Xviii bob. Hosila yord amid a funksiyani tekshirish

 
2—
 
+ a
2
= 2a
boiganda
u 
eng 
katta yuzga ega bo4ar ekan.
Izoh.
 
Masalaning
natijasidan 
kanal qazish ishlarida, tamov yasash va 
hakozolarda
foydalanish
mumkin.
10-masala.
 
Yarim 
doiraga asosi yarim doira diametridan 
iborat 
boigan 
trapetsiya ichki chizilgan. Trapetsiyaning asosiga yopishgan 
burchagi qanday 
boiganda
trapetsiyaning 
yuzi eng katta 
boiadi(123-
chizma).
123-chizma
Yechish. 
Doiraning 
diametrini J, trapetsiyaning balandligini 
h,
trapetsiya yon tomonining katta asosidagi proeksiyasini 
x,
shu 
tomon 
bilan
asos orasidagi burchakni 
a
deb
olamiz.
U holda 
trapetsiyaning 
kichik
asosi 
d-2x,
balandligi 
h = xtga
va 
yuzi
s =
 d +
 ci^2xh = (d~x)xtga
boiadi. 
Ikkinchi tomondan chizmadan Pifagor teoremasiga ko‘ra
h2
 = 
- =dx-x2
ga ega bo‘lamiz. Bunga 
h = 
xtga
qiymatni
qo
‘ysak
250

---

x 
2tg2
a
= г/ x-x2
;
x 
2
tg
2a
+ x2 = 
d 
• 
x; 
x 2(\ +
 tg2a} = d ■ x; x----
\— = d; x -dcos2 a
cos 
a
kelib
chiqadi. 
Shunday
qilib,
5
=
(d
 - x)xtga 
- (d -dcos2 a\d
cos2 
a
 S—
=
cos2 
a\i
cosa sina =
d
2
sin
3 
acosa
cosa
boiadi.
Endi 
S(a) = 
d2
sin3 acosa 
funksiyaning
eng katta qiymatini 
topamiz.
S'(a)
 = d
2
(sin
3
acosa)
= i/2(3sin2acos2a -sin4a)= 
d
2
sin2 
a
cos2
a(3 
- fg2a)
S'(a)-0
yoki
d2
sin2 a cos2 a(3-ig2a)=0 
dan
sin
2 
a
cos
2 
a
*0
boigani
uchun
3-
tg
2a =
0; 
tg
2a
= 3, 
tga 
= 
+Л
kelib 
chiqadi. Shartga ko‘ra 
Q
bo ‘ lgani
sababli 
tga
=
7?, 
a
=
60°
kritik
qiymatga ega bo ‘ 
lamiz. о < 
a
<
60° 
bo ‘ Isa
tga
< Zg60° = л/З,
tg
2a
< 3, 3 
- 
tg2
a 
>
0 
va 
5'(a)
= 
d2
sin2
a
cos
2 а(з -
tg2
a) >
0 
boiadi.
60° < 
a
<
90° 
boiganda 
(g60° < 
tga\
 43 < tga,
3 
<
tg2
a\ 3-tg2
a <
0 
boiib,
5
(a) <0 
boiadi,
chunki
y =
 tgx
funksiya o‘suvchi. 
s(a)
funksiyaning
hosilasi
a
 =
60° kritik qiymatning chapidan o‘
ngiga o‘tganda ishorasini “+” 
dan
ga o‘
zgartirganligi uchun birinchi yetarlilik shartiga binoan
funksiya 
a =
60° boiganda
uning 
yuzi eng katta boiar ekan.
11-masala.Tunnelning ko‘
ndalang kesimi bir tomoni yarim doiradan 
iborat
to‘
g‘ri to‘rtburchak shakliga ega. Kesim 
perimetrii 25m. Yarim 
doira radiusi
qanday boisa,
kesim yuzi eng katta bo
‘ladi(124-chizma).
Yechish. 
Aylana uzunligini topish formulasi (7 = 2лЯ) ga binoan yarim 
doiraning
uzunligi
^(7^-yarim 
doiraning radiusi). To‘g‘ri to‘rt-
251

---

burchakning
asosini 
x,
balandligini 
у
orqali belgilasak kesimning peri- 
metri
shartga ko‘
ra 
x+2y+nR = 25 (a)
boiadi. Kesimning yuzi
to‘
g‘ri 
to
‘
rtburchak yuzi bilan yarim doira yuzining 
yig
‘indisidan iborat, ya’ni 
s = xy+±xR2
(/?) bo
‘ladi. 
x 
= 2R
boigani uchun
(a) dan
2R
+2y
 +
 TtR
= 25; 
у
-12,5 - ^-2 
R
kelib
chiqadi. 
у
ning topilgan
qiymatini 
( 
/7) gaqo‘yamiz. Uholda 
s = 2R^2,5-^^R^~nR2 =
= 25R 
~(я+
2}
r
2
 +
 
