Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar

Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning klassifikasiyasi. Kanonik ko`rinishga keltirish

Reja:

1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning klassifikasiyasi. Kanonik ko`rinishga keltirish

2. Xususiy hosilali differensial tenglamalarning umumiy yechimini topish

1. Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning klassifikasiyasi. Kanonik ko`rinishga keltirish

Differensial tenglamalar deb, noma`lumi bir yoki bir necha o`zgaruvchili funksiya va uning hosilalari qatnashgan tenglamalarga aytiladi.
Agar tenglamada noma`lum funksiya ko`p o`zgaruvchining (o`zgaruvchi 2 tadan kam bo`lmasligi kerak) funksiyasi bo`lsa, bunday tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Ta`rif: erkli o`zgaruvchining noma`lum funksyasi va funksiyaning ikkinchi tartibli xususiy hosilalari orasidagi bog`lanishga, ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi.
Ta`rif: fazoda ikkinchi tartibli xususiy hosilalari mavjud qandaydir funksiya berilgan bo`lsin ( ). U holda
(1)
tenglama umumiy holda berilgan xususiy hosilali differensial tenglama deyiladi.
Bu yerda - qandaydir funksiya.
Xuddi shunga o`xshash ko`p erkli o`zgaruvchili ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama quyidagi ko`rinishda ifodalanadi:
. (2)
Ta`rif: Ikkinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglama yuqori tartibli hosilalarga nisbatan chiziqli deyiladi, agarda u yuqori tartibli hosilalarga nisbatan ushbu ko`rinishga ega bo`lsa:
. (3)
Ta`rif: Quyidagi ko`rinishdagi tenglamalarga kvazichiziqli tenglamalar deyiladi:
. (4)
Ta`rif: Tenglama chiziqli deyiladi, agarda u barcha xususiy hosilalarga va noma`lum funksiyaning o`ziga nisbatan ham chiziqli bo`lsa, ya`ni quyidagi ko`rinishga ega bo`lsa,
. (5)
Ushbu tenglamada - (5) tenglamaning koeffitsientlari, - (5) tenglamaning ozod hadi deyiladi va ular oldindan berilgan deb hisoblanadi.
Ta`rif: Agar (5) tenglamada bo`lsa, u holda bu tenglama bir jinsli tenglama deyiladi. Aks holda, agar bo`lsa, (5) tenglama bir jinsli bo`lmagan differensial tenglama deyiladi.

Biz va erkli o`zgaruvchilarni teskari almashtirish natijasida, ya`ni

, (6)
berilgan chiziqli tenglamaga ekvivalent bo`lgan va soddaroq ko`rinishga ega bo`lgan tenglamaga ega bo`lishimiz mumkin.
Buning uchun (3) tenglamada va erkli o`zgaruvchilardan yangi va o`zgaruvchilarga o`tamiz:
(7)
(7) ifodalarni (3) tenglamaga keltirib qo`yib, va o`zgaruvchilarga nisbatan (3) tenglamaga ekvivalent bo`lgan quyidagi tenglamani olamiz:
, (8)
bu yerda
,
,
,