Yan taraftaki açının değerini değiştirmek için ışınların arasındaki mesafe miktarını değiştirmemiz yeterlidir

AÇILAR

Tanım : Ortak uçlu iki ışının oluşturduğu şekildir.


Yan taraftaki açının değerini değiştirmek için ışınların arasındaki mesafe miktarını değiştirmemiz yeterlidir. Aksi halde dairesel çizgilerden büyük olanı büyük açı, küçük olanı küçük açı denmez. İki ışının arasındaki dairesel çizgiler her zaman eşit açı ölçülerini temsil eder. Zaten iki ışın arasına normalde sadece bir tane dairesel çizgi çizilir ve açının değeri üzerine yazılır. Burada dairesel çizginin aslında temsili bir işaret olduğunu belirtmek için 3 tane dairesel çizgi çizdim.



Yandaki sarı boyalı bölge ortak uçlu iki ışının oluşturduğu açıdır. Açı modelimizde çizdiğimiz dairesel çizgiler üzerine açının ölçüsü yazılır ve yan tarafta gördüğünüz her dairesel çizginin açı ölçüsü eşittir. Açı ölçüsünün değerini dairesel çizgiler belirlemez. Işınların başlangıç noktası belirler.




AÇILARDA BÖLGELER :

İç Bölge : İki ışın arasında kalan bölge açılarda iç bölgedir.




.B

.A

Yandaki açı modelinde ; A,B ve C noktaları üçgenin dış bölgesindedir.



Dış bölge

Dış bölge

Yandaki açı modelinde ; K ve M noktaları üçgenin iç bölgesindedir.



.M

.K
ÖR :


İç bölge


Dış Bölge : İki ışının arasında olmayan bölge dış bölgedir.


.C

İç bölge
ÖR :


Yandaki açı modelinde ; M noktası açının üzerindedir. Bu arada sakın M harfi açının iç bölgesinde duruyormuş gibi olabilir ama M harfinin yerini belirleyen noktasının bulunduğu yerdir. Noktası nerede ise M harfi de oradadır.


NOT : Işınların üzerinde olan noktalar açının üzerindeki noktalardır. İç veya dış bölgede gösterilmez.


.M
ÖR :


B.
AÇILARIN İSİMLENDİRİLMESİ : Açılar isimlendirilirken ışınların başlangıç noktası ve ışınların her birinin üzerinde belirtilen noktalar yardımıyla olur.


Yandaki ışının ismi köşe ortaya gelecek şekilde diğer iki noktanın arasına yazılarak bulunur. Yazım işleminin üstüne açı sembolü mutlaka yerleştirilir.



.C

A.


Açının ismi şeklinde ya da şeklinde gösterilir. Başlangıç noktası ortada olmak şartıyla sağa yada sola gelecek harfin sıralaması önemli değildir.

Ayrıca başlangıç noktasında sadece bir açı var ise ; sadece başlangıç noktasının üzerine açı işaretini koyarak da isimlendirme yapabiliriz. Yani şeklinde de isimlendirilebilir. Yalnız bu gösterim çok sık kullanılmaz. Genelde ilk gösterdiğim isimlendirme kullanılır.

Yine bazı gösterimlerde açının üzerine konulan işaret öne de konulabilir. Yani ya da şeklinde isimlendirilebilir. Aynı şekilde şeklinde de isimlendirilebilir.

Farkındaysanız yukarıda bir açı için çok fazla isimlendirme kullandım. Ama ilk verdiğim isimlendirme en yaygın olan isimlendirmedir.


Yanda verilen şekilde 3 adet açı vardır. Şimdi her birinin isimlerini ve bulundakları yeri belirleyelim.



.D







Üstte verilen açının ismi BD şeklinde belirtilir.

Üstte verilen açının ismi DC şeklinde belirtilir.

Üstte verilen açının ismi BC şeklinde belirtilir.


NOT : Yukarıdaki açıların başlangıç noktası A noktası olduğu için açılar isimlendirilir iken A noktası her seferinde ortaya yazıldı.