ля
2 bir o
‘
zgaruvchi 
R
ning funksiyasi kelib chiqadi. 
Endi
shu 5(Я) funksiyaning eng katta qiymatini topamiz.
S'(R) = 25 —2{я
+
2>
+ лЯ;
5'(Я) = 
-1{л
 
+
 2)+я
 =-я
-4 = -(я
+ 4> 
5'(Я)
= О
yoki
25-2(лг+2)я + яЯ
= о dan 25-дЯ-4Я = 0;.я = -^-«з,5 kelibchiqadi. 
я
 
+ 4
5"(Я)
= —(лч-4) < о boigani uchun ikkinchi yetarlilik shartiga 
asosan 
funksiya 
R=3,5m
boiganda tunnel kesimining yuzi
eng katta boiar 
ekan.
12-masala.
 A
zavodga 
yaqin boigan joydan berilgan to‘g‘ri chiziq 
bo
‘yicha 
В
shaharga qarab temir yoi 
oiqazilgan. Agar bir tonna yukni 
bir
km
ga tosh yoi bo‘
yicha tashish temir yo‘l bo‘yicha tashishga 
qaraganda
m
marta 
qimmatroq boisa, 
A
dan
В
ga
yuk
tashish eng 
arzon 
boiishi
uchun, 
A
zavoddan
temir yoigacha tosh yoini temir 
yoiga 
nisbatan
qanday
a
burchakostidao‘
tkazishkerak?(125-chizma).
Yechish.
 A
zavoddan
temir yoigacha
masofani 
b
 (AD=b), D
dan 
В
gacha
masofani 
a,
tosh
yoi 
bilan
temir yoi 
orasidagi burchakni 
a
orqali
belgilaymiz.
252

---

1 
tonna yukni tosh yo
‘lda 1 
km
ga tashish uchun 
d
so‘m
sarf bo
‘lsin. 
U
holda 
1 tonna
yukni temir yo‘
lda 1 km 
ga tashish uchun — so‘m 
m
sarflanadi. Yuk 
A
dan
В
gacha 
AC
 km
tosh yo
‘lda, 
CB
 km
temir yo
‘lda 
tashiladi. 
aacd
dan trigonometrik fimksiyalaming 
ta’rifiga
ko‘ra 
quyidagilarga
ega bo
‘
lamiz. 
— = sina,
лс
= -^- = -^—, — 
= ctga’,
AC
sin 
a sin a 
AD
DC
 = ADctga —
 bctga■
Demak 
Cff
 
= 
DB-DC = a-bctga.
Shunday qilib
tashilgan yuk 
A
dan
В
gacha 
ac
 
=
 —
—
km.ni
tosh yo‘lda o‘tib uni tashishga 
so‘mni 
sin a 
sin a
CB=(a-bctga)
km.ni temir yo‘lda 
o‘tib uni tashishga 
(a-bctga)
—
so‘m 
m
sarflanadi. U holda yukni tashish uchun hammasi bo
‘lib 
f{a)
 =
 ^-+(a-bctga)—
 
so‘
m 
pul sarflanadi. Endi 
a,
 
b,
 
d, m
 lami
sin a 
m
 
o
‘zgarmas hisoblab 
/(a) funksiyaning eng kichik qiymatini
topamiz.
1
rt
, 
4 Mcosa
bd
 ,
 Д-mcosa , ,m coscr
f
 (a) =-----
z +------ r— 
= bd
------ ------ =
 mbd —
—
5------.
sin
a zwsin 
a
sin
a
sin 
a
= Q
yoki
funksiya 
0; —
— 
-cosa =
 o 
dan
 
cos« =—
;
 a = arccos— 
kritik 
qiymat kelib chiqadi. 
cosa
 
mt
 
mm
da
kamayuvchi ekanini hisobga olsak 
a 
< 
arccos— 
m
bo
‘lganda
cosa
> —;
m
1
----
cosa 
I
 
1
---- cosa < 0, 
/'(a) = 
mbd
—
—
 -----
<0 VU 
a
> arccos—
bo
‘lganda 
cosa
<
—;
m
 
sin
 
a 
m
 
m
’
 2
—- 
cosa > 0,
 /'(a) > о
 
kelib chiqadi. 
Hosila 
a =
 
arccos— 
kritik
 nuqtaning 
m
 
m
chapidan
o
‘ngiga
o‘tganda ishorasini dan “+”
ga o‘zgartirganligi uchun 
birinchi yetarlilik shartiga ko‘
ra 
funksiya shu qiymatda minimumga ega 
bo
‘
ladi.
Shunday qilib, yukni 
A
zavoddan
В
shaharga
tashish
eng arzon 
bo
‘
lishi 
uchun tosh yo‘lni temir yo
‘lga 
a
=
arccos— 
burchak
ostida qurish
& 
w
lozim
ekan.
253

