Zahiriddin muhammad bobur nomidagi andijon davlat universiteti fizika-matematika fakulteti

Sirt va uning yuzi haqida

Mazkur kurs davomida egri chiziq, uning tenglamalari, egri chiziqning uzunligi, uzunlikka ega bo‘lmagan egri chiziq haqida maʼlumotlar keltiriladi.

Tekislikda egri chiziq ushbu

tenglamalar sistemasi bilan (xususan, , tenglama bilan) aniqlanishini ko‘rdik. Ravshanki, egri chiziq , funksiyalarga bog‘liq. Agar , funksiyalar da uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsa, uni silliq egri chiziq deyilardi.
Egri chiziqlar nazariyasida muhim tushunchalardan biri egri chiziqning uzunligi bo‘lib, u egri chiziqqa chizilgan siniq chiziq perimetrining limiti sifatida taʼriflanganligi va uning uzunligi quyidagi

formula bilan ifodalanishi maʼruzalarda bayon etilgan.
Tekislikda egri chiziq tushunchasiga o‘xshash fazoda sirt tushunchasi kiritilsada, uning o‘ziga xos tomonlari mavjud.
Fazoda sodda sirtlar - sfera, silindr va shunga o‘xshash sirtlar va ularning yuzi, yuzining hisoblash formulalari o‘quvchiga maʼlum.
Biz quyida umumiy ko‘rinishdagi sirtlar, ularning yuzi, yuzini topish formulalari kurs uchun kerak bo‘ladigan hajmda qisqacha bayon etamiz.
1⁰. Sirt tushunchasi. Aytaylik, tekislikdagi to‘plamda
, , (1)
funksiyalar berilgan bo‘lib, ular da uzluksiz bo‘lsin. nuqtani olib, yuqoridagi funksiyalarning shu nuqtadagi qiymatlarini topamiz:
.
Hosil bo‘lgan ni fazodagi nuqtaning koordinatalari deb qaraymiz: . Ravshanki, nuqta to‘plamda o‘zgarganda lar fazoda biror to‘plamni hosil qiladi. Demak, (1) munosabatni to‘plamni to‘plamga uzluksiz akslantirish deb qarash mumkin.
Agar (1) akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lsa, yaʼni to‘plamning turli nuqtalarini to‘plamning turli nuqtalariga akslantirsa, to‘plamni fazoda sirt deb qarash mumkin. Odatda, bunday sirtlar sodda sirtlar deyiladi. Shu sababli
(2)
tenglamalar sistemasi sirtning parametrik tenglamasi deyiladi, bunda va lar parametrlar.
Xususan ( bo‘lganda) ushbu

tenglamalar sitemasi aniqlaydigan sirt
(3)
tenglama bilan ifodalanadi.
Faraz qilaylik, (1) funksiyalar to‘plamda uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lib, ular yordamida quyidagi
(4)
funksional matritsa tuzilgan bo‘lsin.
Aytaylik, nuqta uchun (bu nuqtaning sirtda aksi bo‘ladi) (4) matritsaning ikkinchi tartibli determinantidan kamida bittasi noldan farqli, masalan

deylik. Unda oshkormas funksiyalar haqidagi teoremaga ko‘ra sirtning nuqta atrofidagi qismi quyidagi
(5)
tenglama bilan ifodalanadi, bunda funksiya uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘ladi.
Agar uchun (4) matritsaning barcha ikkinchi tartibli determinantlari nolga teng bo‘lsa, sirtning nuqtasi, uning maxsus nuqtasi deyiladi. Sirtning maxsus nuqta atrofidagi qismini (5) ko‘rinishda ifodalab bo‘lmaydi.
Faraz qilaylik, sirt

tenglama bilan aniqlangan bo‘lsin. Bunda funksiya tekis­lik­dagi to‘plamda uzluksiz va uzluksiz xususiy hosilalarga ega. Bunday sirt har bir nuqtada urinma tekislikka ega. Urinma tekiclikning tengla­ma­si ushbu

ko‘rinishda bo‘ladi, bunda lar urinma tekilikdagi o‘zga­ruv­chi nuqtaning koordinatalari. Modomiki, sirt nuqtada urinma tekislikka ega ekan, unda shu nuqtada sirtning normalini aniqlash mumkin. (Maʼlumki, sirtning nuqtasidan o‘tuvchi va shu nuqta­dagi urinma tekislikka perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziq sirt normali deyiladi). Bu holda normalning tenglamasi

bo‘ladi. Bu yerda lar normaldagi o‘zgaruvchi nuqtaning koordinatalari.
Masalan, ushbu

sirtga (paraboloidga) (1,1,3) nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislik tenglamasi

