Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

Eslatma. Ikkinchi tur sirt integralining yozilishidan, integral sirtning qaysi tomoni bo‘yicha olinganligi ko‘rinmaydi. Ikkinchi tur sirt integrali yozilganda har gal integral sirtning qaysi tomoni bo‘yicha olinayotganligi aytib boriladi. Keltirilgan taʼrifdan ko‘rinadiki, ikkinchi tur sirt integrali sirt tomoniga bog‘liq bo‘lib, sirtning bir tomoni bo‘yicha integral uning ikkinchi tomoni bo‘yicha integraldan faqat ishorasi bilan farq qiladi.
Xuddi yuqoridagiga o‘xshash
,
ikkinchi tur sirt integrallari taʼriflanadi.
Aytaylik, sirtda
, ,
funksiyalar berilgan bo‘lib,
, ,
lar ularning ikkinchi tur sir integrallari bo‘lsin. Ushbu

yig‘indi ikkinchi tur sirt integralining umumiy ko‘rinishi deyiladi. Uni

kabi belgilanadi:

Faraz qilaylik, fazoda biror jism berilgan bo‘lib, uni o‘rab turuvchi yopiq sirt silliq sirt bo‘lsin. Bu sirtni deylik.
funksiya da aniqlangan bo‘lsin. jismni tekisligiga parallel bo‘lgan tekislik ikki va qismlarga ajratsin. Jismni o‘rab turgan sirt ham va sirtlarga ajraladi.
Ushbu
(2)
integrallar yig‘indisi funksiyaning yopiq sirt bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali deyiladi. Uni

kabi belgilanadi. (2) munosabatdagi birinchi integral sirt­ning ustki tomoni, ikkinchi integral sirtning ostki tomoni bo‘yicha olingan.
Xuddi shunga o‘xshash
,
hamda, umumiy holda

integrallar taʼriflanadi.
2⁰. Ikkinchi tur sirt integralining mavjudligi va uni hisob­lash. Faraz qilaylik, funksiya (1) tenglama bilan berilgan sirtda aniqlangan bo‘lsin.
1-teorema. Agar funksiya sirtda uzluksiz bo‘lsa, u holda bu funksiyaning sirt bo‘yicha ikkinchi tur integrali mavjud va
(3)
bo‘ladi.
◄ sirtning ixtiyoriy

bo‘laklashni olamiz. sirt va larning tekis­ligi­dagi proyeksiyalar to‘plamning

bo‘laklashni hosil qiladi.
bo‘laklashga nisbatan funksiyaning integral yig‘in­disi

ni tuzamiz.
Aytaylik, sirtning ustki tomoni qaralayotgan bo‘lsin. Unda barcha lar musbat ishora bilan olinadi.
funksiya sirtda qaralayotgani uchun

bo‘ladi. Jumladan

bo‘ladi.
Natijada yig‘indi quyidagi ko‘rinishga keladi:
. (4)
Bu tenglikning o‘ng tomonidagi yig‘indi ushbu

ikki o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyaning integral yig‘indisi. Demak,
. (5)
(4) va (5) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi. ►
Xuddi yuqoridagidek, tegishli shartlarda
,
integrallar mavjud va
(6)
(7)
bo‘ladi.
Ikkinchi tur sirt integrallari ikki karrali integrallarga keltirilib (3), (6) va (7) formulalar yordamida hisoblanadi.
1) Agar sirt yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bo‘lsa, u holda

bo‘ladi:
2) yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bo‘lsa, u holda

bo‘ladi:
3) yasovchilari o‘qiga parallel bo‘lgan silindrik sirt bo‘lsa, u holda

bo‘ladi.