Xviii bob. Hosila yord amid a funksiyani tekshirish

---

XVIII
 
BOB. HOSILA YORD AMID A FUNKSIYANI
TEKSHIRISH
18.1. Funksiyaning extremal nuqtalarni topish
18.2. Funksiyani o‘sish va
 kamayish oraliqlarini toppish
18.3.
 Funksiyaning
 
qavariq oraliqlarini toppish
18.4.
 Funksiyaning
 
eng kata va eng kichik qiymatlarini topish
O‘suvchi
va
kamayuvchi funksiyalarga
ta’rif berilgan edi. Shunday 
bo'lsada,
ularni yana
bir 
eslaylik. (a; 
b)
intervalda
(u kesma
bo‘lishi
ham 
mumkin) aniqlangan
y=f(x)
funksiyani
qaraymiz. () intervaldan 
olingan argumentning istalgan 
Xl

qiymatlariga funksiyaning 
/(r)qiymatlari
mos kelsa 
y=f(x)
funksiya
(a-,b)
intervalda 
o
‘suvchi
 
deyilar edi. Shuningdek, (a; /?) intervaldan 
olingan argument­
ning
istalgan 
x,
2
qiymatlari uchun ,/'(x1
)>/(x2) bo‘
lganda, y = /(x) 
funksiya (a; 
b)
intervalda 
kamayuvchi deyilar edi. Bu yerda funksiya­
ning 
o
‘sish, kamayish oraliqlarini uning hosilasi yordamida aniqlash 
usuli bilan 
tanishamiz.
O
‘suvchi funksiyaning ta’rifiga binoan x2-x!>o bo
‘lganda 
/(x
2
)-/(x1
)>o bo‘ladi. Agar х2-х,=Дх, /(xJ-./'fxJ^Ду 
deb belgilasak, 
Av>o
va
Av>o ekanini, 
ya’ni orttirmalar 
bir xil ishorali ekanini 
ko
‘ramiz.
Shunday
qilib, 
o‘suvchi funksiya 
uchun — > о bo‘lar ekan. Shunga 
Дх
o‘xshash
kamayuvchi funksiya uchun ^<0 bo‘lishiga ishonch hosil 
qilish
qiyin 
emas.
1-teorema
 
(funksiya
o‘suvchi bolishining zaruriy sharti). Agar 
[a-b)
intervalda differensiallanuvchi 
y
 
= 
f(x)
funksiya shu intervalda 
o
’suvchi bo‘lsa, u holda bu funksiyaning hosilasi intervalning hech bir 
nuqtasida 
manfiy 
bo‘lmasligi 
zarur,
ya’ni (a; 
b)
intervaldagi barcha 
x
lar uchun /'(x) >o bo‘ladi.
229

---

Isboti.
 
Teoremaning
shartiga ko‘ra y=/(x) funksiya 
(a;b)
intervalda
o‘suvchi, shu 
sababli istalgan 
x&(a-,b)
uchun ^
v>o. Musbat 
Ax 
funksiyaning
limiti manfiy bo‘la olmasligi sababli £zw-^>o. Ammo 
zv ->o Дх 
teoremaning shartiga ko‘ra /(x) funksiya (a;Z>) intervalda differen- 
siallanuvchi bo‘lganligi
sababli /’(x)=ew?— chekli 
limit mavjud va 
Ax
(а;
ь) dagi barcha 
x
lar uchun f(x)
>o bo‘ladi. Teorema isbot bo
‘ldi.
2-teorema
 
(funksiya
kamayuvchi
bo
‘lishining zaruriy sharti). Agar 
(a;b)
intervalda
differensiallanuvchi y =
/(x) funksiya shu intervalda 
kamayuvchi
bo
‘Isa, u holda bu funksiyaning hosilasi intervalning
hech 
bir
nuqtasida musbat bo‘lmasligi zarur, ya’ni (a; 
b)
intervaldagi 
barcha 
x
lar uchun 
/'(x) < о bo‘ladi.
Teoremani
isboti
kamayuvchi funksiya uchun
Лу<о ekanini
Ax
hisobga olinsa
1-teoremang
isbotidagi mu- 
lohazalami takrorlagani uchun 
uni
isbotlashni o
‘quvchiga hovo- 
la
etamiz. 
Bu teoremaga quyi- 
dagicha
geometrik
izoh berish 
mumkin.
O‘suvchi 
funksiyaning 
grafigi 
Ox
o
‘q bo‘ylab o‘ngga 
harakatlanganda yuqoriga ko‘ta- 
rila
boradi.
у
110-chizma
Bu
holda
grafika urinma Ox o‘qning musbat yo‘nalishi bilan o‘tkir 
a
burchakni
tashkil etadi, yoki ba’zi-bir nuqtalarda у Ox o
’qqa parallel 
bo
‘
ladi.
Masalan x, nuqtada /,(x1)=o(llO-chizma).
O
‘tkir 
burchakning tangensi
musbat
(urinma Ox 
ga parallel 
nuqtalarda nolga teng) va hosilaning geometrik ma
’nosiga ko‘ra
230