Ayrıca açıların isimlendirilmesi kısmında sadece şeklinde de isimlendirilebilir demiştim. Ama bu durum burada geçerli değil çünkü başlangıç noktasında birden fazla açı oluşabiliyor. Sadece A açısı yazarsak hangi açıdan bahsettiğimiz belli olmaz. Sadece A açısı yazabilmemiz için başlangıç noktasında tek bir açı olmalı. Yukarıda 3 adet açı oluştu.

Açıları Ölçme : Açı ölçümü iletki(açı ölçer) ile yapılır. İletki ile açı ölçümünün aşamaları aşağıdaki gibidir;

• 
  İletkinin düz kısmı ışınlardan birinin tam üzerine gelecek şekilde çakıştırılır.
  
• 
  Işınların başlangıç noktası ile iletkinin merkezi üst üste getirilir.
  
• 
  İletkinin düz kısmı ile çakıştırılmayan diğer ışının iletkinin üzerinde gösterdiği değer o açının değeridir.
  

Aşağıda bir açının çizimini vereceğim.


İletkinin düz kısmı ile çakıştırılmayan diğer ışının iletki üzerinde gösterilen değeri 47 derece olduğu için bu açının ölçüsü 47 derece olarak bulundu.

İletkinin merkezi ile ışınların başlangıç noktaları çakıştırıldı.

Işın ile iletkinin düz kısmı çakıştırıldı.


Sonuç olarak yukarıdaki ışının açısal değeri 47 derece olarak bulundu. 47 dereceyi açının ismini kullanarak göstermek için; Açının adı parantez içinde yazılır ve parantezin önüne küçük ‘s’ konularak eşittir 47 derece olarak gösterilir. Yani ;


s(CB)= şeklinde gösterilir.


Sizde evde ratgele açı ölçümleri yapınız. Ölçüm yaparken iletki kullanmayı unutmayınız  .

NOT : Gönye de bir açı ölçme aletidir yalnız gönye özellikle dik açıları ölçmeye yarayan dik üçgen biçiminde bir alettir.












.

.

.

.

.

.

.

.

.








NOT : Yukarıdaki ışınların başlangıç noktalarında sadece bir açı oluşabildiği için açı ölçümlerini sadece başlangıç noktasını kullanarak da gösterebilirdik.

1. gösterdiğim açı için ; şeklinde de yazabilirdik.

2. gösterdiğim açı için ; şeklinde de yazabilirdik.

3. gösterdiğim açı için ; şeklinde de yazabilirdik.

Aşağıdaki açı modellerini inceleyilim ;


.

Yandaki açı modellerinde ;











.



.

.

.





Yandaki açı modellerinde ;


Komşu Açılar : Köşeleri ve birer ışınları ortak olan açılar komşu açılardır.



Ters Açılar : İki doğrunun kesişmesi sonucunda ters yönde oluşan eş açılara ters açılar denir.


Yandaki açı modellerinde ;





NOT : Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.









.

.

.








TÜMLER VE BÜTÜNLER AÇILAR :





Tümler Açılar : Ölçüleri toplamı 90 derece olan iki açıya tümler açı denir.


Yandaki açıların toplamı 90 derece olduğu için;

PR açısı ile KT açısı tümler açılardır.

s(PR) + s(KT) =



.

.



.







.

.

.


Komşu Tümler Açılar : Dik açı oluşturan komşu açılara komşu tümler açılar denir.




.

.







.

.






Bütünler Açılar : Ölçüleri toplamı 180 derece olan iki açıya bütünler açı denir.


Yandaki AD ile DC açılarının toplamı 90 derecedir. Bu iki açı aynı zamanda komşu açılar oldukları için komşu tümler açılardır.

s(AD) + s(DC) =



Yandaki GB ile KM açılarının toplamı 180 derecedir. Bu iki açıya bu yüzden bütünler açılar denir.

s(GB) + s(KM) =



.

.







.

.











.

.


Komşu Bütünler Açılar : Doğrusal bir çift oluşturan komşu açılara komşu bütünler açılar denir.