normalning tenglamasi

bo‘ladi.
Normalning koordinatalar o‘qlarining musbat yo‘na­lish­lari bilan tashkil etgan burchaklarini mos ravishda deyilsa, unda lar normalning yo‘nalti­ruv­chi kosinuslari deyi­ladi.
Faraz qilaylik, fazodaga sodda sirt bo‘lsin. Ravshanki, bu sirtning har bir nuqtasida urinma tekislik mavjud bo‘lib, u urinish nuqtasi sirti bo‘ylab uzluksiz o‘zgarib borsa, mos urinma tekislik ham o‘z holatini uzluksiz o‘zgartirib boradi.
sirtda biror nuqtani olaylik. Bu nuqta orqali o‘tkazilgan sirt normali ikki yo‘nalishga ega bo‘lib, ulardan birini tayinlaymiz. So‘ng nuqtadan chiqib, shu ga qaytadigan yopiq chiziqni (konturni) qaraylik. Bu kontur sirtga tegishli bo‘lib, uning chegarasini kesmasin. nuqtada sirt normalining maʼlum yo‘nalishi olinganligini eʼtiborga olib, o‘zgaruvchi nuqtani dan boshlab, kontur bo‘yicha harakatlantirib, yana nuqtaga qaytganda (ravshanki, nuqta kontur bo‘ylab o‘zgarganda mos nuqtadagi sirt normali ham o‘zgarib boradi) ikki hol yuz beradi:
1. nuqtadagi sirt normalining yo‘nalishi qaytib shu nuqtaga kelganda normalning yo‘nalishi teskarisiga o‘zgaradi;
2. nuqtadagi sirt normalining yo‘nalishi qaytib shu nuqtaga kelganda ham normalning yo‘nalishi o‘zgarmaydi.
Birinchi holda sirt bir tomonli sirt deyiladi. Unga Myobius yaprog‘i misol bo‘ladi. (qaralsin, [9], 17-bob, 1-§)
Ikkinchi holda sirt ikki tomonli sirt deyiladi.
Masalan,

tenglama bilan aniqlanadigan sirt (giperboloid; 58-chizma) ikki tomonli sirt bo‘ladi.



58-chizma

Bu sirt yuqori va quyi (ustki va ostki) tomonlarga ega. Ushbu

tenglama bilan aniqlanadigan sirt (markazi nuqtada, radiusi 1 га teng sfera) ham ikki tomnoli sirt bo‘lib, uning tashqi va ichki tomonlari bo‘ladi.
Aytaylik, ikki tomonli sirt bo‘lsin. Bu sirtda ixtiyoriy nuqtani tayinlab, bu nuqtani boshqa nuqta bilan shu sirtga tegishli bo‘lgan va uning chegarasini kesmaydigan egri chiziq yordamida birlashtiramiz. So‘ng nuqtada sirt normalning aniq yo‘nalishini tayinlaymiz.
Aytaylik, o‘zgaruvchi nuqta egri chiziq bo‘yicha dan boshlab nuqtaga tomon harakatlana borsin. Natijada o‘zgaruvchi nuqtadagi sirt normalining yo‘nalishi ham uzluksiz o‘zgara boradi va nuqtaga kelganda sirt normali maʼlum yo‘nalishga ega bo‘ladi. Normalning bu yo‘nalishi nuqtalarni birlashtiruvchi egri chiziqqa bog‘liq bo‘lmaydi. Shuni isbotlaymiz.
va nuqtalarni ikkita turli va chiziqlar bilan birlashtirilganda o‘zgaruvchi nuqta nuqtaga kelganda sirt normalining yo‘nalishi turlicha bo‘lsin deb faraz qilaylik. Unda va lardan hosil bo‘lgan yopiq kontur

bo‘yicha o‘zgaruvchi nuqta nuqtaga kelganda normalning yo‘na­lishi o‘zga­rib qoladi. Bu esa qaralayotgan sirtning ikki tomonli ekanligiga zid.
Demak, ikki tomonli sirtning bitta nuqtasida normal yo‘nalishni tanlash bilan uning barcha nuqtalarida ham normal yo‘nalishi bir qiymat­li aniqlanar ekan.
Maʼlumki,

tenglama bilan aniqlanadigan sirt normalining yo‘nalti-ruvchi kosinuslari

(6)

bo‘ladi.
(6) da larni ifodalovchi formulalardagi kvadrat ildiz oldidagi ishorani tanlash bilan sirt tomoni aniqlanadi.

Agar kvadrat ildiz oldidagi ishoralardan musbati olinsa, sirtning barcha nuqtalarida

ifoda musbat bo‘ladi. Bu holda sirtning olingan tomoniga mos normal bilan o‘qi orasidagi burchak o‘tkir bo‘lib, aniqlanadigan sirt tomoni ustki (yuqori) tomon bo‘ladi.
Agar kvadrat ildiz oldidagi ishoralardan manfiysi olinsa, sirtning olingan tomoniga mos normal bilan o‘qi orasidagi burchak o‘tmas bo‘lib, aniqlanadigan sirt tomoni ostki (past) tomon bo‘ladi.