Z5 ustidagi ko`phad doc

Isboti:

( p 1)¹  1(mod p)
taqqoslama o‘rinli bo‘ladi.

p
Fermaning kichik teoremasiga ko‘ra ^p modul bo‘yicha chegirmalar maydoni ^{Z p} ning barcha noldan farqli elementlari,

p
x ^{p 1}  1 Z [x]
ko‘phadning ildizi bo‘ladi.
x ^{p 1}  1 Z [x]
^{Z p} maydonda

^{p  1} ta noldan farqli elementlar bor shuning uchun bu ko‘phad

Z _p [x]

halqada chiziqli ko‘paytuvchilarga ajraladi. Bundan tashqari uning

barcha ildizlari tub. Bu ildizning ko‘paytmasi
^{( p  1)} ! sonning ^p modul bo‘yicha chegirmalaridan iborat bo‘ladi. Viet

_
formulasiga ko‘ra esa u ¹

chiqadi.

– ga teng bo‘ladi. Bundan Vilson teoremasi kelib

^p tub son bo‘lsin.

Ta'rif:

^p modul bo‘yicha algebraik taqqoslama deb

^а₀ ^{ а}₁ ^{х  а}₂ ^{х 2  ...  а}_n ^{x n} _≡ 0(mod p)

(4)

ko‘rinishdagi taqqoslamaga aytiladi. Bu yerda butun sonlarni qabul qiluvchi noma'lum son.

^{a0 , a}1 ^{, a} 2 ^{,, an} - butun sonlar ^x esa

Taqqoslamaning umumiy xossalaridan quyidagilar kelib chiqadi.

1. 
   Agar (4) taqqoslamaning koeffitsiyentlari ^p modul bo‘yicha ular bilan taqqoslanuvchi ^ butun sonlar bilan almashtirilsa u holda hosil bo‘lgan taqqoslama (4) taqqoslamaga ekvivalent bo‘ladi.
   

2. 
   Agar ^x0
   

-(4) taqqoslamaning yechimi bo‘lsa u holda
^x0 bilan ^p modul

bo‘yicha taqqoslanuvchi ^ butun sonlar ham bu taqqoslamaning yechimi bo‘ladi.

Ta'rif:

Agar (4) taqqoslamaning barcha koeffitsiyentlari

a₀ , a₁ , a ₂ ,, a_n
^p ga bo‘linsa u holda (4) –trivial taqqoslama deb ataladi.

Bu holda (4) taqqoslama ^x ning ^ qiymatlarida bajariladi. Trival bo‘lmagan
algebrik taqqoslamalarni 1-xossadan foydalanib ^{a0 p} ga bo‘linmaydigan
ko‘rinishga keltirish mumkin. Buning uchun taqqoslamadagi koeffitsiyentlari ^p
ga bo‘linadigan hadlarni (agar ular mavjud bo‘lsa) tashlab yuboriladi.

Ta'rif:

4. 
   taqqoslamada ^{a0 p} ga bo‘linmasa u holda ⁿ soni bu
   

taqqoslamaning darajasi deyiladi. ^{ a} butun son uchun ^a ni o‘z ichiga


oluvchi ^p modul bo‘yicha chegirmalar sinfini ^a

sinflar ustida aniqlangan amallardan
 ^x0  Z

bilan belgilaymiz. Chegirma

da
а₀  а₁ х  а₂ х ²  ...  а_n x ⁿ _ а₀  а₁ х  а₂ х ²  ...  а_n x ⁿ

kelib chiqadi.

^x0 soni (4) taqqoslamaning yechimi bo‘ladi, faqat va faqat shu holdaki

(5)

_
а₀  а₁ х  а₂ х ²  ...  а_n x ⁿ _{ 0}

bo‘lsa

4. 
   ga ko‘ra oxirgi tenglikni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
   

_
а₀  а₁ х  а₂ х ²  ...  а_n x ⁿ _{ 0}

bundan ko‘rinadiki ^x0
chegirmalar sinfi ^{Z p}

_
_ustidagi а₀  а₁ х  а₂ х ²  ...  а_n x ⁿ _{ 0}

algebrik tenglamaning yechimi bo‘ladi.

4. 
   

Shunday qilib, ^p modul bo‘yicha algebrik taqqoslama algebraik tenglamadan faqatgina ^{Z p} maydon ustida aniqlanishi bilan farq qilar ekan.
(4) taqqoslamaning yechimlar sinfi deb uning yechimidan tashkil topgan
^p modul bo‘yicha chegirma sinfiga aytiladi. Bu sinf (6) tenglamaning bitta yechimiga mos keladi ravshanki, (6) tenglamaning darajasi (4) taqqoslamaning darajasiga teng bo‘ladi.