---

= bo
‘lgani sababli o‘suvchi funksiya uchun 
kelib
chiqadi.
Kamayuvchi funksiyaning 
garfigiga urinma Ox o‘qning musbat 
yo'nalishi bilan 
o‘tmas 
burchak tashkil etadi, yoki Ox ga parallel boTadi. 
()‘
tmas burchakning tangensi manfiyligini 
hisobga olib kamayuvchi 
funksiya uchun / (x)< о tengsizlikka ega bo‘lamiz(l 11-chizma).
3- 
teorema 
(funksiya
o
‘suvchi bo‘lishining yetarlilik sharti). Agar 
[а; ь]
kesmada uzluksiz 
у =
/(x) 
funksiya 
(a;
intervalda
musbat hosilaga 
ega
bo‘Isa, u holda bu funksiya 
[a;
z>] 
kesmada
o‘
suvchi bo
‘ladi.
Isboti. 
Barcha 
a
uchun 
f'(x)>o
bo‘lsin.
(a;Z>) intervalga 
tegishli ikkita ixtiyoriy 
x,
 < x2
qiymatlarni
qaraymiz.
[x„ x2] kesma uchun 
Lagranjning
chekli ayirmalar formulasini yozamiz:
/(^
2
)-/(
X
l)=/'(C
)(X
2 
“
X
l)>
 
^
2
 
(1)
Teoremaning
shartiga
ko‘ra 
/
(x) > о.
Bundan
tashqari 
x2 
- x, > о. 
Shuning
uchun (1) tenglikdan 
./■(x2
)-/(x,)>o 
yoki /(x
2)>/(x
1
),ya’
ni 
/(x)
funksiya [a; ft] kesmada 
o
‘
suvchiligi kelib chiqadi. Teorema 
isbot bo
‘ldi.
4-
 
teorema
 
(funksiya
kamayuv­
chi
bo
‘lishining zaruriy sharti). Agar 
[a;
z>] kesmada uzluksiz
у
 
= f
 (*)
funksiya
(a;
b)
intervalda manfiy hosilaga ega bo
‘Isa, u holda bu 
funksiya
[a;
h] 
kesmada kamayuvchi
bo
‘ladi.
[a; 
b]
kesmada 
faqat o‘suvchi (faqat kamayuvchi) funksiya shu 
kesmada
monoton
o
‘suvchi 
(monoton kamayuvchi)
funksiya deb atalar 
edi.
Funksiya
faqat
o‘
suvchi yoki faqat kamayuvchi bo‘
ladigan 
intervallar 
uning monotonlik intervallari
deyilar edi.
1-misol. у = x2
funksiyaning monotonlik intervallarini aniqlang. 
Yechish. y'
hosilani topamiz: y= 2x.
231

---

x<0
da у<о va fiinksiya (-00;0) intervalda kamayadi;
x>0
da
y>o va funksiya (0;+oo) intervalda o‘sadi;
2-misol.
 
y
=
4x+sinx funksiyaning 
monotonlik intervallarini aniq- 
lang.
Yechish.
у 
hosilani topamiz: y=4+cosx. Barcha 
xe(-oo;+oo) uchun 
y>obo‘lganligi
sababli berilgan funksiya (-00;+00) intervalda o‘sadi.
Funksiyaning
 maksimum va minimumi
x0 nuqtada va uning 
atrfida aniqlangan 
y
 =
 f(x)
funksiyani 
qaraymiz.
1-ta
’
rif. 
Agar
y
 
= f(x)
funksiyaning x0 
nuqtadagi qiymati shu 
funksiyaning
bu 
nuqtaning yetarlicha kichik atrofidagi qolgan 
qiymatlaridan 
katta bo‘Isa, 
y =
 f(x)
funksiya x0 
nuqtada maksimum 
(maximum)ga
ega 
deyiladi.
Boshqacha aytganda, 
agar har
qanday yetarlicha 
kichik musbat yoki 
manfiy
Дх 
larda 
/(x0 + Ax)< y(x0) bo‘Isa, /(x) funksiya x0 nuqtada 
maksimumga ega deyiladi(Ax>oda 112-chizma). Bu holda 
xo
funksiyaning
maksimum
nuqtasi 
deyiladi.
2-ta’rif. 
Agar
y
 = f(x)
funksiyaning x
0
nuqtadagi qiymati
shu 
funksiyaning
bu 
nuqtaning yetarlicha
kichik atrofidagi qolgan qiymat­
laridan
kichik bo‘Isa, 
y
 = 
f(x)
funksiya 
x0 nuqtada minimum 
ga ega 
deyiladi.
232

