiqlik manbai yo`q bo`lsa, (3.15) dan
(4.16)
Laplas tenglamasiga ega bo`lamiz.
Laplas va Puasson tenglamalarini yechish uchun jism sirtida chegaraviy shartlar qo`yilishi kerak. Masalan, bu shart (3.11) ko`rinishda olinishi mumkin.
(3.1) tenglamada va o`zgarmas sonlar bo`lsa,
(3.17)
ko`rinishdagi ko`chirish tenglamasi deb ataluvchi tenglamani olamiz.
Xususiy hosilali differensial tenglamalarni yechish usullari xuddi oddiy differensial tenglamalardagi kabi bir necha guruhga bo`linadi: aniq usullar, taqribiy usullar va sonli usullar.
Aniq usullar bilan chiziqli xususiy hosilali tenglamalar sodda ko`rinishdagi chegaraviy va boshlang`ich shartlar bilan berilganda yaxshi natijalar olish mumkin. Bu guruhga o`zgaruvchilarni ajratish, tarqaluvchi to`lqinlar, manba funksiyalari, Laplas almashtirishlari va boshqa usullar kiradi.
Taqribiy usullar ham umumiy ko`rinishda berilgan masalalarni yechishda bevosita ishlatilishi mumkin emas. Faqat xususiy hollardagina, masalaning ayrim xususiyatlaridan foydalanib uni soddalashtirib taqribiy yechimlar olinishi mumkin. Eng ko`p ishlatiluvchi usullar sonli usullardir.

4.