Œзбекистон республикаси олий ва œрта



integral hisoblansin.
e^ax cosbxdx
^du  dx,
v  ^{1 }




_ dx _ ^{
x }  x  ¹  _
x^ ^{1 }dx  1  _ ^dx




^{x }u  x,



dv  


1
 ^x
x ^
 _x2  _x

bo`lishi kelib chiqadi. Hatolik topilsin.

5-§. Integrallashga oid misollar

1– misol .

f x  x


funksiyaning

integrali topilsin.
◄^a , b^ segmentning ixtiyoriy
b
_ xdx
a

P  ^x₀ , x₁ , x₂ ,..., x_n1 , x_n ^{ }a  x₀  x₁  x₂  ... x_k  x_{k 1}  ... x_n  b^

bo‘laklashini olamiz. Ravshanki, xar bir ^x_k , x_{k 1} ^ k  0,1,...,n  1
segmentda

f x  x
funksiyaning aniq chegaralari quyidagicha bo‘ladi:

m_k  inf f x x_k
_k  supf x x_{k 1}
k  0 ,1, 2 , ...,n  1
k  0 ,1, 2 , ...,n  1

Demak,

sp 
n 1
_ m_k x_k k  0
n 1
n 1
 _ x_k  x_k ,
k  0
n 1

Sp 
__k x_k k  0
 _ x_{k  1}  x_k .
k  0

Endi bu yig‘indilarni qulay ko‘rinishda yozamiz:

 
n 1
s p  x x
n 1


 x x
 x   ¹ n 1^x²
 x^{2 } ¹ n 1x
 x ² 

^ k
k  0
k ^ k
k  0
k  1 k

k  0
k  1 k

k  0
k  1 k

2

2
 ^{1  2} 
_{2  1} n 1 _{
2 } b²  a² _ 1 ^{n 1} _{ 2}

₂ x_n
^x0.
^{ x}k

2

2
k  0 ²

k  0
x_k ,

n 1
n 1
n 1
n 1

k
Sp 
^{ x}k  1^xk
 _x_k  x_k  x_k
 _ x_k x_k  _x² 

k  0
_ b²  a² _ 1 ^n1_


k  0

n 1
²  
k  0
_{2 } b²  a² _ 1 ^{n 1} _{ 2}

k  0

2
2
Ravshanki,
^{ x}k
k  0
^{ x}k

2
k  0 ²

k  0
x_k .

  

^b²  a²
₁ n 1
₂ ^ b²  a²

sup s p

 sup_{ 2}
 _{2 }x_{k }  ₂ ,

p

  

p _
^b²  a²
k  0
₁ n 1

₂ ^ b²  a²

inf S p  inf _

 _x_{k }  .

p p _{ 2}
² k  0 _ ²

Demak,
  
   ^b2 ^{ a}2

sup s p

inf S p

2

bo‘lib,

bo‘ladi. 2-misol.

b
_ xdx 
a


b²  a²

2

b b

x
_ ^f  ^x^{dx } _ ^dx
a a

Aytaylik Demak,
0  a  b
bo‘lsin. Bu xolda
x  0 bo‘lib, f x 
 1 bo‘ladi.

x

b b
b

x
_ dx  _ dx  x _a
a a
 b  a

Aytaylik, Demak,
a  b  0
bo‘lsin. Bu xolda
x  0
bo‘lib,
f x 
 1

x

bo‘ladi.

x

b

a

b
  ^b

_ dx  _
a a
 1 dx  x
 a  b

Aytaylik, a  0  b
bo‘lsin. Bu xolda

f x 
_ ^{ 1}

, агар

а  x  0


x ^ 1

, агар

0  x  b

bo‘ladi. Demak,



x

b

b

0
_{ } 0 b

_ dx  _
a a
 1 dx  _ 1dx  x _a  x ₀
0
 a  b

Yuqoridagi 3 ta xolni birlashtirib,

bo‘lishni topamiz.

3-misol.


b


dx  b  a
_a x

10

_ 1  cos 2xdx
0


 
 sin x

10 10

_ 1  cos 2xdx 
0
2 _ sin x dx
0

bo‘ladi.Aniq integralning xossalaridan foydalanib topamiz:

10 
2 3 4
9 10

_ sin xdx  _ sin xdx  _ sin xdx  _ sin dx  _ sin xdx 
_ sin xdx  _ sin xdx 

0 0 
2 3
8 9

 2__––2__––_2  20.
10та

Demak,


10

_ 1  cos 2xdx  20  2 .
0

4-misol
b
_ dx
a


0 


a  b

f x
funksiya ^a , b^{
da uzliksiz bo‘lsa ,u xolda shunday c nuqta }a  c  b^

topiladiki,

b b
_ f xgxdx  f c_ gxdx
a a
bo‘ladi .Shu tenglikdan foydalanib topamiz:

b
_ sin xdx 
a


b
_ sin xdx 
a
cosa

• cosb

Agar
0  a  b
bo‘lganda

 ва ^{cosa  cosb  2}

bo‘lishini e’tiborga olsak, u xolda

b
_ dx 
a

bo‘lishi topiladi.
5–misol.

e

  _ x ln x² dx

1

e
   ²
 ^  ²
  ¹
 ²  ^x3 ^ 

_ x ln x dx

1
_u ln


x , du

2ln x

dx , dv

x

x dx , v _

3


3

3
_ x³ ₂ ^e 2 ^e ₂

e³ 2 ^e ₂

ln x ₁  _ x
1
ln xdx 
 _ x

3

3
1

ln xdx

e _{2 }
1 ₂ x^{3 }

_ x ln xdx  _u  ln x , du  dx , dv  x

x
1 
dx , v  _ 

3


 _x3

1
3

ln x ^e 
₁ e ₂
1
e

_{3 } x dx 

3

3
e _{ } e

3 3

1

• 
  _e3
  

9

 ¹ 

9

2 _{e3 } 1

9 9

Demak,

_{ } ^e3 _ ²  ²

_{3 } ¹  _ ^e3 _ ⁴

_{3 } 2 _ 1 _
³  

3



9
6-misol.
_ e
3 3 _ 9
^ 27 ^e