---

Boshqacha 
aytganda, agar 
har qanday yetarlicha kichik musbatyoki 
manfiy
Ax larda /(x0 + Ax)>/(x0) bo‘lsa, /(%) funksiya x0 nuqtada 
minimumga
ega deyiladi (Ax>oda 
113-chizma). Bu holdaxo funksiya­
ning
minimum nuqtasi deb ataladi.
Masalan, 
у =
x2 funksiya
x=0 nuqtada 
minimumga ega, chunki x=0 
bo
Uganda 
y=0
va 
x
ning boshqa qiymatlariday>0.
1
- 
eslatma. 
[a;
z>] 
kesmada aniqlangan funksiya
o'zining maksimum 
va
minimum qiymatlariga 
x
ning shu kesma ichidagi 
qiymatlaridagina
erishadi. Boshqacha aytganda /(a), 
f(b)
qiymatlar 
funksiyaning maksimum
va minimum qiymatlari boUaolmaydi.
2-
 
esIatma. 
Funksiyaning
[a;
л] kesmadagi 
maksimum va minimumi- 
ni uning shu kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari deb qarash 
xato bo
‘ladi.
Funksiyaning maksimum qiymati uning funksiya maksi- 
mumga
ega nuqtaga yetarli darajada yaqin turgan
hamma nuqtalaridagi 
qiymatlariga
nisbatangina eng katta bo‘ladi. Funksiyaning minimumi 
haqida
ham
shunga o‘xshash 
gaplami aytish mumkin.
233

---

Funksiyaning
maksimumi 
uning minimumidan har doim 
katta 
bo
‘
ladi deb o‘ylash noto
‘g‘
ri. 114-chizmada [a;Z>] kesmada aniqlangan 
funksiya tasvirlangan. Bu funksiya:
x = x, va x 
= x3 nuqtalarda maksimumga ega; x
= x2 va x = x4 
nuqtalarda minimumga ega; 
lekin funksiyaning x
= x4 nuqtadagi 
minimumi uning
x = x1 nuqtadagi
maksimumidan katta. Funksiyaning 
x=b
nuqtadagi 
qiymati uning 
[а;
ь]
kesmadagi eng
katta qiymati bo‘ladi. 
Funksiyaning
maksimumlari va
minimumlari funksiyaning 
ekstremumlari
yoki
ekstremal qiymatlari 
deyiladi.Agar 
xo
nuqtada 
funksiyaning
ekstrimumga ega bo
‘Isa u holda bu nuqta funksiyaning 
ekstrimum
 
nuqtasi
deyiladi.
Izoh.
 
Biror oraliqda faqat o‘suvchi(faqat kamayuvchi) funksiya shu 
oraliqda ekstremumga ega bo‘lmaydi.
Ekstremum 
mavjudligining
 zaruriy
 
sharti
5-teorema. 
Agar
differensiallanuvchi y 
- /(%)
funksiya x0 nuqtada 
ekstremumga ega bo‘Isa, u holda uning shu nuqtadagi hosilasi nolga 
teng
bo
‘lishi zarur, ya’ni /(x) = o bo
‘ladi. ~
Isboti.
 
Aniqlik
uchun
funksiyaning 
x0 nuqtada maksimumga ega 
deb faraz qilamiz(l 15-chizma).
/'(x0
)= 
£im
—
>0
°
 Ах-»-0Дс
234

---

2)
v> 
v,lar uchun funksiya kamayuvchi va — demak,
Ax
/■'(x0)= 
/'(x
0
)>0
va
/'(x
0
)munosabatlardan 
/'(xo) = o 
kelib
Д«-»+0
Ду
chiqadi.
Teoremaning geometrik mazmuni shuni 
bildiradiki, differensial- 
lanuvchi
funksiya
uchun
ekstremum 
nuqtalarida 
urinma Ox o
‘qqa 
parallel bo
‘ladi. Biz 
shu paytgacha funksiya ekstremumga ega bo‘lgan 
nuqtalarda
differensiallanuvchi
deb faraz qildik. Funksiya hosilaga ega 
boMmagan
yoki 
hosilasi cheksiz bo‘
lgan nuqtalarda ham funksiya 
ekstremumga 
ega bo
‘lishi mumkin.