Xususiy hosilali differensial tenglamalar haqida asosiy tushunchalar

O`zgarmas koeffisiyentli xususiy hosilali differensial tenglamalarning umumiy yechimini topish

Misol. Quyidagi tenglamaning umumiy yechimini toping: u_xy=0.
Dastlab bo`yicha, so`ngra bo`yicha integrallaymiz, natijada yechimni olamiz. Ko`rib turganingizdek, xususiy hosilali differensial tenglamaning yechimida tenglama tartibiga teng miqdorda, ya`ni ikkita funksiya qatnashayapti, bu funksiyalar argumenti esa yechim argumentlari sonidan bitta kam.
Misol. Quyidagi tenglamaning ham umumiy yechimini topaylik:
u<sub>xyy</sub>=0.
Yuqoridagidek mulohaza yuritsak umumiy yechim:
.
Misol. Quyidagi tenglamaning ham umumiy yechimini topaylik:
u<sub>xyz</sub>=0.
Yuqoridagidek mulohaza yuritsak umumiy yechim:
.
Oxirgi misolda, ko`rib turganingizdek yechimda tenglama tartibiga mos uchta funksiya qatnashaypti, yechim uch o`zgaruvchili bo`lgani uchun bu funksiyalar argumenti ikki o`zgaruvchili.

2 Xususiy hosilali differensial tenglamalarning turi saqlanadigan sohada umumiy yechimini topish

Misol. Quyidagi tenglamaning turi saqlanadigan sohani topib, umumiy ychimini aniqlang: x²u_xx-y²u_yy=0.
- tenglama koeffisiyentlari. ifodaninig qiymatini hisoblaymiz. , hamma chorakda tenglamamiz giperbolik ekan. Yangi va o`zgaruvchilkarga o`tamiz :
, almashtirish yordamida berilgan tenglamani kanonik ko`rinishga keltiramiz. Kanonik ko`rinishi quyidagicha: .
Unda almashtirsh bajarib tenglamani yechamiz, natijada

yechimni olamiz. Dastlabki o`zgaruvchilarga qaytsak, biz izlayotgan umumiy yechim :

bo`ladi.