Xviii bob. Hosila yord amid a funksiyani tekshirish

Isboti.
 
x
0 
-kritik nuqta bo‘lib uning chap tomonidan о‘ng tomoniga 
o‘
tishda /’(x) hosila ishorasini plyusdan minusgao‘zgartirsin, ya’ni x0 
nuqtaning
chapida hosila 
musbat, uning o‘
ngida hosila manfiy bo‘lsin. 
Demak 
shunday yetarlicha kichik musbat л>0 son mavjud bo‘
lib 
(х
0-л, x0) intervalda funksiyaning hosilasi 
f'(x)>o
va (х0
,х0 + л) 
intervalda
hosila /’
(x)
<
о bo‘ladi.
Funksiyaning
o‘sishi va 
kamayishi haqidagi teoremaga binoan 
[x0 
-h,
x0]
kesmada funksiya
o‘sadi, [x0, x0 +Л] kesmada esa u kamayadi. 
Demak, [х0-Л, х0 + л] 
kesmaga 
tegishli 
barcha 
x
lar uchun /(x)bo
‘ladi. Bu
/(x) 
funksiya 
x
 = 
x0
nuqtada 
maksimumga ega ekanligini 
ko
‘rsatadi(l
16-chizma).
Teoremaning
ikkinchi qismi 
ham shunga o‘xshash isbotlanadi(l 17- 
chizma).
Izoh.
 
x =
x0 
kritik nuqtaning bir tomonidan ikkinchi tomoniga 
o‘
tishda 
f'(x)
hosila ishorasini 
o‘
zgartirmasa 
x
 = 
x0
kritik 
nuqtada 
funksiya
ekstremumga
ega
bo‘
lmaydi.
236

---

5-misol.
 
у
= 2x
3 -9x2 +12X+1 
funksiyaning monotonlik intervallarini 
va ekstremumini toping.
Yechish.
1)
Berilgan funksiya (-«;+«) intervalda aniqlangan va 
d
ifferensiallanuvchi.
2)
Funksiyaning hosilasini
topamiz: 
y=6x2 -I8x+12.
3)
Kritik nuqtalarini
topamiz: 6x2 -18x+12 = о; x2 - 3x+2 = о;
3
(9 
3
1
xL2
- -±J--2
= -±-; xt = 1,x2 = 2
-kritiknuqtalar.
y=6(x-i)(x—2) 
hosilaning 
ishorasini intervallar usulidan
foydalanib 
tekshiramiz.
Demak,
(~a>;l) 
va
(2;+<«)
intervallarda 
y>o
bo
‘lgani uchun bu inter­
val
larda 
funksiya
o‘sadi, (1; 2) intervalda ybu inter­
valda
funksiya kamayadi. x=l 
kritik nuqtaning chap tomonidan o
‘ng 
tomoniga o‘tishda hosila ishorasini plyusdan minusga o
‘zgartirganligi 
uchun x=l 
kritik nuqtada funksiya maksimumga ega. x=2 kritik 
nuqtaning
chap
tomonidan o‘ng tomoniga o‘tishda hosila ishorasini 
minusdan 
plyusga o
‘zgartirganligi uchun bu kritik nuqtada funksiya 
minimumga
ega(l 18-chizma).
3
’max = У(1) =
Уш
= J(2) = 5 .
237

---

Funksiyaning
 kesmadagi 
eng katta va eng kichik qiymatlari
[a; b]
kesmada uzluksiz 
у =
 f(x)
funksiyani 
qaraymiz. Bu funksiya 
[a; ft]
kesmada o
‘zining eng katta va eng kichik qiymatlarini qabul qilishi 
aytilgan edi (18.5-teorema). Agar funksiya o‘zining eng katta (eng 
kichik) qiymatlarini
[a; ft] kesmaning ichki nuqtasida 
qabul qilsa u 
funksiyaning
(a; 
ft)
intervaldagi maksimum(minimum) qiymatlaridan 
biri
bo
‘ladi.
Bundan tashqari, funksiya o
‘zining eng katta va eng kichik 
qiymatlariga 
[a;
ft] 
kesmaning oxirlarida ham erishishi mumkin.
Shunday qilib, funksiyaning [a; ft] kesmadagi eng katta va eng 
kichik
qiymatlarini 
topish uchun quyidagi qoidaga ega bo‘
lamiz.
1. Funksiyaning (a; ft) intervaldagi barcha 
kritik nuqtalarini topib 
funksiyaning
bu nuqtalardagi qiymatlarini 
hisoblaymiz.
2. Funksiyaning 
kesmaning oxirlari x = a, x = ft nuqtalardagi 
qiymatlari 
f(a), 
f(b)
lami
hisoblaymiz.
Topilgan
qiymatlardan eng kattasi funksiyaning [a;
ft] 
kesmadagi 
eng
katta qiymati, ulardan
eng kichigi funksiyaning 
[a;
ft]
kesmadagi 
eng 
kichik
qiymati
bo‘
ladi.