Teorema.

Trival bo‘lmagan tub modul bo‘yicha algebraik taqqoslamaning yechimlar sinfining soni uning darajasidan katta emas.
2-tomondan, ravshanki, ^ algebrik taqqoslamaning yechimlari sinfining
soni ^p dan katta bo‘la olmaydi. ( ^p modul bo‘yicha barcha chegirma sinflarining soni) Shuning uchun ^{n  p} bo‘lganda bu teorema hech narsani ifodalamaydi. Yuqorida biz ko‘rdikki,
_{ f} (x)  Z _p [x]

ko‘phad bo‘yicha darajasi
^{p  1} dan f (x)
bilan bir xil qiymatlar qabul qiluvchi
f₀ (x)  Z _p [x] ko‘phadni tuzish mumikn. Ravshanki,f ₀ ( x)  0
tenglama
f ( x₀ )  0 tenglamaga ekvivalent bo‘ladi. Bu usuldan foydalanib ^ algebraik taqqoslamani o‘ziga ekvivalent bo‘lgan darajasi dan oshmagan taqqoslamaga almashtirish mumkin.
Masalan:
x⁷  x⁵  x ⁴  x³  x  1 x _≡ ^{0(mod 3)}
p  1taqqoslama


_{x2  x  1 ≡} 0(mod 3)

taqqoslamaga ekvivalentdir.
Chekli maydon ustidagi algebrik tenglamalarni (hech bo‘lmaganda, prinsipga ko‘ra) maydonning barcha elementlarini noma'lum o‘rniga navbat bilan qo‘yib ko‘rish orqali yechish mumkin. Shuning uchun algebraik taqqoslamalarni ham xuddi shu yul bilan yechish mumkin bo‘ladi.

Masalan:

8x⁹  17x⁸  31x⁶  12x⁵  7x ⁴  2x  11 _≡ ^{0(mod 5)}

Taqqoslamani yechaylik. Buning uchun unga mos ^Z5
algebraik tenglamani hosil qilamiz:
maydon ustidagi

^{  _}  ^  ^{_
3 x 9}  ^{3 x 7}  1 ^{x 6}  2 ^{x 5}  ^{3 x} 4  2 ^x  1 ^{ 0}
Qulaylik uchun chegirma sinfni ifodalovchi chiziqlarni yozmaslikka kelishamiz. Hosil bo‘lgan tenglamaning chap tomonini o‘ziga ekvivalent bo‘lgan ko‘phad bilan almashtirsak.
3x  3x ⁴  x²  2x  3x ⁴  2x  1  x ⁴  x ²  2x  1
quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz.

x⁴  x²  2x 1  0
Gorner sxemasi yordamida ^{x } 0,±1,±2 qiymatlarda (ya'ni ^x

ning qabul qilishi mumkin bo‘lgan barcha qiymatlarida) ko‘phadning qiymatini hisoblaymiz.

	1	0	1	2	1
0	1				1
-1	1	-1	2	0	1
1	1	1	2	-1	0
-2	1	-2	0	2	-3
2	1	2	0	2	0

Demak, tenglamaning yechimi 2 ta 1 va 2 u holda yuqoridagi taqqoslamaning yechimi 5 ^k +1 va 5 ^k +2 sonlari bo‘ladi. Endi

x¹⁰⁰  10x⁵¹  10x¹⁰  100x _≡ 0 ^(mod11)
taqqoslamani yechamiz. Bu taqqoslamaga mos yozamiz.
Z₁₁ maydon ustidagi tenglamani
x¹⁰⁰  x⁵¹  x¹⁰  x  0
bu tenglamaning chap tomoni


x¹⁰  x  x¹⁰  x  0
ko‘phadga ekvivalent, demak yuqoridagi tenglama ^{0  0} -trivial tenglamaga ekvivalent. Uning yechimi Z₁₁ maydonning barcha elementlaridan iborat bo‘ladi, berilgan taqqoslamaning yechimi esa barcha butun sonlardan iborat.

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

1. B.L. Van der Varden. Algebra. M., Nauka, 1976.

2. Kostrikin A.I. Vvedeniye v algebru. M., 1977, 495 str.
3. Leng S. Algebra. M. Mir, 1968.
4. Kurosh A.G. Leksii po obщyey algebre. M. Nauka, 1976.
5. Faddeyev D.K. Leksii po algebre. M., Nauka, 1984, 415 st.
6. Faddeyev D.K., Sominskiy I.S. Sbornik zadach po vыsshey algebre. M., Nauka, 1977.
7. Sbornik zadach po algebre pod redaksiyey. A.I. Kostrikina, M., Nauka, 1985.
8. Xojiyev J., Faynleb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi, Toshkent, «Uzbekiston», 2001.