Yandaki PT ile TS açılarının toplamı 180 derecedir. Bu iki açı aynı zamanda komşu açılar oldukları için komşu bütünler açılardır.

s(PT) + s(TS) =

s(PS)= olduğuna dikkat ediniz. 180 derecelik açılara doğrusal açılar dendiğini unutmayalım.

.





.











.



.



Not : Tümler açılar ve bütünler açıları karıştıran öğrenciler için basit bir hatırlatma yöntemi vereyim. Tümlerin harf sayısı az olduğu için 90 dereceyi temsil eder, bütünlerin harf sayısı fazla olduğu için 180 dereceyi temsil eder.


ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR

1. [KM ve [KC ışınlarının oluşturduğu açı aşağıdakilerden hangisidir ?

A) KC B) KM C) MC D) CK


Açı isimlendirmelerinde iki ışının kesişim noktası ortaya gelecek şekilde yazılır. Işınlarının kesişim noktasının sağına ve soluna gelecek olan harf ise farketmez. Öyleyse açımızın ismi MC ya da CM’ dir. Doğru cevap C şıkkıdır. Ayrıca K noktasının etrafında başka bir açı oluşmadığına göre bu açının ismini sadece açısı olarak da isimlendirebilirdik.

.
ÇÖZÜM :


M



T

C

K

.

.



Yanda verilen TAK açısında aşağıdakilerden hangisi mevcut değildir?

A) [AT] B) [AK] C) [AT D) [KA

.
2.


M

K

L

S

K

A

.

.


ÇÖZÜM : Yukarıdaki açı modelinde şıklarda verilenlerden AT doğru parçası vardır, AK doğru parçası vardır ve AT ışını vardır. D şıkkındaki [KA ışını ise yoktur. Çünkü ışın modellerinde yazılım başlangıç noktasına göre yapılır. D şıkkının doğru olabilmesi için [AK ışını şeklinde yazılmalıydı ki AK ışını açı modelimizde mevcut olurdu. D şıkkı doğru cevaptır.


Yanda verilen LMD açısına göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) E noktası LMD açısının elemanıdır. B) S noktası LMD açısının dış bölgesindedir. C) K noktası LMD açısının dış bölgesindedir. D) D noktası LME açısının elemanıdır.

.

.

.
3.


.



E

D

.

.


ÇÖZÜM : Verilen açı modelinde E noktası LMD açısının elemanıdır. Buradaki elemanıdır cümlesi noktanın tam açı üzerinde olduğunu belirtiyor. S noktası LMD açısının dış bölgesindedir. K noktası ise LMD açısının iç bölgesindedir. İşaretlememiz gereken şık C şıkkıdır. D şıkkında bir çeldirici var. Soruda LMD açısı olark yazdık ama D şıkkında LME açısı olarak isimlendirilmiş. LMD açısı ile LME açısı aynı açıyı ifade eder. Çünkü D noktası ve E noktası aynı ışın üzerindedir. Önemli olan başlangıç noktası olan M noktasını ortaya almak ve diğer iki ışından birer noktayı sağına ve soluna yazmak. Dolayısıyla LME ışınında herhangi bir yazım hatası yoktur ve D noktası da LME açısının tam üzerinde olduğu için D noktası LME açısının elemanıdır.


Yanda verilen şekle göre TZV açısı ile YV doğrusunun kesişimi aşağıdakilerden hangisidir?

A) VY B) {V,Y}

C) [ZV D) [ZY

T

.

Y

V

Z

.

.

.
4.


TV açısı mavi renk ile boyandı.

YV doğrusu kırmızı renk ile boyandı.

Her ikisinin kesişimi Y ve V noktaları sarı renk ile gösterildi.

Doğru cevap B şıkkı.
ÇÖZÜM : Bu tarz soruların çözümü için kesişimi istenen ögelerin her biri farklı renklerde boyanır. Boyama sonucunda renklerin kesiştiği yer bizim cevabımız olacaktır. Aşağıdaki çözüm şeklini inceleyiniz.



