Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

Darbu yig’indilari. funksiya oraliqda aniqlangan bo’lib, shu oraliqda chegaralangan bo’lsin:
.
oraliqda biror

bo’laklashni olaylik. Bu funksiyaning aniq chegaralari

mavjud
ixtiyoriy uchun

bo’ladi. Endi va sonlarni oraliqning uzunligi

ga ko’paytirib quyidagi

yig’inilarni tuzamiz.
. Ushbu

yig’indilar mos ravishda Darbuning quyi hamda yuqori yig’indilari deb ataladi.
Darbu yig’indilari, funksiyaga hamda P bo’laklashga bog’liq:

va har doim

bo’ladi.
tengsizliklarni ga ko’paytirib topamiz:
.
Keyingi tengsizliklardan esa

tengsizliklar kelib chiqadi. Demak,

Shunday qilib, funksiyaning integral yig’indisi har doim uning Darbu
yig’indilari orasida bo’lar ekan.

munosabatdan yana bitta xulosa chiqarish mumkin: nuqtani tanlab olish hisobiga ni shuningdek, M_k qiymatlarga har qancha yaqin keltirish mumkin. Bundan esa Darbuning quyi va yuqori yig’indilari berilgan bo’laklash uchun integral yig’indining mos ravishda aniq quyi hamda aniq yuqori chegaralari bo’lishi kelib chiqadi:

.
Aniq chegaralar hossalaridan foydalanib topamiz:
.
.
Natijada

bo’ladi.

Demak, uchun quyidagi

tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bu esa Darbu yig’indilarining chegaralanganligini bildiradi.

Aniq integrallarning boshqacha ta’rifi. funksiya oraliqda aniqlangan bo’lib, u shu oraliqda chegaralangan bo’lsin. oraliqni bo’lak-lashlar to’plami ning har bir bo’laklashi uchun funksiya-ning Darbu yig’indilari ni tuzib,

to’plamlarni qaraymiz. Bu to’plamlar ga ko’ra chegaralangan bo’ladi.
7—ta’rif. to’plamning aniq yuqori chegarasi funksiyaning oraliqdagi quyi integrali deb ataladi. Uni

kabi belgilanadi.
to’plamning aniq quyi chegarasi funksiyaning oraliqdagi yuqori integrali deb ataladi.

kabi belgilanadi. Demak,

.
8—ta’rif. Agar funksiyaning oraliqdagi quyi hamda yuqori integrallari bir–biriga teng bo’lsa, funksiya oraliqda integrallanuvchi deyiladi, ularning umumiy qiymati

funksiyaning oraliqdagi aniq integrali deyiladi. Agar

bo’lsa, funksiya oraliqda integrallanmaydi deyiladi.
Demak,
.