---

Xususiy
holda yukni tosh у о‘
Ida tashish temir yoidagiga qaraganda 
5
marta 
qimmat bo‘lganda eng kam xarajat qilish uchun tosh у о ini temir 
yoiga
a
 =
arccos^
« 78° 
burchak ostida o‘tkazish kerak ekan.
13-masala. 
Sayyoh
A
manzildan
chiqib tosh 
yoi bo‘ylab shu yo
‘
ldan 
8
km chetdajoylashgan 
va 
A
dan to‘g‘ri
chiziq bo‘yicha 17 km uzoqlikda 
joylashgan
В
manzil
tomon 
bormoqda. Sayyoh 
В
manzilga tezroq 
yetishish uchun tosh yoining qaysi joyidan 
В
manzilga 
burilishi
kerak?(126-chizma). 
Sayyoh
burilgandan so’ng 
В
manzilgacha yo
‘lsiz 
yuradi.
Sayyoh tosh
yoidagi tezligi 5 km/soat, 
yoisiz joydagi tezligi 
3km/soat.
Yechish. 
Aytaylik 
sayyoh tosh 
yoining 
M
nuqtasidan
5*manzilga 
burilsin.
Chizmadagi 
D
nuqta
bilan 
M
nuqta orasidagi
masofani 
x
orqali 
belgilaymiz.
To
‘g‘ri burchakli д 
bad
dan 
Pifagor teoremasiga asosan 
ad
 = 
J
ab
2-
bd
2
= 7i72-82 = 7289-64’= 7225 = 15, 
ya
’
ni 
AE>=15km kelib 
chiqadi.
Demak,
A
va 
M
orasidagi
masofa
am
 
= 
ad
-
md
 
= 
15-
x
gateng. 
AMB
marshrutni
o‘tish uchun sarflangan vaqtni 
t
orqali belgilaymiz. Sayyoh 
лм
= 15-х tosh
у о 
ini 
5km/soat tezlik bilan 15x (, = - formulaga
5
v
asosan)
vaqt 
oraligida bosib o‘tadi. 
kBMD
dan Pifagor teoremasiga
ko‘ra 
mb
 =
7s2 +x2
= 7б4+х2 
boiadi. Yoining 
MB
qismida 
3km/soat tezlik 
------—
bilan harakat qilgan sayyoh 
uni - +x vaqt oraligida bosib o‘tadi.
254

---

15
>/б4
----
Demak
AMB
marshrutni
o‘tish 
uchun sayyoh jami 
t =
vaqt
sarflaydi.
Ushbu 
t(x)
funksiyaning eng kichik qiymatini topamiz.
\ 
1/^ 
V 
Ц П~
л
-----
d 
1 1
(б4 + х2) 
1 
x 
-Зл/б4+х2 + 5x
5
V 
3V 
>
5 3
2^64+ x2 
5 
Зх/64 + x2 15л/б4 + х
2
f(x)
=
0 
yoki - Зл/б4+х2 + 5x
= 0 dan Зл/б4 + х2 =5x;
9
 64 
2 
A
------
; x
 = 36, x = 6 
16
9(б4 
+ 
х2)=25х
2;
9-64 + 9х2 = 25х2; 9-64 = 16х2; 
х
1
kritik
qiymat kelib chiqadi (chunki 
x
>
o).
л/б4 +
x2 - x • —----
Уб4 +
х2 _ 1
(л/б4 +
х2У 
3
bo
‘lgani uchun ikkinchi yetarlilik shartiga
64
+ x2
- x2
64
(б4+х2
)^ з(б4 + х2^
[
 
5 + 
3
л
/64 + 
х
2]
 
3
64
 
64
 
A
t (fi)
 
=
---------------r
 
=------- > 0
3(64
+ 36)1
3000
asosan x=6 qiymatda
t(x)
funksiya
eng kichik qiymatga 
ega bo‘ladi. 
Shunday qilib, sayyoh 
A
manzildan 15-6=9(km) 
yurgandan 
so‘ng 
В
manzilga 
burilsa u eng kam 
vaqt 
t
 = 
+
-6
^+ x—
= soat (/« 5 soatu 8 
minut)
sarflar ekan.
’ 
O‘
zingizni sinab ко‘ring:
1.
O‘suvchi 
va kamayuvchi funksiyalami ta’riflang.
2.
Funksiya
o‘suvchi
bo‘lishining zaruriy va 
yetarlilik shartlarini ayting. 
Bu teoremaning geometrik mazmuni nimadan iborat?
3. Funksiya 
kamayuvchi bo‘lishining zaruriy 
va yetarlilik shartlarini 
ayting. 
Bu teoremaning geometrik mazmuni nimadan iborat?
4. 
Funksiyaning maksimumi va minimumi nima?
5. Funksiyaning maksimumi va minimumi hamda eng katta va eng 
kichik qiymatlari orasida qanday farq 
bor?
6. 
Ekstremum mavjudligining zaruriy shartini ayting. Bu shartning 
geometrik mazmunini 
ayting. Zaruriy shartni yetarlilik emasligini 
ko‘
rsatuvchi misoliar keltiring.
7. Kritik nuqtani ta’riflang.
8.
Ekstremum mavjudligining birinchi yetarlilik shartini ayting.
255