NOT : Bu tarz kesişim sorularında doğru cevap her zaman nokta çıkacak diye bir durum yok. Kesişim ışın da olabilir, doğru parçası da olabilir, doğru da olabilir. Burada ortak eleman Y ve V noktaları oldu.

Bu sorunun cevabını matematiksel olarak şu şekilde ifade edebiliriz;




A) LOK açısını 70 derece arttırır isek dik açı oluşur. B) LOK açısını 80 derece arttırır isek geniş açı oluşur. C) LOK açısı 160 derece arttırır isek doğru açı olur. D) LOK açısını 20 derece düşürürsek dar açı oluşur.

L

.

K

Yanda verilen açıölçerde iki farklı ışının oluşturduğu açı 20 derece olarak ölçülmüştür. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?



.

.

O

.
5.


ÇÖZÜM :

A) 20 + 70= 90 derece dik açı olur (doğru) B)20 + 80= 100 derece geniş açı olur (doğru) C) 20 + 160= 180 derece doğru açı olur (doğru) D) 20 −20= 0 derece dar açı olmaz. (yanlış)



E

B

Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?

A) ile komşu açılardır. B) ile komşu açılardır. C) ile komşu açılardır. D) ile komşu açılardır.

T

K

C

D

M

.

.

.

.

.
6.

ÇÖZÜM : İki açının komşu açı olabilmesi için aralarında başka bir açı olmaması lazım. d şıkkında DC ile KT arasında KC açısı var.Dolayısıyla DMC açısı ile KMT açısı komşu açı olamaz.


Bizden s(TB) açısının ölçüsünü istemiş. TAB açısı yandaki şekilde boyalı olarak belirtilen KAE açısı ile ters açıdır. Ters açılar birbirine eşit olduğu için;

s(KE) = s(TB) =

A şıkkı doğrudur.

Yandaki şekle göre aşağıda verilen açı ölçülerinden hangisi yanlıştır?

A) s(TB)= B) s(KD)=

C) s(LK)= D) s(LB)=

A

D

T

L

K

.

.

.

.

.

.

.




7.

ÇÖZÜM : Her bir şıkkı ayrı ayrı inceleyelim ;

A şıkkı ;






Bizden s(KD) açısının ölçüsünü istemiş. KAD açısı yandaki şekilde sarı renk ile gösterilmiştir. Sarı bölge KAE açısı ile EAD açısı olmak üzere iki parçadan oluşuyor. s(KE)= olduğu belli. Bize pembe ile boyadığım bölge lazım ki o EAD açısı 60 derecelik ölçüye sahip olan LAT açısı ile ters açıdır. Bu iki ters açıyı özellikle pembe ile boyadım. Ters açıların eşit olduğunu bildiğimize göre ; s(KD)= s(KE) + s(ED)= +=

B şıkkı doğrudur.
B şıkkı ;








Yandaki şekilde pembe ile boyadığım açılar ters açılardır. Ters açılar da birbirine eşit olduğu için TB açısının ölçüsü 40 derece olmak zorunda.

s(L)= s(LT) + s(TE) olduğuna göre ;

s(L)= + = olur.

D şıkkı yanlıştır.



Yandaki şekilde yeşil ile boyadığım açılar doğrusal bir açı oluşturuyor. Doğrusal açılar bir doğrunun tamamını içeren açılardır. Doğrusal açılar toplamı her zaman 180 derecedir.

s(T)+ s(LK) + s(KE)= olmak zorunda. TAL açısı ile KAE açısı toplamı 100 derece olduğuna göre LAK açısı 80 derece olmalı ki toplamda bir doğrusal açı versin.

C şıkkı doğrudur.
C şıkkı ;





D şıkkı ;


Yandaki şekilde iki komşu tümler açı verilmiştir. Verilmeyen açı aşağıdakilerden hangisidir?

A) B) C) D)





.
8.

ÇÖZÜM : İki tümler açının toplamı 90 derecedir. Biri 25 olduğuna göre diğeri 90-25= olmalı.